共役類と類等式

共役類は共役作用による軌道であり、群の元を分類する基本的な方法である。類等式は有限群の構造、特に $p$-群や単純群の解析に不可欠である。

共役の定義

群 $G$ の元 $a$ と $b$ が共役（conjugate）であるとは、ある $g\in G$ が存在して $b=ga{g}^{-1}$ となることをいう。$a\sim b$ と書く。

共役は同値関係である。反射律（$a=ea{e}^{-1}$）、対称律（$b=ga{g}^{-1}$ ならば $a=g^{-1}bg$）、推移律が成り立つ。

共役類

$a\in G$ の共役類（conjugacy class）とは、$a$ と共役なすべての元の集合である。

$$\mathrm{Cl}(a)=\{ga{g}^{-1}:g\in G\}$$

これは共役作用 $g\cdot x=gx{g}^{-1}$ による $a$ の軌道 $G\cdot a$ に他ならない。

中心化群

$a\in G$ の中心化群（centralizer）は

$$C_G(a)=\{g\in G:ga=ag\}$$

である。$a$ と可換な元全体である。これは共役作用における $a$ の安定化群に等しい。

共役類の大きさ

軌道・安定化群定理により、

$$|\mathrm{Cl}(a)|=[G:C_G(a)]=\frac{|G|}{|C_G(a)|}$$

が成り立つ。共役類の大きさは群の位数を割り切る。

中心と1元共役類

$a\in Z(G)$（中心）$\iff$ $C_G(a)=G$ $\iff$ $|\mathrm{Cl}(a)|=1$ である。

中心の元はそれ自身のみからなる共役類を形成する。

類等式

$G$ を有限群とする。$G$ は共役類の非交和なので、

$$|G|=|Z(G)|+\sum _i[G:C_G(a_i)]$$

が成り立つ。右辺の和は大きさ2以上の共役類の代表元 $a_i$ について取る。これを類等式（class equation）という。

$p$-群の中心は非自明

$|G|=p^n$（$p$ は素数）ならば $Z(G)\ne \{e\}$ である。

類等式において、$|G|$ と $[G:C_G(a_i)]$ はすべて $p$ で割り切れる。よって $|Z(G)|$ も $p$ で割り切れ、$|Z(G)|\ge p$ となる。

$p^2$ 位数の群は可換

$|G|=p^2$ ならば $G$ は可換群であり、$G\cong \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ または $G\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ である。

$|Z(G)|\ge p$ なので $|Z(G)|=p$ または $p^2$ である。$|Z(G)|=p$ とすると $G/Z(G)$ は位数 $p$ で巡回群となるが、そのとき $G$ は可換となり $Z(G)=G$ で矛盾。よって $Z(G)=G$ である。

可換群の共役類

可換群では $ga{g}^{-1}=a$ なので、すべての共役類は1元集合である。共役類の個数は $|G|$ に等しい。

対称群の共役類

$S_n$ において、置換の共役類は巡回型（cycle type）で決まる。

$(12)(345)$ と $(13)(246)$ は同じ巡回型 $(2,3)$ を持ち、共役である。

$S_n$ の共役類の個数は $n$ の分割数 $p(n)$ に等しい。

正規部分群と共役類

$N⊴G$ $\iff$ $N$ は共役類の和集合として書ける。

正規部分群は共役で閉じているので、元を含めばその共役類全体を含む。