冪零群は可解群より強い条件を満たす群のクラスである。-群はすべて冪零群であり、冪零群は可解群の重要な部分クラスをなす。
冪零群の定義
群 が冪零（nilpotent）であるとは、正規部分群の列
が存在して、 となることをいう。
各段階で「中心」を取り出していくと 全体に到達する、という条件である。
上中心列
、 で帰納的に定義される列
を上中心列（upper central series）という。 である。
が冪零 ある で となる。
下中心列
、 で帰納的に定義される列
を下中心列（lower central series）という。 である。
が冪零 ある で となる。
冪零類
上中心列が に到達する最小の を の冪零類（nilpotency class）という。
可換群は冪零類1である。冪零類が小さいほど「可換に近い」群である。
可換群と冪零群
可換群は冪零群である。 となるからである。
-群は冪零群
-群は冪零群である。
類等式から なので である。 も -群なので帰納法により が冪零であることが示せる。
冪零群の性質
冪零群の部分群は冪零群である。
冪零群の商群は冪零群である。
で と がともに冪零であっても、 は冪零とは限らない（可解群との違い）。
冪零群は可解群
冪零群は可解群である。
上中心列 に対して は可換群なので、可解群の定義を満たす。
有限冪零群の構造定理
有限群 が冪零であるための必要十分条件は、 が Sylow 部分群の直積として表せることである。
ここで は の Sylow -部分群である。
証明の概略
が冪零ならば、すべての Sylow 部分群が正規である（冪零群では極大部分群は正規なので）。異なる素数の Sylow 部分群の共通部分は なので、直積に分解される。
逆に、-群は冪零であり、冪零群の直積は冪零である。
二面体群の冪零性
は が2べきのときのみ冪零群である。
は2-群なので冪零。 は だが Sylow 2-部分群と Sylow 3-部分群が直積にならないので冪零でない（可解ではある）。
