ホモトピー群の長完全列

ファイバー束のホモトピー群の間には長完全列が存在します。これを用いると、複雑な空間のホモトピー群を計算できます。

ファイバー束の設定

$F ↪ E p B$ をファイバー束とし、 $B$ が弧状連結とします。基点 $b_{0} \in B$ を固定し、 $F = p^{- 1} (b_{0})$ , $e_{0} \in F$ を基点とします。

次のホモトピー群の長完全列が存在します。

$\dots \to π_{n} (F) i_{*} π_{n} (E) p_{*} π_{n} (B) \partial π_{n - 1} (F) \to \dots$

$\dots \to π_{1} (F) \to π_{1} (E) \to π_{1} (B) \partial π_{0} (F)$

$\partial : π_{n} (B) \to π_{n - 1} (F)$ は次のように定義されます。

$[α] \in π_{n} (B)$ に対して、 $α : S^{n} \to B$ を $D^{n} \to E$ にリフトし（ $p$ が被覆性を持つため可能）、その境界 $S^{n - 1}$ の像が $F$ に入る $π_{n - 1} (F)$ の元を対応させます。

完全列の完全性から、

ker p_{*} = im i_{*}

ker \partial = im p_{*}

ker i_{*} = im \partial

これらを用いてホモトピー群を計算します。

$S^{1} \to S^{3} \to S^{2}$ の完全列

$\dots \to π_{n} (S^{1}) \to π_{n} (S^{3}) \to π_{n} (S^{2}) \to π_{n - 1} (S^{1}) \to \dots$

$π_{k} (S^{1}) = 0$ （ $k \geq 2$ ）なので、 $π_{n} (S^{3}) ≅ π_{n} (S^{2})$ （ $n \geq 3$ ）です。

特に $π_{3} (S^{2}) ≅ π_{3} (S^{3}) ≅ Z$ が得られます。

$p : \tilde{X} \to X$ が普遍被覆のとき、 $π_{n} (\tilde{X}) ≅ π_{n} (X)$ （ $n \geq 2$ ）です。

$\tilde{X}$ が単連結なので、完全列から高次ホモトピー群は被覆で変わりません。

$S^{n - 1} \to E \to B$ が球面束のとき、完全列は Gysin 完全列と関係します。

$SO (n) \to SO (n + 1) \to S^{n}$ から $SO (n)$ のホモトピー群を帰納的に計算できます。

パス空間ファイブレーション $Ω B \to PB \to B$ （ $PB$ は $B$ のパス空間）の完全列から

$π_{n} (B) ≅ π_{n - 1} (Ω B)$

が得られます。 $PB$ は可縮なので $π_{n} (PB) = 0$ です。

より一般に、Serreファイブレーション（ホモトピーリフト性を満たす写像）に対しても長完全列が存在します。

CW複体の間の写像で、各胞体に対してホモトピーリフトが可能ならば Serre ファイブレーションです。

完全列の一部から情報を引き出すために、五項補題や七項補題が使われます。

完全列 $A \to B \to C \to D \to E$ で $A, B, D, E$ がわかれば $C$ が決まる、という形の結果です。

ホモトピー完全列

$π_{n} (F) \to π_{n} (E) \to π_{n} (B) \to π_{n - 1} (F)$ 。ファイバー束のホモトピー群を計算。

ホモロジー完全列

$H_{n} (A) \to H_{n} (X) \to H_{n} (X, A) \to H_{n - 1} (A)$ 。相対ホモロジーとの関係。両者は異なる完全列。