中心を繰り返しとると全体に届く - 冪零群の定義と性質

中心をとって割る。また中心をとって割る。これを繰り返して全体に届く群が冪零群です^[4]。

$D_4$ では 2 回で届きます。$S_3$ では中心が最初から自明なので、1 歩も進みません。

2 つの列

下中心列を ${\gamma }_1(G)=G$、${\gamma }_{i+1}(G)=[G,{\gamma }_i(G)]$ で定めます^[3]。交換子をとるたびに小さくなる列です。

上中心列は逆向きに作ります。$Z_0=\{e\}$、$Z_{i+1}/Z_i=Z(G/Z_i)$^[1]。中心の逆像をとって伸ばしていく。

どちらも $G$ の正規部分群の列です。$G$ が冪零であるとは、次のいずれかが成り立つことをいいます^[4]。

3 番目を中心列といいます。3 つが同値であることを見ます^[4]。

中心列 $(G_i)$ があれば、帰納法で ${\gamma }_k(G)\subseteq G_k$ が出ます。$k=1$ は等号で、${\gamma }_k\subseteq G_k$ を仮定すると ${\gamma }_{k+1}=[G,{\gamma }_k]\subseteq [G,G_k]\subseteq G_{k+1}$。だから $G_{n+1}=\{e\}$ なら ${\gamma }_{n+1}=\{e\}$ です。

逆に ${\gamma }_{n+1}(G)=\{e\}$ なら、$G_i={\gamma }_i(G)$ 自身が中心列になる^[4]。下中心列は、中心列の中でいちばん速く縮むものです。

上中心列は反対に、いちばん速く伸びるものになります^[1]。中心列 $(G_i)$ を下から番号づけ直すと $G_{n+1-i}\subseteq Z_i$ が同じ形の帰納法で出て、$Z_n=G$ に届きます。

冪零類は、${\gamma }_{n+1}=\{e\}$ となる最小の $n$ です^[3]。可換群は ${\gamma }_2=[G,G]=\{e\}$ なので、冪零類 $1$ 以下。

$S_3$ で止まる

$S_3$ の下中心列を追います^[4]。${\gamma }_1=S_3$、${\gamma }_2=[S_3,S_3]=A_3$ です。

次で止まります。$[S_3,A_3]=A_3$ になるためです。実際 $(ab)$ と $(abc)$ の交換子を計算すると $(abc)$ が出るので、${\gamma }_3\supseteq A_3$^[1]。

以降 ${\gamma }_i=A_3$ のまま。$\{e\}$ に届きません。$S_3$ は冪零ではない^[4]。

上中心列で見ても同じです。$S_3$ の中心は自明なので $Z_1=\{e\}$、その先も動かない。

冪零ならば可解

導来列を $D^{0}G=G$、$D^{i+1}G=[D^{i}G,D^{i}G]$ とします。冪零なら可解です^[4]。

理由は包含 $D^{n}G\subseteq {\gamma }_{2^n}(G)$ にあります。導来列は下中心列より指数的に速く落ちる。

だから下中心列が $\{e\}$ に届けば導来列も届きます。逆は成り立ちません。$S_3$ は可解ですが冪零ではない^[4]。

中心拡大として作る

冪零類 $n+1$ 以下であることは、冪零類 $n$ 以下の群の中心拡大であることと同値です^[4]。

$G$ が冪零類 $n+1$ なら ${\gamma }_{n+2}(G)=\{e\}$ なので、${\gamma }_{n+1}(G)$ は $G$ の中心に入ります。$\Gamma =G/{\gamma }_{n+1}(G)$ と置くと ${\gamma }_{n+1}(\Gamma )=\{e\}$ で、$\Gamma$ は冪零類 $n$ 以下。

逆に $\{1\}\to A\to G\to \Gamma \to \{1\}$ が完全で $A$ が $G$ の中心に入り、${\gamma }_{n+1}(\Gamma )=\{e\}$ なら、${\gamma }_{n+1}(G)\subseteq A$ です。$A$ が中心にあるので ${\gamma }_{n+2}(G)=[G,{\gamma }_{n+1}(G)]=\{e\}$^[4]。

中心を 1 段ずつ積むと冪零群になる。これが構成のしかたです。

真部分群は自分より大きい正規化群を持つ

冪零群 $G$ と真部分群 $H$ について $N_G(H)\ne H$ が成り立ちます^[4]。

冪零類 $n$ についての帰納法です。$n=1$ なら $G$ は可換で $N_G(H)=G\ne H$。

$n\ge 2$ とし、中心に含まれる正規部分群 $A$ で $G/A$ が冪零類 $n-1$ 以下になるものをとります。$A$ は中心にあるので $N_G(H)\supseteq A$。

$H$ が $A$ を含まなければ、$N_G(H)$ が $A$ を含むぶんだけ $H$ より大きく、$N_G(H)\ne H$ です。

$H$ が $A$ を含むなら、$H/A$ は $G/A$ の真部分群です。帰納法から $N_{G/A}(H/A)\ne H/A$。$N_G(H)/A=N_{G/A}(H/A)$ なので $N_G(H)\ne H$ になります^[4]。

この性質を正規化群条件といいます。有限群では冪零性と同値です^[2]。

$p$ 群は冪零

位数が $p^k$ の群を $p$ 群といいます。$p$ 群はすべて冪零です^[3]。

証明の芯は、自明でない $p$ 群の中心が自明でないことにあります。類等式を書きます。

$$|G|=|Z(G)|+\sum _i[G:C_G(x_i)]$$

和は大きさ $2$ 以上の共役類の代表についてとります。各項 $[G:C_G(x_i)]$ は $1$ より大きい $p$ のべきなので $p$ で割り切れる。左辺も $p$ で割り切れるので、$|Z(G)|$ も $p$ の倍数です。$e\in Z(G)$ だから $|Z(G)|\ge p$。

これで上中心列が進みます。$Z_1=Z(G)\ne \{e\}$。$G/Z_1$ も $p$ 群なので、自明でなければその中心も自明でなく、$Z_2⊋Z_1$。

$G$ は有限なので、真に増え続ける列はいつか止まります。止まるのは $G/Z_i$ が自明になったとき、つまり $Z_i=G$ のときだけ。よって $G$ は冪零です^[3]。

上三角行列で見る

体 $K$ 上の $n$ 次元空間に完全旗 $V=V_0\supset V_1\supset \cdots \supset V_n=0$ をとり、次の部分群を考えます^[4]。

$$B_j=\{g\in GL(V):(g-1)V_i\subseteq V_{i+j}\text{ かつ }i\ge 0\}$$

$B_1$ は対角成分が $1$ の上三角行列の全体です。この列は $(B_i,B_j)\subseteq B_{i+j}$ を満たすので、$B_1\supset B_2\supset \cdots \supset B_n=\{1\}$ が中心列になる。$B_1$ は冪零です^[4]。

$n=3$ の場合が Heisenberg 群です。交換子部分群と中心が一致して、${\gamma }_2=Z$、${\gamma }_3=\{I_3\}$ になる^[1]。冪零類は $2$ です。

有限群では条件がそろう

有限群では、冪零性がいくつもの言い換えを持ちます^[2]。

極大部分群がすべて正規であることも同値です^[2]。片方は正規化群条件から出ます。極大部分群 $M$ について $N_G(M)\ne M$ なので $N_G(M)=G$、つまり $M⊴G$。

逆を見ます^[2]。極大部分群がすべて正規だとし、Sylow 部分群 $P$ をとります。$N_G(P)\ne G$ とすると、$N_G(P)$ を含む極大部分群 $M$ がある。仮定から $M⊴G$ なので $N_G(M)=G$。

一方、$P\subseteq M$ と Sylow の理論から $N_G(M)=M$ が出ます。$M$ を含む部分群で $M$ を正規化するものは $M$ に限る、という形の主張です。すると $M=G$ で、$M$ が真部分群であることに反する。

よって $N_G(P)=G$、つまりすべての Sylow 部分群が正規になります。

Sylow 部分群の直積

有限冪零群は Sylow 部分群の直積です^[3]。証明を書きます。

まず $N_G(N_G(P))=N_G(P)$ を示します。$g$ が $N_G(P)$ を正規化するとします。$gP{g}^{-1}$ は $N_G(P)$ の Sylow $p$ 部分群になる。ところが $P⊴N_G(P)$ なので、$N_G(P)$ の Sylow $p$ 部分群は $P$ ひとつだけ。よって $gP{g}^{-1}=P$、つまり $g\in N_G(P)$ です。

$N_G(P)\ne G$ だと、正規化群条件から $N_G(N_G(P))\ne N_G(P)$ となり、いま示したことに反します。よって $N_G(P)=G$ で、すべての Sylow 部分群が正規です。

異なる素数 $p\ne q$ の Sylow 部分群 $P,Q$ をとります。位数が互いに素なので $P\cap Q=\{e\}$。どちらも正規なので $[P,Q]\subseteq P\cap Q=\{e\}$ となり、元どうしが可換になる。

そこで写像 $P_1\times \cdots \times P_k\to G$ を積で定めると準同型です。核は各成分の位数が互いに素なことから自明で、位数を数えると両辺が一致する。同型になります^[3]。

逆向きは簡単です。$p$ 群は冪零で、冪零群の有限直積は冪零。だから Sylow 部分群の直積は冪零です^[4]。

二面体群はいつ冪零か

$D_n=⟨r,s\mid r^n,s^2,sr{s}^{-1}r⟩$ の下中心列を計算します^[1]。

まず交換子を 1 つ計算します。$[s,r^j]=s{r}^j{s}^{-1}{r}^{-j}=r^{-j}{r}^{-j}=r^{-2j}$。回転どうしは可換なので、$[D_n,⟨r^j⟩]=⟨r^{2j}⟩$ です。

${\gamma }_2=[D_n,D_n]=⟨r^2⟩$ から始めて、${\gamma }_{i+1}=⟨r^{2^i}⟩$ が続きます。

$n$ が奇数なら $\gcd (2,n)=1$ なので $⟨r^2⟩=⟨r⟩$ で、そこから動かない。$n=2^{k}m$（$m\ge 3$ は奇数）なら、$r^{2^k}$ の位数は奇数 $m$ なので $⟨r^{2^k}⟩=⟨r^{2^{k+1}}⟩$ となり、やはり止まります^[1]。

届くのは $m=1$、つまり $n$ が $2$ のべきのときだけです。$n=2^k$ なら ${\gamma }_{k+1}=⟨r^{2^k}⟩=⟨e⟩$ で、冪零類は $k$ になります^[1]。

$D_4$ の冪零類は $2$、$D_8$ は $3$、$D_{16}$ は $4$ です。$D_6\cong S_3\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の側は、いくら進んでも $\{e\}$ に届かない。

拡大では閉じない

部分群と商群は冪零性を受け継ぎます^[4]。有限個の直積も冪零で、冪零類は各因子の冪零類の最大値です。

拡大では成り立ちません。$N⊴G$ で $N$ と $G/N$ がどちらも冪零でも、$G$ が冪零とは限らない。

$S_3$ が反例です。$A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ も $S_3/A_3\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ もどちらも可換、つまり冪零類 $1$ です。それでも $S_3$ は冪零ではありません。

可解性は拡大で閉じるので、ここが 2 つのクラスの分かれ目になります。中心拡大に限れば冪零性も閉じる、というのが上で見たことでした。

正規冪零部分群の積

正規な冪零部分群 $H,K$ について、$HK$ も正規な冪零部分群になります^[2]。Fitting が 1938 年に示しました。

有限群では正規冪零部分群が有限個なので、それら全部の積が最大の正規冪零部分群になる。これを Fitting 部分群といい $F(G)$ と書きます^[2]。

$F(G)$ の Sylow $p$ 部分群は、$G$ の正規な $p$ 部分群のうち最大のもの $O_p(G)$ に一致します^[2]。

$G$ が冪零であることは $F(G)=G$ と同じ。冪零性は、群の中の「いちばん冪零な部分」が全体に届くかどうかを見ている、と言い直せます。

冪零性は「中心が毎回きちんと現れるか」を見ています。$p$ 群では類等式が中心の存在を保証するので必ず現れ、$S_3$ では最初から中心がないので 1 歩も進まない。有限群で Sylow 部分群の直積という形に落ちるのは、この見方の一番わかりやすい帰結です。

参考