Hopfファイブレーション

Hopfファイブレーションは $S^{3}$ から $S^{2}$ への自然なファイバー束で、代数的位相幾何学の最も美しい例の一つです。 $π_{3} (S^{2}) ≅ Z$ の生成元を与えます。

Hopfファイブレーションの定義

$S^{3} \subset C^{2}$ を $S^{3} = {(z_{1}, z_{2}) \in C^{2} : ∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} = 1}$ とします。

Hopf写像 $π : S^{3} \to S^{2} ≅ CP^{1}$ は

$π (z_{1}, z_{2}) = [z_{1} : z_{2}]$

で定義されます。各ファイバー $π^{- 1} ([z_{1} : z_{2}])$ は円周 $S^{1}$ です。

Hopfファイブレーションは次の完全列で表されます。

$S^{1} ↪ S^{3} π S^{2}$

$S^{3}$ は $S^{2}$ 上の $S^{1}$ ファイバー束です。この束は自明ではなく、 $S^{3} \neq = S^{2} \times S^{1}$ です。

Hopfファイブレーションの2つの異なるファイバー（2つの円周）は $S^{3}$ の中で1回だけ絡み合います。

$S^{2}$ 上の2点に対応する2つの $S^{1}$ ファイバーは、 $S^{3}$ 内のリンク数が $\pm 1$ となります。

ファイバー束のホモトピー完全列

$\dots \to π_{n} (S^{1}) \to π_{n} (S^{3}) \to π_{n} (S^{2}) \to π_{n - 1} (S^{1}) \to \dots$

から、 $π_{3} (S^{2}) ≅ π_{3} (S^{3}) ≅ Z$ が得られます。

Hopf写像 $π : S^{3} \to S^{2}$ 自身が $π_{3} (S^{2})$ の生成元です。

Hopfファイブレーションには他の版もあります。

実数版：

S^{1} \to S^{1} π S^{1}

（2重被覆、

z \mapsto z^{2}

）

複素数版：

S^{1} \to S^{3} π S^{2}

（通常のHopfファイブレーション）

四元数版：

S^{3} \to S^{7} π S^{4}

（

π_{7} (S^{4})

の生成元）

八元数版：

S^{7} \to S^{15} π S^{8}

$S^{7} \subset H^{2}$ （ $H$ は四元数体）として、 $π : S^{7} \to HP^{1} ≅ S^{4}$ で定義されます。

ファイバーは $S^{3}$ であり、 $S^{3} \to S^{7} \to S^{4}$ というファイバー束です。

Hopfファイブレーションは $U (1) ≅ S^{1}$ を構造群とする主 $U (1)$ -束です。

$U (1)$ が $S^{3}$ に $(z_{1}, z_{2}) \mapsto (e^{i θ} z_{1}, e^{i θ} z_{2})$ で作用し、軌道空間が $S^{2} ≅ CP^{1}$ となります。

Hopfファイブレーションは物理学で重要な役割を果たします。

磁気単極子の理論（Dirac弦の位相）

スピノルの幾何学

量子力学の幾何学的位相

$S^{3}$ を $R^{3} \cup {\infty}$ と同一視すると、Hopfファイバーはトーラス上の曲線として可視化できます。すべてのファイバーは互いに1回だけ絡み合い、美しい構造を持ちます。

通常のHopfファイブレーション

$S^{1} \to S^{3} \to S^{2}$ 。 $π_{3} (S^{2}) ≅ Z$ の生成元。複素射影直線。

四元数Hopfファイブレーション

$S^{3} \to S^{7} \to S^{4}$ 。 $π_{7} (S^{4})$ に関係。四元数射影直線。