共役類は共役作用による軌道であり、群の元を分類する基本的な方法である。類等式は有限群の構造、特に -群や単純群の解析に不可欠である。
共役の定義
群 の元 と が共役（conjugate）であるとは、ある が存在して となることをいう。 と書く。
共役は同値関係である。反射律（）、対称律（ ならば ）、推移律が成り立つ。
共役類
の共役類（conjugacy class）とは、 と共役なすべての元の集合である。
これは共役作用 による の軌道 に他ならない。
中心化群
の中心化群（centralizer）は
である。 と可換な元全体である。これは共役作用における の安定化群に等しい。
共役類の大きさ
軌道・安定化群定理により、
が成り立つ。共役類の大きさは群の位数を割り切る。
中心と1元共役類
（中心） である。
中心の元はそれ自身のみからなる共役類を形成する。
類等式
を有限群とする。 は共役類の非交和なので、
が成り立つ。右辺の和は大きさ2以上の共役類の代表元 について取る。これを類等式（class equation）という。
-群の中心は非自明
（ は素数）ならば である。
類等式において、 と はすべて で割り切れる。よって も で割り切れ、 となる。
位数の群は可換
ならば は可換群であり、 または である。
なので または である。 とすると は位数 で巡回群となるが、そのとき は可換となり で矛盾。よって である。
可換群の共役類
可換群では なので、すべての共役類は1元集合である。共役類の個数は に等しい。
対称群の共役類
において、置換の共役類は巡回型（cycle type）で決まる。
と は同じ巡回型 を持ち、共役である。
の共役類の個数は の分割数 に等しい。
正規部分群と共役類
は共役類の和集合として書ける。
正規部分群は共役で閉じているので、元を含めばその共役類全体を含む。
