共役類とは｜定義・中心化群・類等式と、D4 と D5 で変わる形

群 $G$ の元 $a$ と $b$ について、$b=ga{g}^{-1}$ となる $g\in G$ があるとき、$a$ と $b$ は共役であるといいます。見る位置を変えただけで同じもの、という関係。

行列なら基底をとりかえた表現、置換なら番号を付けかえた置換にあたる。この関係で $G$ を分けたものが共役類です。

共役は同値関係になる

反射律は $a=ea{e}^{-1}$ からすぐ出る。$b=ga{g}^{-1}$ なら $a=g^{-1}bg$ なので、対称律も成り立ちます。

推移律は $c=hb{h}^{-1}$ と $b=ga{g}^{-1}$ から $c=(hg)a(hg{)}^{-1}$ と合成するだけ。同値関係なので、$G$ は共役類に重なりなく分かれます。

共役は位数を保つ

共役をとる写像 $x\mapsto gx{g}^{-1}$ は $G$ の自己同型になる。積を保つことは $g(xy)g^{-1}=(gx{g}^{-1})(gy{g}^{-1})$ から出る。

だから $x^k=e$ と $(gx{g}^{-1}{)}^k=e$ は同じ条件で、位数が一致する。位数の違う元が共役になることはありません。

共役かどうかを調べるとき、まず位数で振り分けられる。これだけで多くの組が落ちます。

共役類は共役作用の軌道

$g\cdot x=gx{g}^{-1}$ は、$G$ の $G$ 自身への作用になる。

$$\mathrm{Cl}(a)=\{ga{g}^{-1}\mid g\in G\}$$

この作用による $a$ の軌道が共役類 $\mathrm{Cl}(a)$ です。左から掛けるだけの作用だと軌道が $G$ ひとつしかなく、何も見えてこない。

共役で作用させると、軌道の大きさがばらつきます。剰余類による分割と違い、共役類の大きさはそろわない。

中心化群は安定化群

$$C_G(a)=\{g\in G\mid ga=ag\}$$

$a$ と交換する元の全体が中心化群 $C_G(a)$ です。$ga{g}^{-1}=a$ と $ga=ag$ は同じ条件なので、これは共役作用における $a$ の安定化群になる。

中心化群は部分群です。中心 $Z(G)$ はいつでも $C_G(a)$ に含まれ、$a$ の生成する $⟨a⟩$ も含まれる。

共役類の大きさは指数で決まる

軌道と安定化群の定理を、共役作用に当てはめる。

$$|\mathrm{Cl}(a)|=[G:C_G(a)]=\frac{|G|}{|C_G(a)|}$$

共役類の大きさは、群の位数を割る。$⟨a⟩\subseteq C_G(a)$ を使うと、上からの評価も出る。

$$|\mathrm{Cl}(a)|\le \frac{|G|}{\mathrm{ord}(a)}$$

位数の大きい元は共役類が小さくなる、ということ。

例：巡回型で共役かどうかが決まる

対称群では、共役を巡回の書き方でそのまま追える。

$$\tau (a_1{a}_2\cdots a_k){\tau }^{-1}=(\tau (a_1)\tau (a_2)\cdots \tau (a_k))$$

番号を $\tau$ で付けかえるだけ、という形です。だから共役をとっても巡回型は変わらない。

逆に、同じ巡回型なら番号の対応を $\tau$ にとれば移り合う。$S_4$ で $\sigma =(12)(34)$、$\tau =(132)$ とすると $\tau \sigma {\tau }^{-1}=(31)(24)$ になる。

どちらも交わらない互換 2 つの積で、型は同じ。

例：S4 の共役類を数える

$S_4$ の元を巡回型で分けます。長さ $i$ の巡回が $m_i$ 個ある型について、中心化群の位数は ${\prod }_i{m}_i!\cdot i^{m_i}$ で計算できる。

合計すると $1+6+3+8+6=24$ で、たしかに $S_4$ の位数に一致する。類の個数は 5 個。

これは $4$ の分割の個数と同じで、$4$、$3+1$、$2+2$、$2+1+1$、$1+1+1+1$ の 5 通りに対応する。

中心の元は 1 元の共役類をなす

$\mathrm{Cl}(a)$ が 1 元集合になるのは、すべての $g$ で $ga{g}^{-1}=a$ が成り立つときです。これは $a$ がすべての元と交換すること、つまり $a\in Z(G)$ と同じ。

中心化群の言葉なら $C_G(a)=G$ になる。だから 1 元の共役類の個数が、そのまま中心の位数です。

類等式

共役類は $G$ を重なりなく分けるので、大きさを足すと位数になる。1 元の類だけ先にまとめると、中心が現れる。

$$|G|=|Z(G)|+\sum _i[G:C_G(a_i)]$$

右の和は、大きさが 2 以上の類の代表元 $a_i$ についてとる。これを類等式といいます。

各項が $|G|$ を割るという条件が、このあと何度も効いてくる。

例：D4 と D5 で類等式を比べる

正方形の対称性の群 $D_4$ は位数 8 です。共役類は $\{e\}$、$\{r^2\}$、$\{r,r^3\}$、向かい合う頂点を通る鏡映 2 つ、向かい合う辺の中点を通る鏡映 2 つに分かれる。

$$8=1+1+2+2+2$$

1 元の類が 2 つあるので、中心は位数 2 で $\{e,r^2\}$ です。正五角形の $D_5$ になると様子が変わる。

$$10=1+5+2+2$$

鏡映は 5 つとも共役になり、1 元の類は単位元だけ。$D_5$ の中心は自明です。

$n$ が偶数なら $r^{n/2}$ が中心に残り、奇数なら残らない。偶奇で形が変わります。

p 群の中心は自明でない

位数が $p^n$ の群 $G$ をとります。類等式を $p$ で割った余りで見る。

大きさ 2 以上の類はどれも $|G|$ を割るので、$p$ の倍数になる。左辺の $|G|$ も $p$ の倍数。

すると $|Z(G)|$ も $p$ の倍数になる。単位元が入るので $|Z(G)|\ge 1$ であり、あわせて $|Z(G)|\ge p$ です。

位数だけから中心の大きさが分かる、という強い結論になる。類等式の使いどころとして、いちばん有名な場面です。

例：中心が大きいとは限らない

中心が位数 $p$ で止まる例があります。対角成分がすべて $1$ の $3$ 次上三角行列を、${\mathbb{F}}_p$ の上で集めた群をとる。

$$\left(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$a$、$b$、$c$ が自由に動くので位数は $p^3$ です。中心を計算すると $a=c=0$ が出て、右上の $b$ だけが残る。

つまり中心の位数は $p$ しかありません。$p$ 群の中心が $p^2$ 以上になる、という主張は成り立たない。

位数が p の 2 乗の群は可換

$|G|=p^2$ とします。さきほどの結果から $|Z(G)|$ は $p$ か $p^2$ のどちらか。

$|Z(G)|=p$ と仮定し、$Z(G)$ に入らない元 $x$ をとる。$Z(G)\subseteq C_G(x)$ であり、しかも $x$ 自身が $C_G(x)$ に入るので、この包含は真になります。

$|C_G(x)|$ は $p^2$ を割り、$p$ より大きい。残るのは $p^2$ だけで、$C_G(x)=G$ となります。

すると $x$ がすべての元と交換することになり、$x\notin Z(G)$ にとったことと食い違う。よって $|Z(G)|=p^2$ で、$G$ は可換です。

さらに $G$ は $C_{p^2}$ か $C_p\times C_p$ のどちらかになる。位数の小さいところでは、類等式だけで分類まで届きます。

可換群では共役類がすべて 1 元

可換群では $ga{g}^{-1}=a$ がいつでも成り立ちます。だから共役類はすべて 1 元集合で、類の個数は位数に一致する。

類等式は $1$ を位数の個数だけ足した形になり、何も言わない。

共役類が働くのは、非可換な群を調べるときです。

正規部分群は共役類の和

部分群 $N$ が正規であることは、すべての $g$ で $gN{g}^{-1}=N$ が成り立つことです。言いかえると、$N$ が元を含めばその共役類を丸ごと含むということ。

つまり正規部分群は、共役類の合併になっている部分群になる。逆向きは成り立たず、共役類の合併でも部分群でなければ正規部分群にはなりません。

$D_4$ なら $\{e\}\cup \{r^2\}$ が位数 2 の正規部分群、$\{e\}\cup \{r^2\}\cup \{r,r^3\}$ が回転全体で位数 4 の正規部分群になる。

内部自己同型として見る

$g$ による共役 $x\mapsto gx{g}^{-1}$ は自己同型でした。これを $g$ について集めたものを内部自己同型群 $\mathrm{Inn}(G)$ という。

$g$ にこの自己同型を対応させる写像の核は、すべての元と交換する元の全体、つまり中心です。

$$\mathrm{Inn}(G)\cong G/Z(G)$$

中心が大きいほど、共役で動く余地が小さくなる。$\mathrm{Inn}(G)$ は $\mathrm{Aut}(G)$ の正規部分群にもなります。

共役類の個数と既約表現

有限群の複素既約表現の個数は、共役類の個数と一致します。$S_4$ なら 5 個の類に対して 5 個の既約表現。

類の分け方が、そのまま表現の分け方になる。共役類を数えることが、群を線形代数へ翻訳する入口です。

$D_4$ なら 5 類で 5 個、$D_5$ なら 4 類で 4 個の既約表現がある。共役類を数えた時点で、表現の個数まで決まっています。

よくある誤り

参考文献