切除公理がない代わりの道具 - ホモトピー群の長完全列

ホモトピー群には切除公理がありません。空間を分けて計算する、という道が使えない。

代わりの道具が繊維束の長完全列です^[1]。繊維・全空間・底空間の 3 つのホモトピー群が、1 本の完全列に並びます。

以下では持ち上げの性質から始め、列の作り方と使い方を追い、ホップ束や被覆空間での計算を書き下します。

ホモトピーの持ち上げ

$p : E \to B$ が、ある空間 $X$ についてホモトピー持ち上げ性を持つとは、次が成り立つことです^[1,5]。

$B$ の中のホモトピー $h : X \times [0, 1] \to B$ と、その始点の持ち上げ $\tilde{h}_{0} : X \to E$ が与えられたとき、 $h$ を覆うホモトピー $\tilde{h} : X \times [0, 1] \to E$ が存在する。

底空間での動きを、全空間の中でなぞれる、という条件です。一意性は要求しません。

ファイブレーションの種類

すべての空間について持ち上げ性を持つものをフレヴィッツ・ファイブレーション、CW 複体についてだけ持つものをセール・ファイブレーションといいます^[1,5]。

前者のほうが強い条件です。フレヴィッツならセールでもある。

繊維束は、底空間がパラコンパクトかつハウスドルフならフレヴィッツ・ファイブレーションになります^[1]。ふつうに出てくる束はこの条件を満たす。

長完全列

$p : E \to B$ をセール・ファイブレーション、 $F = p^{- 1} (b_{0})$ を繊維とします。

$\dots \to π_{n} (F) \to π_{n} (E) \to π_{n} (B) \to π_{n - 1} (F) \to \dots \to π_{0} (E)$

が完全です^[1,2]。像と核が一致しながら、次数を下げつつ続く。

$π_{n} (B) \to π_{n - 1} (F)$ が境界写像です。底空間のループを持ち上げると、始点と終点が繊維の中でずれる。そのずれを見る。

完全列の読み方

完全であるとは、各所で像と核が一致することです。これだけで、かなりのことが言えます^[4]。

両隣が

0

なら、真ん中の写像は同型

左が

0

なら、次の写像は単射

右が

0

なら、前の写像は全射

未知の群を、既知の群のあいだに挟んで決める、というのが基本的な使い方です。

挟んで決める様子

両隣が $0$ になると、真ん中が同型になります。

両隣が $0$ になると、真ん中の 2 つが同型でつながります。 $0$ から来る像も、 $0$ へ行く核も、全体になる。

計算は「どこかが $0$ になる状況を探す」形で進みます。

例：ホップ束

$S^{1} \to S^{3} \to S^{2}$ に当てはめます。 $π_{n} (S^{1}) = 0$ が $n \geq 2$ で成り立つ^[2]。

したがって $n \geq 3$ では両隣が $0$ になり、 $π_{n} (S^{3}) ≅ π_{n} (S^{2})$ 。

$π_{3} (S^{3}) = Z$ なので $π_{3} (S^{2}) = Z$ が出ます。ホモロジーでは見えない群が、この列 1 本で決まる。

例： $π_{2} (S^{2})$ を確かめる

同じ列で $n = 2$ を見ます。 $π_{2} (S^{1}) = 0$ 、 $π_{2} (S^{3}) = 0$ 、 $π_{1} (S^{1}) = Z$ 、 $π_{1} (S^{3}) = 0$ 。

$0 \to π_{2} (S^{2}) \to Z \to 0$

が完全なので、 $π_{2} (S^{2}) = Z$ 。

例：被覆空間

被覆写像はファイブレーションで、繊維が離散集合です^[1]。したがって $π_{n} (F) = 0$ が $n \geq 1$ で成り立つ。

$n \geq 2$ では両隣が $0$ になり、 $π_{n} (E) ≅ π_{n} (B)$ ^[2]。

高次ホモトピー群は被覆で変わりません。基本群だけが変わる。

例： $π_{n} (RP^{m})$

$S^{m} \to RP^{m}$ が二重被覆です。 $m \geq 2$ なら $π_{n} (RP^{m}) ≅ π_{n} (S^{m})$ が $n \geq 2$ で成り立つ。

$π_{1} (RP^{m}) = Z /2$ で、こちらは $S^{m}$ とは違います。

被覆が変えるのは $π_{1}$ だけ、というのがこの計算から見えます。

被覆写像

繊維が離散。 $π_{1}$ だけが変わり、高次は同じままです。

円周束

繊維が $S^{1}$ 。 $π_{1}$ と $π_{2}$ が動き、高次は $n \geq 3$ でつながります。

例：道と輪の束

$B$ の基点から出る道の全体 $P B$ をとると、 $P B \to B$ （終点を返す）がファイブレーションになります^[1,5]。

繊維は基点に戻る道の全体、つまりループ空間 $Ω B$ 。 $P B$ は可縮です。

長完全列で $π_{n} (P B) = 0$ を入れると、 $π_{n} (B) ≅ π_{n - 1} (Ω B)$ が出ます。次数を 1 つずらす関係。

例：球面束

$S^{1} \to S^{2 n + 1} \to CP^{n}$ も同じ形です^[1]。

$n \geq 2$ のとき $π_{2} (CP^{n}) ≅ π_{1} (S^{1}) = Z$ 、 $π_{k} (CP^{n}) ≅ π_{k} (S^{2 n + 1})$ が $k \geq 3$ 。

$CP^{\infty}$ では全空間 $S^{\infty}$ が可縮なので、 $π_{2} = Z$ でほかがすべて $0$ 。 $K (Z, 2)$ になります。

繊維が離散集合の被覆 $p : E \to B$ について、 $π_{3} (E)$ と $π_{3} (B)$ の関係はどれか。

$π_{3} (E) = 0$
同型になる
$π_{3} (B)$ が $π_{3} (E)$ の部分群になる
関係は決まらない

__RESULT__

離散集合のホモトピー群は $n \geq 1$ で $0$ です。両隣が $0$ になるので同型になります。

対の長完全列

繊維束がなくても、対 $(X, A)$ に対して同じ形の列が作れます。

$\dots \to π_{n} (A) \to π_{n} (X) \to π_{n} (X, A) \to π_{n - 1} (A) \to \dots$

が完全です^[2]。相対ホモトピー群を挟む形。

繊維束の列は、この対の列から出せます。 $π_{n} (E, F) ≅ π_{n} (B)$ という同型を経由する。

境界写像の中身

$π_{n} (B) \to π_{n - 1} (F)$ を具体的に書きます。

$B$ の中の $n$ 次元球面の写像をとり、持ち上げようとする。持ち上がりますが、境界が繊維の中で閉じません^[2]。

閉じないぶんが $π_{n - 1} (F)$ の元です。持ち上げの失敗の度合いを測っている。

持ち上げの失敗を絵で見る

底空間のループを持ち上げると、繊維の中で始点と終点がずれます。

青が底空間のループ、赤がその持ち上げです。一周しても、赤い道は始点に戻りません。

戻らないぶんが繊維の中の元で、境界写像 $π_{1} (B) \to π_{0} (F)$ の値になります^[2]。次数を上げても同じ構図。

例：メビウス束で確かめる

$S^{1}$ 上のメビウス束をとります。繊維は区間で可縮。

底の円周を一周すると、繊維の向きが裏返ります。 $π_{1}$ の元が繊維の成分を入れ替える形。

繊維が連結なので $π_{0} (F)$ は 1 点ですが、境界に絞れば $S^{0}$ になり、ずれが目に見えます。

例：計算の順番を決める

長完全列を使うときは、既知の群を左右に配置してから未知を挟みます。

$S^{1} \to S^{3} \to S^{2}$ では、 $π_{n} (S^{1})$ が $n \geq 2$ で $0$ という事実がすべての鍵。 $S^{1}$ の高次が消えることが、列を切る役目を果たします^[6]。

どの束を選ぶかで計算の難しさが変わる、というのがこの道具の使いどころです。

完全性の証明の筋

各所での像と核の一致を、持ち上げ性から示します。

たとえば $π_{n} (E) \to π_{n} (B)$ の核が $π_{n} (F)$ の像であること。 $E$ の中の球面が $B$ で潰れるなら、潰すホモトピーを持ち上げて $F$ の中へ押し込める。

どの箇所も同じ形の議論です。持ち上げ性が 1 つあれば、列全体が動く^[5]。

五項補題

完全列を 2 本並べ、あいだに写像を置いた図式を考えます。

外側の 4 つが同型なら、真ん中も同型になる^[4]。これが五項補題。

繊維束の列を比べて結論を出すときによく使います。列 1 本ではなく、列どうしの比較で使う道具。

ホモロジーとの違い

ホモロジーには切除公理があり、マイヤー・ヴィートリス列が使えます。空間を分けて計算できる。

ホモトピー群にはこれがありません。代わりに繊維束の列が主な計算手段になります^[2]。

束を見つけられるかどうかが計算の成否を決める、という状況です。スペクトル系列は、この列を組織的に扱う仕組み。

よくある誤り

持ち上げの一意性を仮定する。ファイブレーションでは一意性を求めません

繊維束ならいつでもフレヴィッツだと思う。底空間の条件が要ります

π_{0}

の部分を群だと思って扱う。群構造がないので、完全性は像と核の対応として読みます

境界写像の向きを逆に覚える。

π_{n} (B) \to π_{n - 1} (F)

と次数が下がります

被覆で高次ホモトピー群が変わると思う。変わるのは

π_{1}

だけです

完全列 1 本ですべて決まると思う。両隣が

0

になる箇所を探す必要があります

ホモトピー群にマイヤー・ヴィートリス列があると思う。切除公理がありません

参考文献

Homotopy groups of spheres

ホモトピー群には切除公理がなく、空間を分けて計算する道が使えません。代わりに使うのが繊維束の長完全列で、繊維・全空間・底空間の群が 1 本に並びます。両隣が $0$ になる箇所を探して、未知の群を挟んで決める。$S^1 \to S^3 \to S^2$ に当てはめると $\pi_3(S^2) = \mathbb{Z}$ が出ます。被覆写像では繊維が離散なので、変わるのは $\pi_1$ だけ。境界写像が測っているのは、底のループを持ち上げたときのずれです。