交代群の単純性

$A_n$（$n\ge 5$）は単純群であり、非可換単純群の最も基本的な例である。この事実は Galois 理論において5次以上の一般代数方程式が解けないことの証明に使われる。

単純群の定義の復習

群 $G\ne \{e\}$ が単純群であるとは、$G$ の正規部分群が $\{e\}$ と $G$ のみであることをいう。

$A_n$ の単純性（$n\ge 5$）

$n\ge 5$ のとき、$A_n$ は単純群である。

$A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ は可換単純群（素数位数）である。$A_4$ は単純群でない（$V_4$ が正規部分群）。

定理の証明の準備

証明の鍵となる事実は、$A_n$（$n\ge 5$）においてすべての3-巡回置換が共役であることと、$A_n$ が3-巡回で生成されることである。

3-巡回は共役

$A_n$（$n\ge 5$）において、任意の2つの3-巡回 $(abc)$ と $(def)$ は $A_n$ 内で共役である。

$\sigma \in S_n$ で $\sigma (a)=d$, $\sigma (b)=e$, $\sigma (c)=f$ となるものを取る。$\sigma (abc){\sigma }^{-1}=(def)$ となる。$\sigma$ が奇置換なら、$n\ge 5$ より $\{a,b,c,d,e,f\}$ 以外の元 $g,h$ が存在し、${\sigma }^{\prime }=(gh)\sigma$ は偶置換かつ同じ共役を与える。

証明の概略

$N⊴A_n$, $N\ne \{e\}$ とする。$N$ が3-巡回を含むことを示せば、$N$ はすべての3-巡回を含み（共役で閉じているため）、$N=A_n$ となる。

恒等置換でない元の分析

$\sigma \in N$, $\sigma \ne e$ を取る。$\sigma$ の巡回分解を考える。

$\sigma$ が3-巡回なら証明終わり。そうでない場合、$\sigma$ の形に応じて $N$ が3-巡回を含むことを示す。

場合分け

$\sigma$ が長さ3以上の巡回を含む場合、または互いに素な互換の積である場合に分けて考える。

例えば $\sigma =(123\cdots )$ のとき、$\tau =(123)$ として $[\sigma ,\tau ]=\sigma \tau {\sigma }^{-1}{\tau }^{-1}$ を計算すると、$N$ に含まれる新しい元が得られる。

交換子を用いた議論

$\sigma \in N$, $\tau \in A_n$ に対して $[\sigma ,\tau ]=\sigma \tau {\sigma }^{-1}{\tau }^{-1}\in N$ である（$N$ が正規だから）。

適切な $\tau$ を選ぶことで、$[\sigma ,\tau ]$ が3-巡回となるか、より単純な形になることを示す。

$n=5$ の場合の例

$\sigma =(12)(34)\in N$ とする。$\tau =(123)$ を取ると、

$$[\sigma ,\tau ]=(12)(34)(123)(12)(34)(132)=(13)(24)(132)=\cdots$$

計算を進めると $N$ が3-巡回を含むことが示せる。

$A_5$ の位数

$|A_5|=60=2^2\cdot 3\cdot 5$ である。$A_5$ は位数60の単純群であり、非可換単純群として最小である。

Galois 理論との関係

5次以上の一般代数方程式が代数的に解けないことの証明において、$A_5$ の単純性が本質的に使われる。

可解群の列を作れないことが、べき根による解法が存在しないことを意味する。

有限単純群の分類との関係

$A_n$（$n\ge 5$）は無限系列をなす単純群の代表例である。有限単純群の分類において、交代群は「リー型」でも「散在型」でもない第三のクラスを形成する。