ファイバー束のホモトピー群の間には長完全列が存在します。これを用いると、複雑な空間のホモトピー群を計算できます。
ファイバー束の設定
をファイバー束とし、 が弧状連結とします。基点 を固定し、, を基点とします。
長完全列
次のホモトピー群の長完全列が存在します。
境界写像の定義
は次のように定義されます。
に対して、 を にリフトし（ が被覆性を持つため可能）、その境界 の像が に入る の元を対応させます。
完全性の利用
完全列の完全性から、
これらを用いてホモトピー群を計算します。
Hopfファイブレーションへの応用
の完全列
（）なので、（）です。
特に が得られます。
被覆空間への応用
が普遍被覆のとき、（）です。
が単連結なので、完全列から高次ホモトピー群は被覆で変わりません。
球面束への応用
が球面束のとき、完全列は Gysin 完全列と関係します。
から のホモトピー群を帰納的に計算できます。
ループ空間との関係
パス空間ファイブレーション （ は のパス空間）の完全列から
が得られます。 は可縮なので です。
Serreファイブレーション
より一般に、Serreファイブレーション（ホモトピーリフト性を満たす写像）に対しても長完全列が存在します。
CW複体の間の写像で、各胞体に対してホモトピーリフトが可能ならば Serre ファイブレーションです。
五項補題と七項補題
完全列の一部から情報を引き出すために、五項補題や七項補題が使われます。
完全列 で がわかれば が決まる、という形の結果です。
ホモトピー完全列
。ファイバー束のホモトピー群を計算。
ホモロジー完全列
。相対ホモロジーとの関係。両者は異なる完全列。
