冪零群の定義と性質

冪零群は可解群より強い条件を満たす群のクラスである。$p$-群はすべて冪零群であり、冪零群は可解群の重要な部分クラスをなす。

冪零群の定義

群 $G$ が冪零（nilpotent）であるとは、正規部分群の列

$$\{e\}=Z_0⊴Z_1⊴\cdots ⊴Z_n=G$$

が存在して、$Z_{i+1}/Z_i\subseteq Z(G/Z_i)$ となることをいう。

各段階で「中心」を取り出していくと $G$ 全体に到達する、という条件である。

上中心列

$Z_0=\{e\}$、$Z_{i+1}/Z_i=Z(G/Z_i)$ で帰納的に定義される列

$$\{e\}=Z_0⊴Z_1⊴Z_2⊴\cdots$$

を上中心列（upper central series）という。$Z_1=Z(G)$ である。

$G$ が冪零 $\iff$ ある $n$ で $Z_n=G$ となる。

下中心列

${\gamma }_1=G$、${\gamma }_{i+1}=[{\gamma }_i,G]$ で帰納的に定義される列

$$G={\gamma }_1⊵{\gamma }_2⊵{\gamma }_3⊵\cdots$$

を下中心列（lower central series）という。${\gamma }_2=[G,G]=G^{\prime }$ である。

$G$ が冪零 $\iff$ ある $n$ で ${\gamma }_n=\{e\}$ となる。

冪零類

上中心列が $G$ に到達する最小の $n$ を $G$ の冪零類（nilpotency class）という。

可換群は冪零類1である。冪零類が小さいほど「可換に近い」群である。

可換群と冪零群

可換群は冪零群である。$Z_1=Z(G)=G$ となるからである。

$p$-群は冪零群

$p$-群は冪零群である。

類等式から $Z(G)\ne \{e\}$ なので $Z_1\ne \{e\}$ である。$G/Z_1$ も $p$-群なので帰納法により $G$ が冪零であることが示せる。

冪零群の性質

冪零群の部分群は冪零群である。

冪零群の商群は冪零群である。

$N⊴G$ で $N$ と $G/N$ がともに冪零であっても、$G$ は冪零とは限らない（可解群との違い）。

冪零群は可解群

冪零群は可解群である。

上中心列 $Z_i$ に対して $Z_{i+1}/Z_i\subseteq Z(G/Z_i)$ は可換群なので、可解群の定義を満たす。

有限冪零群の構造定理

有限群 $G$ が冪零であるための必要十分条件は、$G$ が Sylow 部分群の直積として表せることである。

$$G\cong P_1\times P_2\times \cdots \times P_k$$

ここで $P_i$ は $G$ の Sylow $p_i$-部分群である。

証明の概略

$G$ が冪零ならば、すべての Sylow 部分群が正規である（冪零群では極大部分群は正規なので）。異なる素数の Sylow 部分群の共通部分は $\{e\}$ なので、直積に分解される。

逆に、$p$-群は冪零であり、冪零群の直積は冪零である。

二面体群の冪零性

$D_n$ は $n$ が2べきのときのみ冪零群である。

$D_4\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}⋊\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は2-群なので冪零。$D_6\cong S_3$ は $S_3/A_3\cong \mathbb{Z}/2$ だが Sylow 2-部分群と Sylow 3-部分群が直積にならないので冪零でない（可解ではある）。