Hopfファイブレーションは から への自然なファイバー束で、代数的位相幾何学の最も美しい例の一つです。 の生成元を与えます。
Hopfファイブレーションの定義
を とします。
Hopf写像 は
で定義されます。各ファイバー は円周 です。
ファイバー束としての構造
Hopfファイブレーションは次の完全列で表されます。
は 上の ファイバー束です。この束は自明ではなく、 です。
ファイバーの絡み合い
Hopfファイブレーションの2つの異なるファイバー（2つの円周）は の中で1回だけ絡み合います。
上の2点に対応する2つの ファイバーは、 内のリンク数が となります。
ホモトピー群との関係
ファイバー束のホモトピー完全列
から、 が得られます。
Hopf写像 自身が の生成元です。
実数版と四元数版
Hopfファイブレーションには他の版もあります。
実数版：（2重被覆、）
複素数版：（通常のHopfファイブレーション）
四元数版：（ の生成元）
八元数版：
四元数Hopfファイブレーション
（ は四元数体）として、 で定義されます。
ファイバーは であり、 というファイバー束です。
主束としての構造
Hopfファイブレーションは を構造群とする主 -束です。
が に で作用し、軌道空間が となります。
物理学との関係
Hopfファイブレーションは物理学で重要な役割を果たします。
磁気単極子の理論（Dirac弦の位相）
スピノルの幾何学
量子力学の幾何学的位相
可視化
を と同一視すると、Hopfファイバーはトーラス上の曲線として可視化できます。すべてのファイバーは互いに1回だけ絡み合い、美しい構造を持ちます。
通常のHopfファイブレーション
。 の生成元。複素射影直線。
四元数Hopfファイブレーション
。 に関係。四元数射影直線。
