導来列と下中心列

導来列と下中心列は群の「可換からのずれ」を測る基本的な系列である。導来列は可解性を、下中心列は冪零性を特徴づける。

交換子

$a,b\in G$ に対して $[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ を $a$ と $b$ の交換子（commutator）という。

$[a,b]=e\iff ab=ba$ である。交換子は「可換からのずれ」を測る。

交換子の性質

交換子について次が成り立つ。

これらは交換子の計算でしばしば使われる。

導来部分群

$G$ の導来部分群（交換子群）$G^{\prime }$ または $[G,G]$ は、すべての交換子で生成される部分群である。

$$G^{\prime }=[G,G]=⟨[a,b]:a,b\in G⟩$$

$G^{\prime }$ は $G$ の正規部分群であり、$G/G^{\prime }$ は $G$ の可換化（abelianization）である。

導来列

$G^{(0)}=G$, $G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}]$ で定義される列

$$G=G^{(0)}⊵G^{(1)}⊵G^{(2)}⊵\cdots$$

を導来列（derived series）という。

$G^{(n+1)}⊴G^{(n)}$ であり、$G^{(n)}/G^{(n+1)}$ は可換群である。

可解性との関係

$G$ が可解 $\iff$ ある $n$ で $G^{(n)}=\{e\}$。

導来列は「最も速く可換化していく」列である。導来列が $\{e\}$ に到達しなければ、他のどんな列でも $\{e\}$ に到達しない。

導来列の例

$S_4$ の導来列：$S_4⊵A_4⊵V_4⊵\{e\}$。$S_4^{\prime }=A_4$, $A_4^{\prime }=V_4$, $V_4^{\prime }=\{e\}$ なので $S_4$ は可解。

$S_5$ の導来列：$S_5⊵A_5⊵A_5⊵\cdots$。$A_5^{\prime }=A_5$（$A_5$ は完全群）なので $\{e\}$ に到達せず、$S_5$ は非可解。

下中心列

${\gamma }_1(G)=G$, ${\gamma }_{n+1}(G)=[{\gamma }_n(G),G]$ で定義される列

$$G={\gamma }_1⊵{\gamma }_2⊵{\gamma }_3⊵\cdots$$

を下中心列（lower central series）という。${\gamma }_2=G^{\prime }=[G,G]$ である。

冪零性との関係

$G$ が冪零 $\iff$ ある $n$ で ${\gamma }_n(G)=\{e\}$。

最小の $n$ を冪零類という。

導来列と下中心列の関係

$G^{(n)}\subseteq {\gamma }_{2^n}(G)$ が成り立つ。

下中心列の方が導来列より「ゆっくり下がる」。下中心列が $\{e\}$ に到達すれば導来列も到達する（冪零ならば可解）が、逆は成り立たない。

上中心列

$Z_0=\{e\}$, $Z_{n+1}/Z_n=Z(G/Z_n)$ で定義される列

$$\{e\}=Z_0⊴Z_1⊴Z_2⊴\cdots$$

を上中心列（upper central series）という。$Z_1=Z(G)$ である。

上中心列と下中心列の双対性

$G$ が冪零ならば、上中心列が $G$ に到達することと下中心列が $\{e\}$ に到達することは同値であり、到達するまでの長さも等しい。

${\gamma }_{c+1}(G)=\{e\}\iff Z_c(G)=G$

完全群

$G^{\prime }=G$ を満たす群を完全群（perfect group）という。

完全群は可解群でない（$G^{(n)}=G$ がすべての $n$ で成り立つ）。$A_5$ や $S{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ は完全群である。