同じ交換子から作るのになぜ速さが違う？導来列と下中心列

同じ群から、部分群の列が 3 本作れます^[1]。導来列、下中心列、上中心列。

どれも交換子から作りますが、落ち方が違います。 $D_{16}$ では導来列が 2 歩で単位元に届くのに、下中心列は 4 歩かかる。

交換子部分群

$x, y \in G$ に対し $[x, y] = x^{- 1} y^{- 1} x y$ を交換子といいます。 $x y = y x [x, y]$ が成り立つので、可換からのずれを測る量です。

部分群 $H, K \leq G$ に対し、交換子が生成する部分群を $[H, K]$ と書きます^[1]。

$[H, K] = ⟨[h, k] : h \in H, k \in K ⟩$

すぐ出る性質が 2 つあります^[1]。 $[h, k]^{- 1} = [k, h]$ なので $[H, K] = [K, H]$ 。 $H$ と $K$ がどちらも正規なら $g [h, k] g^{- 1} = [g h g^{- 1}, g k g^{- 1}]$ から $[H, K]$ も正規です。

$[H, K] = {e}$ は、 $H$ の元と $K$ の元がすべて可換であることと同じ。

可換な列と中心の列

部分群の減少列 $G = G_{0} \supset G_{1} \supset \dots$ について、2 種類の条件を考えます^[1]。

各因子 $G_{i} / G_{i + 1}$ が可換になるとき、この列を可換であるといいます。条件は交換子で書けます^[1]。

$G_{i} / G_{i + 1} が可換 ⟺ [G_{i}, G_{i}] \subseteq G_{i + 1}$

商が可換とは、そこで交換子が消えることなので、交換子がすでに $G_{i + 1}$ に入っていればよい^[1]。

もっと強い条件が中心の列です。 $G_{i} / G_{i + 1}$ が $G / G_{i + 1}$ の中心に入るとき、そう呼びます^[1]。

$G_{i} / G_{i + 1} \subseteq Z (G / G_{i + 1}) ⟺ [G, G_{i}] \subseteq G_{i + 1}$

左側が $G_{i}$ から $G$ に変わりました。中心にいることは、 $G$ 全体の元と可換であることだからです^[1]。

中心の列は可換な列です。逆は成り立ちません。可換な部分群が中心に入るとは限らないためです^[1]。

$Aff (F)$ の平行移動の全体は可換ですが、 $∣ F ∣ > 2$ なら中心には入りません^[1]。

3 本の列

2 つの条件を、それぞれ「いちばんきつく」満たす列を作ります。

導来列は $G^{(0)} = G$ 、 $G^{(i + 1)} = [G^{(i)}, G^{(i)}]$ で定めます^[1]。可換な列の条件を、包含ではなく等号で回した形です。

下中心列は $γ_{1} = G$ 、 $γ_{i + 1} = [G, γ_{i}]$ 。こちらは中心の列の条件を等号で回します^[1]。

上中心列は逆向きに伸ばします。 $Z_{0} = {e}$ 、 $Z_{i + 1} / Z_{i} = Z (G / Z_{i})$ ^[1]。

導来列の各項は $G$ の正規部分群です^[1]。 $N ⊴ G$ なら $[N, N] ⊴ G$ なので、帰納法で出ます。

下中心列も上中心列も、すべての項が $G$ の正規部分群になります^[1]。

いちばん速く落ちる

導来列は、可換な列のうちいちばん速く落ちるものです^[1]。

$G = G_{0} \supset G_{1} \supset \dots$ が可換な列なら、 $G^{(i)} \subseteq G_{i}$ がすべての $i$ で成り立ちます。

証明は帰納法です。 $G^{(0)} = G_{0} = G$ 。 $G^{(i)} \subseteq G_{i}$ を仮定すると、 $G_{i} / G_{i + 1}$ が可換なので $[G_{i}, G_{i}] \subseteq G_{i + 1}$ 。よって

$G^{(i + 1)} = [G^{(i)}, G^{(i)}] \subseteq [G_{i}, G_{i}] \subseteq G_{i + 1}$

同じ形で、下中心列は中心の列のうちいちばん速く落ちるものになります^[1]。 $[G, γ_{i}] \subseteq [G, G_{i}] \subseteq G_{i + 1}$ が効きます。

だから可解性は導来列だけ見れば判定でき、冪零性は下中心列だけ見れば判定できます^[1]。ほかの列が届くなら、これらも届く。

落ち方の差

2 本の列は、どちらも交換子から作るのに速さが違います。

一般には $G^{(i)} \subseteq γ_{i + 1}$ しか言えません。ところが実際にはもっと差がつきます^[1]。

$[γ_{i}, γ_{j}] \subseteq γ_{i + j}, G^{(i)} \subseteq γ_{2^{i}}$

導来列は指数的に速く落ちる、ということです^[1,2]。 $D_{2^{k}}$ で確かめられます。

導来列は $G^{'} = ⟨ r^{2} ⟩$ 、 $G^{''} = {1}$ で、 $k$ によらず 2 歩で終わります^[1]。

下中心列は $γ_{i + 1} = ⟨ r^{2^{i}} ⟩$ と 1 段ずつ縮むので、 $k$ 歩かかる。 $n = 16$ なら 4 歩です。

具体例を並べる

代表的な群で、2 本の列がどこまで届くかを比べます^[1]。

群	導来列	下中心列
Dn （n が 2 べき）	2 歩で 1	k 歩で 1
Dn （それ以外）	2 歩で 1	止まる
Aff(F)	2 歩で 1	止まる
Heis(F)	2 歩で 1	2 歩で 1
Sn （n が 5 以上）	An で止まる	An で止まる
GL2(F) （\|F\| > 3）	SL2 で止まる	SL2 で止まる

$Aff (F)$ が分かりやすい例です^[1]。導来部分群は平行移動の全体で、これは可換なので導来列は 2 歩で終わります。

ところが $[G, G^{'}]$ を計算すると $G^{'}$ に戻ってしまう^[1]。拡大が平行移動を平行移動へ動かすためです。下中心列は止まります。

可解だが冪零でない、という状態がこの形で現れます。

$Heis (F)$ では両方が 2 歩です^[1]。導来部分群が中心と一致するので、 $[G, Z (G)] = {I}$ で次が消えます。

止まる列

$G^{'} = G$ となる群を完全群といいます。導来列も下中心列も、最初の 1 歩で止まったまま動きません。

$A_{n}$ （ $n \geq 5$ ）がそうです^[1]。 $a, b, c, d, e$ が相異なるとき $[(ab d), (a ce)] = (ab c)$ なので、3 サイクルが交換子として書ける。3 サイクルが $A_{n}$ を生成するので $A_{n}^{'} = A_{n}$ です^[1]。

$S_{n}$ （ $n \geq 5$ ）では $S_{n}^{'} = A_{n}$ 、そこから先は $A_{n}$ のまま^[1]。

$G L_{2} (F)$ （ $∣ F ∣ > 3$ ）では $G L_{2} (F)^{'} = S L_{2} (F)$ で、 $S L_{2} (F)^{'} = S L_{2} (F)$ になります^[1]。 $∣ F ∣ = 3$ のときだけ様子が変わり、 $S L_{2} (F)^{'}$ が $Q_{8}$ と同型な部分群になって、3 歩で単位元に届きます^[1]。

$∣ F ∣ = 2$ なら $G L_{2} (F) ≅ S_{3}$ で 2 歩です^[1]。同じ形の群でも、体の大きさで列の届き方が変わる。

上中心列の伸び方

上中心列は下から伸びるので、様子が変わります。 $D_{n}$ で計算します^[1]。

$n$ が奇数なら $D_{n}$ の中心は自明なので、 $Z_{i} = {1}$ のまま動きません^[1]。

$n = 2 m$ （ $m \geq 3$ は奇数）なら $Z_{1} = ⟨ r^{n /2} ⟩$ で、商 $D_{n} / Z_{1}$ が $D_{m}$ と同型になります。 $m$ が奇数なのでその中心は自明で、そこで止まる^[1]。

$n = 2^{k} m$ （ $k \geq 2$ 、 $m \geq 3$ は奇数）なら、 $Z_{i} = ⟨ r^{n / 2^{i}} ⟩$ が $i \leq k$ まで伸びて、 $D_{m}$ に届いたところで止まります^[1]。

$n$ が $2$ のべきのときだけ、途中で商が可換になって $Z_{k} = D_{n}$ に届く^[1]。下中心列と同じ場所で結論が分かれます。

導来列と下中心列

上から交換子をとり続けて縮める。止まる場所は完全群か、それに近い部分群

上中心列

下から中心を積み上げて伸ばす。止まる場所は中心が自明になる商

どの列も特性部分群

3 本の列の項は、どれも $G$ の特性部分群です。自己同型 $σ$ について $σ ([x, y]) = [σ (x), σ (y)]$ が成り立つので、交換子から作った部分群は自己同型で保たれます。

特に正規部分群です。内部自己同型も自己同型だからです。

導来列はさらに強く、どんな準同型 $f$ でも $f (G^{(i)}) \subseteq f (G)^{(i)}$ を満たします。交換子という「語」で定義されているためで、こうした部分群を語部分群といいます。

上中心列はこの意味では弱く、中心をとる操作が準同型と交換しないので、 $f (Z_{i}) \subseteq Z_{i}$ は一般に成り立ちません。

群 $G$ で導来列が単位元に届き、下中心列は途中で止まりました。 $G$ について言えることはどれですか。

$G$ は冪零だが可解ではない
$G$ は可解だが冪零ではない
導来列が届くなら下中心列も必ず届くので、そういう群はない

__RESULT__

導来列が単位元に届くことが可解性、下中心列が届くことが冪零性の定義です。導来列は下中心列より速く落ちるので、可解でも冪零とは限りません。 $Aff (F)$ がその例で、導来部分群は可換なので 2 歩で終わりますが、 $[G, G^{'}]$ が $G^{'}$ に戻るため下中心列は止まります。

3 本とも交換子から作ります。違うのは、左側に何を置くかだけでした。 $[G^{(i)}, G^{(i)}]$ とするか $[G, γ_{i}]$ とするかで、落ちる速さが指数的に変わる。可解性と冪零性の距離は、この 1 文字の差から出ています。

参考

Keith Conrad, *Subgroup Series I*, University of Connecticut

Jean-Pierre Serre, *Groupes finis*, Collège de France

群からは部分群の列が 3 本作れます。導来列、下中心列、上中心列。どれも交換子から作りますが、漸化式の左に何を置くかだけが違う。導来列は同じ段どうしの交換子、下中心列は群全体との交換子です。この差で落ちる速さが指数的に変わり、位数 32 の二面体群では導来列が 2 歩、下中心列は 4 歩かかります。可換な列と中心の列を交換子の言葉に直し、それぞれ最速で落ちる列が導来列と下中心列になることを証明しました。二面体群、アフィン変換群、Heisenberg 群、対称群、$GL_2$ で届き方を並べ、完全群で止まる様子と上中心列の伸び方まで。