同じ交換子から作るのになぜ速さが違う？導来列と下中心列

同じ群から、部分群の列が 3 本作れます^[1]。導来列、下中心列、上中心列。

どれも交換子から作りますが、落ち方が違います。$D_{16}$ では導来列が 2 歩で単位元に届くのに、下中心列は 4 歩かかる。

交換子部分群

$x,y\in G$ に対し $[x,y]=x^{-1}{y}^{-1}xy$ を交換子といいます。$xy=yx[x,y]$ が成り立つので、可換からのずれを測る量です。

部分群 $H,K\le G$ に対し、交換子が生成する部分群を $[H,K]$ と書きます^[1]。

$$[H,K]=⟨[h,k]:h\in H,k\in K⟩$$

すぐ出る性質が 2 つあります^[1]。$[h,k{]}^{-1}=[k,h]$ なので $[H,K]=[K,H]$。$H$ と $K$ がどちらも正規なら $g[h,k]g^{-1}=[gh{g}^{-1},gk{g}^{-1}]$ から $[H,K]$ も正規です。

$[H,K]=\{e\}$ は、$H$ の元と $K$ の元がすべて可換であることと同じ。

可換な列と中心の列

部分群の減少列 $G=G_0\supset G_1\supset \cdots$ について、2 種類の条件を考えます^[1]。

各因子 $G_i/G_{i+1}$ が可換になるとき、この列を可換であるといいます。条件は交換子で書けます^[1]。

$$G_i/G_{i+1}\text{ が可換}⟺[G_i,G_i]\subseteq G_{i+1}$$

商が可換とは、そこで交換子が消えることなので、交換子がすでに $G_{i+1}$ に入っていればよい^[1]。

もっと強い条件が中心の列です。$G_i/G_{i+1}$ が $G/G_{i+1}$ の中心に入るとき、そう呼びます^[1]。

$$G_i/G_{i+1}\subseteq Z(G/G_{i+1})⟺[G,G_i]\subseteq G_{i+1}$$

左側が $G_i$ から $G$ に変わりました。中心にいることは、$G$ 全体の元と可換であることだからです^[1]。

中心の列は可換な列です。逆は成り立ちません。可換な部分群が中心に入るとは限らないためです^[1]。

$\mathrm{Aff}(F)$ の平行移動の全体は可換ですが、$|F|>2$ なら中心には入りません^[1]。

3 本の列

2 つの条件を、それぞれ「いちばんきつく」満たす列を作ります。

導来列は $G^{(0)}=G$、$G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]$ で定めます^[1]。可換な列の条件を、包含ではなく等号で回した形です。

下中心列は ${\gamma }_1=G$、${\gamma }_{i+1}=[G,{\gamma }_i]$。こちらは中心の列の条件を等号で回します^[1]。

上中心列は逆向きに伸ばします。$Z_0=\{e\}$、$Z_{i+1}/Z_i=Z(G/Z_i)$^[1]。

導来列の各項は $G$ の正規部分群です^[1]。$N⊴G$ なら $[N,N]⊴G$ なので、帰納法で出ます。

下中心列も上中心列も、すべての項が $G$ の正規部分群になります^[1]。

いちばん速く落ちる

導来列は、可換な列のうちいちばん速く落ちるものです^[1]。

$G=G_0\supset G_1\supset \cdots$ が可換な列なら、$G^{(i)}\subseteq G_i$ がすべての $i$ で成り立ちます。

証明は帰納法です。$G^{(0)}=G_0=G$。$G^{(i)}\subseteq G_i$ を仮定すると、$G_i/G_{i+1}$ が可換なので $[G_i,G_i]\subseteq G_{i+1}$。よって

$$G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]\subseteq [G_i,G_i]\subseteq G_{i+1}$$

同じ形で、下中心列は中心の列のうちいちばん速く落ちるものになります^[1]。$[G,{\gamma }_i]\subseteq [G,G_i]\subseteq G_{i+1}$ が効きます。

だから可解性は導来列だけ見れば判定でき、冪零性は下中心列だけ見れば判定できます^[1]。ほかの列が届くなら、これらも届く。

落ち方の差

2 本の列は、どちらも交換子から作るのに速さが違います。

一般には $G^{(i)}\subseteq {\gamma }_{i+1}$ しか言えません。ところが実際にはもっと差がつきます^[1]。

$$[{\gamma }_i,{\gamma }_j]\subseteq {\gamma }_{i+j},G^{(i)}\subseteq {\gamma }_{2^i}$$

導来列は指数的に速く落ちる、ということです^[1,2]。$D_{2^k}$ で確かめられます。

導来列は $G^{\prime }=⟨r^2⟩$、$G^{\prime \prime }=\{1\}$ で、$k$ によらず 2 歩で終わります^[1]。

下中心列は ${\gamma }_{i+1}=⟨r^{2^i}⟩$ と 1 段ずつ縮むので、$k$ 歩かかる。$n=16$ なら 4 歩です。

具体例を並べる

代表的な群で、2 本の列がどこまで届くかを比べます^[1]。

$\mathrm{Aff}(F)$ が分かりやすい例です^[1]。導来部分群は平行移動の全体で、これは可換なので導来列は 2 歩で終わります。

ところが $[G,G^{\prime }]$ を計算すると $G^{\prime }$ に戻ってしまう^[1]。拡大が平行移動を平行移動へ動かすためです。下中心列は止まります。

可解だが冪零でない、という状態がこの形で現れます。

$\mathrm{Heis}(F)$ では両方が 2 歩です^[1]。導来部分群が中心と一致するので、$[G,Z(G)]=\{I\}$ で次が消えます。

止まる列

$G^{\prime }=G$ となる群を完全群といいます。導来列も下中心列も、最初の 1 歩で止まったまま動きません。

$A_n$（$n\ge 5$）がそうです^[1]。$a,b,c,d,e$ が相異なるとき $[(abd),(ace)]=(abc)$ なので、3 サイクルが交換子として書ける。3 サイクルが $A_n$ を生成するので $A_n^{\prime }=A_n$ です^[1]。

$S_n$（$n\ge 5$）では $S_n^{\prime }=A_n$、そこから先は $A_n$ のまま^[1]。

$G{L}_2(F)$（$|F|>3$）では $G{L}_2(F{)}^{\prime }=S{L}_2(F)$ で、$S{L}_2(F{)}^{\prime }=S{L}_2(F)$ になります^[1]。$|F|=3$ のときだけ様子が変わり、$S{L}_2(F{)}^{\prime }$ が $Q_8$ と同型な部分群になって、3 歩で単位元に届きます^[1]。

$|F|=2$ なら $G{L}_2(F)\cong S_3$ で 2 歩です^[1]。同じ形の群でも、体の大きさで列の届き方が変わる。

上中心列の伸び方

上中心列は下から伸びるので、様子が変わります。$D_n$ で計算します^[1]。

$n$ が奇数なら $D_n$ の中心は自明なので、$Z_i=\{1\}$ のまま動きません^[1]。

$n=2m$（$m\ge 3$ は奇数）なら $Z_1=⟨r^{n/2}⟩$ で、商 $D_n/Z_1$ が $D_m$ と同型になります。$m$ が奇数なのでその中心は自明で、そこで止まる^[1]。

$n=2^{k}m$（$k\ge 2$、$m\ge 3$ は奇数）なら、$Z_i=⟨r^{n/2^i}⟩$ が $i\le k$ まで伸びて、$D_m$ に届いたところで止まります^[1]。

$n$ が $2$ のべきのときだけ、途中で商が可換になって $Z_k=D_n$ に届く^[1]。下中心列と同じ場所で結論が分かれます。

どの列も特性部分群

3 本の列の項は、どれも $G$ の特性部分群です。自己同型 $\sigma$ について $\sigma ([x,y])=[\sigma (x),\sigma (y)]$ が成り立つので、交換子から作った部分群は自己同型で保たれます。

特に正規部分群です。内部自己同型も自己同型だからです。

導来列はさらに強く、どんな準同型 $f$ でも $f(G^{(i)})\subseteq f(G{)}^{(i)}$ を満たします。交換子という「語」で定義されているためで、こうした部分群を語部分群といいます。

上中心列はこの意味では弱く、中心をとる操作が準同型と交換しないので、$f(Z_i)\subseteq Z_i$ は一般に成り立ちません。

3 本とも交換子から作ります。違うのは、左側に何を置くかだけでした。$[G^{(i)},G^{(i)}]$ とするか $[G,{\gamma }_i]$ とするかで、落ちる速さが指数的に変わる。可解性と冪零性の距離は、この 1 文字の差から出ています。

参考