導来列と下中心列は群の「可換からのずれ」を測る基本的な系列である。導来列は可解性を、下中心列は冪零性を特徴づける。
交換子
に対して を と の交換子（commutator）という。
である。交換子は「可換からのずれ」を測る。
交換子の性質
交換子について次が成り立つ。
（ここで ）
これらは交換子の計算でしばしば使われる。
導来部分群
の導来部分群（交換子群） または は、すべての交換子で生成される部分群である。
は の正規部分群であり、 は の可換化（abelianization）である。
導来列
, で定義される列
を導来列（derived series）という。
であり、 は可換群である。
可解性との関係
が可解 ある で 。
導来列は「最も速く可換化していく」列である。導来列が に到達しなければ、他のどんな列でも に到達しない。
導来列の例
の導来列：。, , なので は可解。
の導来列：。（ は完全群）なので に到達せず、 は非可解。
下中心列
, で定義される列
を下中心列（lower central series）という。 である。
冪零性との関係
が冪零 ある で 。
最小の を冪零類という。
導来列と下中心列の関係
が成り立つ。
下中心列の方が導来列より「ゆっくり下がる」。下中心列が に到達すれば導来列も到達する（冪零ならば可解）が、逆は成り立たない。
上中心列
, で定義される列
を上中心列（upper central series）という。 である。
上中心列と下中心列の双対性
が冪零ならば、上中心列が に到達することと下中心列が に到達することは同値であり、到達するまでの長さも等しい。
完全群
を満たす群を完全群（perfect group）という。
完全群は可解群でない（ がすべての で成り立つ）。 や は完全群である。
