共役類とは｜定義・中心化群・類等式と、D4 と D5 で変わる形

群 $G$ の元 $a$ と $b$ について、 $b = g a g^{- 1}$ となる $g \in G$ があるとき、 $a$ と $b$ は共役であるといいます。見る位置を変えただけで同じもの、という関係。

行列なら基底をとりかえた表現、置換なら番号を付けかえた置換にあたる。この関係で $G$ を分けたものが共役類です。

共役は同値関係になる

反射律は $a = e a e^{- 1}$ からすぐ出る。 $b = g a g^{- 1}$ なら $a = g^{- 1} b g$ なので、対称律も成り立ちます。

推移律は $c = hb h^{- 1}$ と $b = g a g^{- 1}$ から $c = (h g) a (h g)^{- 1}$ と合成するだけ。同値関係なので、 $G$ は共役類に重なりなく分かれます。

共役は位数を保つ

共役をとる写像 $x \mapsto g x g^{- 1}$ は $G$ の自己同型になる。積を保つことは $g (x y) g^{- 1} = (g x g^{- 1}) (g y g^{- 1})$ から出る。

だから $x^{k} = e$ と $(g x g^{- 1})^{k} = e$ は同じ条件で、位数が一致する。位数の違う元が共役になることはありません。

共役かどうかを調べるとき、まず位数で振り分けられる。これだけで多くの組が落ちます。

共役類は共役作用の軌道

$g \cdot x = g x g^{- 1}$ は、 $G$ の $G$ 自身への作用になる。

$Cl (a) = {g a g^{- 1} ∣ g \in G}$

この作用による $a$ の軌道が共役類 $Cl (a)$ です。左から掛けるだけの作用だと軌道が $G$ ひとつしかなく、何も見えてこない。

共役で作用させると、軌道の大きさがばらつきます。剰余類による分割と違い、共役類の大きさはそろわない。

中心化群は安定化群

$C_{G} (a) = {g \in G ∣ g a = a g}$

$a$ と交換する元の全体が中心化群 $C_{G} (a)$ です。 $g a g^{- 1} = a$ と $g a = a g$ は同じ条件なので、これは共役作用における $a$ の安定化群になる。

中心化群は部分群です。中心 $Z (G)$ はいつでも $C_{G} (a)$ に含まれ、 $a$ の生成する $⟨ a ⟩$ も含まれる。

共役類の大きさは指数で決まる

軌道と安定化群の定理を、共役作用に当てはめる。

$∣ Cl (a) ∣ = [G : C_{G} (a)] = \frac{∣ G ∣}{∣ C _{G} ( a ) ∣}$

共役類の大きさは、群の位数を割る。 $⟨ a ⟩ \subseteq C_{G} (a)$ を使うと、上からの評価も出る。

$∣ Cl (a) ∣ \leq \frac{∣ G ∣}{ord ( a )}$

位数の大きい元は共役類が小さくなる、ということ。

例：巡回型で共役かどうかが決まる

対称群では、共役を巡回の書き方でそのまま追える。

$τ (a_{1} a_{2} \dots a_{k}) τ^{- 1} = (τ (a_{1}) τ (a_{2}) \dots τ (a_{k}))$

番号を $τ$ で付けかえるだけ、という形です。だから共役をとっても巡回型は変わらない。

逆に、同じ巡回型なら番号の対応を $τ$ にとれば移り合う。 $S_{4}$ で $σ = (12) (34)$ 、 $τ = (132)$ とすると $τ σ τ^{- 1} = (31) (24)$ になる。

どちらも交わらない互換 2 つの積で、型は同じ。

例：S4 の共役類を数える

$S_{4}$ の元を巡回型で分けます。長さ $i$ の巡回が $m_{i}$ 個ある型について、中心化群の位数は $\prod_{i} m_{i}! \cdot i^{m_{i}}$ で計算できる。

巡回型	中心化群の位数	類の大きさ
$1^{4}$	24	1
$2 \cdot 1^{2}$	4	6
$2^{2}$	8	3
$3 \cdot 1$	3	8
$4$	4	6

合計すると $1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24$ で、たしかに $S_{4}$ の位数に一致する。類の個数は 5 個。

これは $4$ の分割の個数と同じで、 $4$ 、 $3 + 1$ 、 $2 + 2$ 、 $2 + 1 + 1$ 、 $1 + 1 + 1 + 1$ の 5 通りに対応する。

中心の元は 1 元の共役類をなす

$Cl (a)$ が 1 元集合になるのは、すべての $g$ で $g a g^{- 1} = a$ が成り立つときです。これは $a$ がすべての元と交換すること、つまり $a \in Z (G)$ と同じ。

中心化群の言葉なら $C_{G} (a) = G$ になる。だから 1 元の共役類の個数が、そのまま中心の位数です。

類等式

共役類は $G$ を重なりなく分けるので、大きさを足すと位数になる。1 元の類だけ先にまとめると、中心が現れる。

$∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i \sum [G : C_{G} (a_{i})]$

右の和は、大きさが 2 以上の類の代表元 $a_{i}$ についてとる。これを類等式といいます。

各項が $∣ G ∣$ を割るという条件が、このあと何度も効いてくる。

p 群の中心

位数が $p$ のべきなら、中心は自明にならない。類等式を $p$ で見るだけで出る。

位数が p の 2 乗の群

かならず可換になる。中心が真に大きくなるほかないためである。

単純性の判定

正規部分群は共役類の合併なので、部分和が位数を割るかどうかで調べられる。

例：D4 と D5 で類等式を比べる

正方形の対称性の群 $D_{4}$ は位数 8 です。共役類は ${e}$ 、 ${r^{2}}$ 、 ${r, r^{3}}$ 、向かい合う頂点を通る鏡映 2 つ、向かい合う辺の中点を通る鏡映 2 つに分かれる。

$8 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2$

1 元の類が 2 つあるので、中心は位数 2 で ${e, r^{2}}$ です。正五角形の $D_{5}$ になると様子が変わる。

$10 = 1 + 5 + 2 + 2$

鏡映は 5 つとも共役になり、1 元の類は単位元だけ。 $D_{5}$ の中心は自明です。

$n$ が偶数なら $r^{n /2}$ が中心に残り、奇数なら残らない。偶奇で形が変わります。

p 群の中心は自明でない

位数が $p^{n}$ の群 $G$ をとります。類等式を $p$ で割った余りで見る。

大きさ 2 以上の類はどれも $∣ G ∣$ を割るので、 $p$ の倍数になる。左辺の $∣ G ∣$ も $p$ の倍数。

すると $∣ Z (G) ∣$ も $p$ の倍数になる。単位元が入るので $∣ Z (G) ∣ \geq 1$ であり、あわせて $∣ Z (G) ∣ \geq p$ です。

位数だけから中心の大きさが分かる、という強い結論になる。類等式の使いどころとして、いちばん有名な場面です。

例：中心が大きいとは限らない

中心が位数 $p$ で止まる例があります。対角成分がすべて $1$ の $3$ 次上三角行列を、 $F_{p}$ の上で集めた群をとる。

$100 a 10 b c 1$

$a$ 、 $b$ 、 $c$ が自由に動くので位数は $p^{3}$ です。中心を計算すると $a = c = 0$ が出て、右上の $b$ だけが残る。

つまり中心の位数は $p$ しかありません。 $p$ 群の中心が $p^{2}$ 以上になる、という主張は成り立たない。

位数が p の 2 乗の群は可換

$∣ G ∣ = p^{2}$ とします。さきほどの結果から $∣ Z (G) ∣$ は $p$ か $p^{2}$ のどちらか。

$∣ Z (G) ∣ = p$ と仮定し、 $Z (G)$ に入らない元 $x$ をとる。 $Z (G) \subseteq C_{G} (x)$ であり、しかも $x$ 自身が $C_{G} (x)$ に入るので、この包含は真になります。

$∣ C_{G} (x) ∣$ は $p^{2}$ を割り、 $p$ より大きい。残るのは $p^{2}$ だけで、 $C_{G} (x) = G$ となります。

すると $x$ がすべての元と交換することになり、 $x \in / Z (G)$ にとったことと食い違う。よって $∣ Z (G) ∣ = p^{2}$ で、 $G$ は可換です。

さらに $G$ は $C_{p^{2}}$ か $C_{p} \times C_{p}$ のどちらかになる。位数の小さいところでは、類等式だけで分類まで届きます。

可換群では共役類がすべて 1 元

可換群では $g a g^{- 1} = a$ がいつでも成り立ちます。だから共役類はすべて 1 元集合で、類の個数は位数に一致する。

類等式は $1$ を位数の個数だけ足した形になり、何も言わない。

可換群

共役類はすべて 1 元。類の個数が位数に等しく、類等式は $1$ の足し算になる

非可換群

1 元の類は中心の元だけ。大きさのばらつきが、そのまま群の構造を映す

共役類が働くのは、非可換な群を調べるときです。

正規部分群は共役類の和

部分群 $N$ が正規であることは、すべての $g$ で $g N g^{- 1} = N$ が成り立つことです。言いかえると、 $N$ が元を含めばその共役類を丸ごと含むということ。

つまり正規部分群は、共役類の合併になっている部分群になる。逆向きは成り立たず、共役類の合併でも部分群でなければ正規部分群にはなりません。

$D_{4}$ なら ${e} \cup {r^{2}}$ が位数 2 の正規部分群、 ${e} \cup {r^{2}} \cup {r, r^{3}}$ が回転全体で位数 4 の正規部分群になる。

$D_{4}$ の共役類は ${e}$ 、 ${r^{2}}$ 、 ${r, r^{3}}$ 、 ${s, r^{2} s}$ 、 ${r s, r^{3} s}$ です。位数 4 の正規部分群になる組み合わせはどれですか。

${e}$ と ${s, r^{2} s}$
${e}$ 、 ${r^{2}}$ 、 ${r, r^{3}}$
${r^{2}}$ と ${r, r^{3}}$
${e}$ と ${r s, r^{3} s}$

__RESULT__

正規部分群は単位元の類を含む合併で、しかも部分群になるものです。 ${e, r, r^{2}, r^{3}}$ は回転全体で、位数 4 の巡回部分群になります。

内部自己同型として見る

$g$ による共役 $x \mapsto g x g^{- 1}$ は自己同型でした。これを $g$ について集めたものを内部自己同型群 $Inn (G)$ という。

$g$ にこの自己同型を対応させる写像の核は、すべての元と交換する元の全体、つまり中心です。

$Inn (G) ≅ G / Z (G)$

中心が大きいほど、共役で動く余地が小さくなる。 $Inn (G)$ は $Aut (G)$ の正規部分群にもなります。

共役類の個数と既約表現

有限群の複素既約表現の個数は、共役類の個数と一致します。 $S_{4}$ なら 5 個の類に対して 5 個の既約表現。

類の分け方が、そのまま表現の分け方になる。共役類を数えることが、群を線形代数へ翻訳する入口です。

共役類の上で値が一定な関数を類関数といい、表現の指標がその代表になります。既約表現の個数と共役類の個数が一致するのは、この空間の次元を 2 通りに数えた結果です。

共役でうつり合う元に同じ値をとる関数のこと。

$D_{4}$ なら 5 類で 5 個、 $D_{5}$ なら 4 類で 4 個の既約表現がある。共役類を数えた時点で、表現の個数まで決まっています。

よくある誤り

共役類が部分群になる、と思うと外します。単位元を含む類は

{e}

の類だけです。

共役類の大きさがそろう、とは言えません。剰余類と違い、大きさは類ごとに変わります。

共役類が逆元を含む、とも言えません。

Z

では

5

と

- 5

は共役になりません。

位数が同じなら共役、とは言えません。

D_{4}

の

r^{2}

と

s

はどちらも位数 2 ですが、別の類です。

共役類の合併ならいつでも正規部分群、とは言えません。部分群であることが要ります。

p

群の中心が位数

p^{2}

以上、とは言えません。位数

p^{3}

の上三角行列群は中心が位数

p

です。

可換群で共役類を調べても何も出ません。すべて 1 元なので、群の情報が乗らないためです。

参考文献

Keith Conrad, Conjugation in a group（コネチカット大学）

MIT OpenCourseWare 18.701 Lecture 19: Group Actions on G

Conjugacy class - Wikipedia

Konjugation (Gruppentheorie) - Wikipedia（ドイツ語）)

Classe de conjugaison - Wikipédia（フランス語）

共轭类 - 维基百科（中国語）

共役は、見る位置を変えただけで同じもの、という関係です。共役類の大きさは中心化群の指数なので位数を割り、足すと類等式になります。D4 では 8 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 で中心が 2 元、D5 では 10 = 1 + 5 + 2 + 2 で中心が単位元だけ。位数だけから p 群の中心が自明でないことも出ます。