切除公理がない代わりの道具 - ホモトピー群の長完全列

ホモトピー群には切除公理がありません。空間を分けて計算する、という道が使えない。

代わりの道具が繊維束の長完全列です^[1]。繊維・全空間・底空間の 3 つのホモトピー群が、1 本の完全列に並びます。

以下では持ち上げの性質から始め、列の作り方と使い方を追い、ホップ束や被覆空間での計算を書き下します。

ホモトピーの持ち上げ

$p:E\to B$ が、ある空間 $X$ についてホモトピー持ち上げ性を持つとは、次が成り立つことです^[1,5]。

$B$ の中のホモトピー $h:X\times [0,1]\to B$ と、その始点の持ち上げ ${\tilde{h}}_0:X\to E$ が与えられたとき、$h$ を覆うホモトピー $\tilde{h}:X\times [0,1]\to E$ が存在する。

底空間での動きを、全空間の中でなぞれる、という条件です。一意性は要求しません。

ファイブレーションの種類

すべての空間について持ち上げ性を持つものをフレヴィッツ・ファイブレーション、CW 複体についてだけ持つものをセール・ファイブレーションといいます^[1,5]。

前者のほうが強い条件です。フレヴィッツならセールでもある。

繊維束は、底空間がパラコンパクトかつハウスドルフならフレヴィッツ・ファイブレーションになります^[1]。ふつうに出てくる束はこの条件を満たす。

長完全列

$p:E\to B$ をセール・ファイブレーション、$F=p^{-1}(b_0)$ を繊維とします。

$$\cdots \to {\pi }_n(F)\to {\pi }_n(E)\to {\pi }_n(B)\to {\pi }_{n-1}(F)\to \cdots \to {\pi }_0(E)$$

が完全です^[1,2]。像と核が一致しながら、次数を下げつつ続く。

${\pi }_n(B)\to {\pi }_{n-1}(F)$ が境界写像です。底空間のループを持ち上げると、始点と終点が繊維の中でずれる。そのずれを見る。

完全列の読み方

完全であるとは、各所で像と核が一致することです。これだけで、かなりのことが言えます^[4]。

未知の群を、既知の群のあいだに挟んで決める、というのが基本的な使い方です。

挟んで決める様子

両隣が $0$ になると、真ん中が同型になります。

両隣が $0$ になると、真ん中の 2 つが同型でつながります。$0$ から来る像も、$0$ へ行く核も、全体になる。

計算は「どこかが $0$ になる状況を探す」形で進みます。

例：ホップ束

$S^1\to S^3\to S^2$ に当てはめます。${\pi }_n(S^1)=0$ が $n\ge 2$ で成り立つ^[2]。

したがって $n\ge 3$ では両隣が $0$ になり、${\pi }_n(S^3)\cong {\pi }_n(S^2)$。

${\pi }_3(S^3)=\mathbb{Z}$ なので ${\pi }_3(S^2)=\mathbb{Z}$ が出ます。ホモロジーでは見えない群が、この列 1 本で決まる。

例：${\pi }_2(S^2)$ を確かめる

同じ列で $n=2$ を見ます。${\pi }_2(S^1)=0$、${\pi }_2(S^3)=0$、${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$、${\pi }_1(S^3)=0$。

$$0\to {\pi }_2(S^2)\to \mathbb{Z}\to 0$$

が完全なので、${\pi }_2(S^2)=\mathbb{Z}$。

例：被覆空間

被覆写像はファイブレーションで、繊維が離散集合です^[1]。したがって ${\pi }_n(F)=0$ が $n\ge 1$ で成り立つ。

$n\ge 2$ では両隣が $0$ になり、${\pi }_n(E)\cong {\pi }_n(B)$^[2]。

高次ホモトピー群は被覆で変わりません。基本群だけが変わる。

例：${\pi }_n({\mathbb{RP}}^m)$

$S^m\to {\mathbb{RP}}^m$ が二重被覆です。$m\ge 2$ なら ${\pi }_n({\mathbb{RP}}^m)\cong {\pi }_n(S^m)$ が $n\ge 2$ で成り立つ。

${\pi }_1({\mathbb{RP}}^m)=\mathbb{Z}/2$ で、こちらは $S^m$ とは違います。

被覆が変えるのは ${\pi }_1$ だけ、というのがこの計算から見えます。

例：道と輪の束

$B$ の基点から出る道の全体 $PB$ をとると、$PB\to B$（終点を返す）がファイブレーションになります^[1,5]。

繊維は基点に戻る道の全体、つまりループ空間 $\Omega B$。$PB$ は可縮です。

長完全列で ${\pi }_n(PB)=0$ を入れると、${\pi }_n(B)\cong {\pi }_{n-1}(\Omega B)$ が出ます。次数を 1 つずらす関係。

例：球面束

$S^1\to S^{2n+1}\to {\mathbb{CP}}^n$ も同じ形です^[1]。

$n\ge 2$ のとき ${\pi }_2({\mathbb{CP}}^n)\cong {\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$、${\pi }_k({\mathbb{CP}}^n)\cong {\pi }_k(S^{2n+1})$ が $k\ge 3$。

${\mathbb{CP}}^{\infty }$ では全空間 $S^{\infty }$ が可縮なので、${\pi }_2=\mathbb{Z}$ でほかがすべて $0$。$K(\mathbb{Z},2)$ になります。

対の長完全列

繊維束がなくても、対 $(X,A)$ に対して同じ形の列が作れます。

$$\cdots \to {\pi }_n(A)\to {\pi }_n(X)\to {\pi }_n(X,A)\to {\pi }_{n-1}(A)\to \cdots$$

が完全です^[2]。相対ホモトピー群を挟む形。

繊維束の列は、この対の列から出せます。${\pi }_n(E,F)\cong {\pi }_n(B)$ という同型を経由する。

境界写像の中身

${\pi }_n(B)\to {\pi }_{n-1}(F)$ を具体的に書きます。

$B$ の中の $n$ 次元球面の写像をとり、持ち上げようとする。持ち上がりますが、境界が繊維の中で閉じません^[2]。

閉じないぶんが ${\pi }_{n-1}(F)$ の元です。持ち上げの失敗の度合いを測っている。

持ち上げの失敗を絵で見る

底空間のループを持ち上げると、繊維の中で始点と終点がずれます。

青が底空間のループ、赤がその持ち上げです。一周しても、赤い道は始点に戻りません。

戻らないぶんが繊維の中の元で、境界写像 ${\pi }_1(B)\to {\pi }_0(F)$ の値になります^[2]。次数を上げても同じ構図。

例：メビウス束で確かめる

$S^1$ 上のメビウス束をとります。繊維は区間で可縮。

底の円周を一周すると、繊維の向きが裏返ります。${\pi }_1$ の元が繊維の成分を入れ替える形。

繊維が連結なので ${\pi }_0(F)$ は 1 点ですが、境界に絞れば $S^0$ になり、ずれが目に見えます。

例：計算の順番を決める

長完全列を使うときは、既知の群を左右に配置してから未知を挟みます。

$S^1\to S^3\to S^2$ では、${\pi }_n(S^1)$ が $n\ge 2$ で $0$ という事実がすべての鍵。$S^1$ の高次が消えることが、列を切る役目を果たします^[6]。

どの束を選ぶかで計算の難しさが変わる、というのがこの道具の使いどころです。

完全性の証明の筋

各所での像と核の一致を、持ち上げ性から示します。

たとえば ${\pi }_n(E)\to {\pi }_n(B)$ の核が ${\pi }_n(F)$ の像であること。$E$ の中の球面が $B$ で潰れるなら、潰すホモトピーを持ち上げて $F$ の中へ押し込める。

どの箇所も同じ形の議論です。持ち上げ性が 1 つあれば、列全体が動く^[5]。

五項補題

完全列を 2 本並べ、あいだに写像を置いた図式を考えます。

外側の 4 つが同型なら、真ん中も同型になる^[4]。これが五項補題。

繊維束の列を比べて結論を出すときによく使います。列 1 本ではなく、列どうしの比較で使う道具。

ホモロジーとの違い

ホモロジーには切除公理があり、マイヤー・ヴィートリス列が使えます。空間を分けて計算できる。

ホモトピー群にはこれがありません。代わりに繊維束の列が主な計算手段になります^[2]。

束を見つけられるかどうかが計算の成否を決める、という状況です。スペクトル系列は、この列を組織的に扱う仕組み。

よくある誤り

参考文献