ホワイトヘッドの定理〜群がそろえば同じ空間と言えるのか

ホモトピー群がすべて同型なら、2 つの空間は同じものと言えるか。素朴には言えそうですが、そのままでは成り立ちません。

条件を 2 つ足すと成り立ちます。空間が CW 複体であること、そして同型を誘導する写像が実際にあること^[1]。これがホワイトヘッドの定理です。

以下では弱ホモトピー同値の定義から始め、2 つの条件がそれぞれどこで効くのかを反例で確かめ、CW 近似とホモロジー版まで扱います。

弱ホモトピー同値

連続写像 $f:X\to Y$ が、道連結成分の集合に全単射を、すべての基点とすべての $n\ge 1$ でホモトピー群に同型を誘導するとき、$f$ を弱ホモトピー同値といいます^[3]。

ホモトピー同値なら弱ホモトピー同値です。逆写像の存在まで求めていないぶん、条件が弱い。

弱いほうが確かめやすいので、まずこちらを示して定理で持ち上げる、という使い方をします。

定理の主張

$X$、$Y$ を CW 複体とし、$f:X\to Y$ を弱ホモトピー同値とします。このとき $f$ はホモトピー同値です^[1,4]。

$f$ のホモトピー逆写像が存在する、という主張。群の同型から写像の存在が出てきます。

ホワイトヘッドが 1949 年に示しました。CW 複体を導入した論文と同じ時期のもの。

群が同型なだけでは足りない

ホモトピー群が抽象的な群として同型でも、結論は出ません。誘導する写像が要ります^[1]。

反例があります。$S^2\times {\mathbb{RP}}^3$ と ${\mathbb{RP}}^2\times S^3$ を比べる。

どちらも基本群が $\mathbb{Z}/2$ で、普遍被覆が $S^2\times S^3$ です。したがってすべてのホモトピー群が同型になります^[1]。

例：ホモロジーで区別する

いまの 2 つは、ホモロジー群が違います。したがってホモトピー同値ではありません^[1]。

群がそろっていても、それをつなぐ写像がなければ何も言えない。定理が「写像 $f$ が誘導する」という形で書かれているのは、このため。

同型の存在と、同型を実現する写像の存在は別のことです。

例：同じ群でも違う空間

反例の 2 つを、次数ごとに並べて見ます。

上段はそろい、下段は食い違います。同じ普遍被覆を持つことが、ホモトピー群の一致を作っている^[1]。

一致しているのに同値でない。定理が写像を要求する理由が、この 1 例で分かります。

CW という仮定はどこで効くか

CW 複体でなければ、写像があっても結論が出ません^[1,2]。

ワルシャワ円周がその例です。位相幾何学者の正弦曲線を弧で閉じた、平面のコンパクト部分集合。

ホモトピー群がすべて自明で、1 点への写像は弱ホモトピー同値になります。ところが可縮ではありません^[2]。

ワルシャワ円周

$y=\sin (1/x)$ のグラフを $x>0$ でとり、$x\to 0$ の極限で残る線分をつなぎ、さらに弧で両端を結びます。

このつなぎ目のところで、局所的な性質が壊れます。どんな小さな近傍をとっても、無限に振動する部分が入る。

局所可縮でないので、CW 複体のホモトピー型を持ちません^[2]。定理の仮定を外れる。

拡大しても振動が収まりません。左端の近くでは、どんな小さな近傍にも無限個の山が入る。

この振動があるせいで、ループを縮める連続な方法が作れません。ホモトピー群は自明なのに、可縮でない^[2]。

CW 近似

どんな位相空間 $X$ にも、CW 複体 $Z$ と弱ホモトピー同値 $Z\to X$ が存在します^[3]。

したがってホモトピー群だけを見る限り、CW 複体で考えれば足ります。ワルシャワ円周の CW 近似は 1 点。

近似をとると情報が落ちます。落ちるのは、ホモトピー群では見えていなかった部分だけ。

弱同値で割る

ホモトピー圏を作るとき、弱ホモトピー同値を同型として扱います^[3]。

このやり方だと、ワルシャワ円周と 1 点が同一視されます。区別したければ、別の理論が要る。

形状理論は、そういう空間を扱うために作られました^[2]。

ホモロジー版

単連結な CW 複体のあいだの写像が、ホモロジー群に同型を誘導すれば、その写像はホモトピー同値です^[5]。

証明にはフレヴィッツの定理を使います。相対版で帰納的に持ち上げる。

単連結という仮定が要ります。基本群が非自明だと、ホモロジーだけでは足りない。

フレヴィッツの定理

$X$ が $(n-1)$ 連結なら、フレヴィッツ写像 ${\pi }_n(X)\to H_n(X)$ が同型になります^[5]。

$n=1$ では、${\pi }_1$ の可換化が $H_1$ に一致します。可換化のぶんだけ情報が落ちる。

ホモトピーとホモロジーが、連結性の高いところで一致する、という主張です。

例：単連結でないと崩れる

ホモロジー版で単連結の仮定を外すと反例が出ます。

$S^1\vee S^n$（$n\ge 2$）と $S^1$ を比べる。基本群はどちらも $\mathbb{Z}$ ですが、ホモトピー型は違います。

適当な写像でホモロジーだけそろえても、${\pi }_n$ が違うので同値になりません。

証明の筋

$f$ を写像柱に置き換え、対 $(M_f,X)$ を考えます。$f$ が弱同値なら、相対ホモトピー群がすべて $0$^[1]。

胞体を 1 つずつ見て、$X$ へ押し込むホモトピーを作る。CW 構造があるので、次元の低いほうから順に処理できます。

ホモトピー拡張性が使えることが、CW という仮定の効きどころです。

使い方

実際には、次の順で使うことが多くなります。

群の計算は代数の問題に落ちます。写像の存在を直接示すより、ずっと扱いやすい。

何のための定理か

ホモトピー同値であることを、直接示すのは難しい仕事です。逆写像とホモトピーを 2 本、明示的に作る必要がある。

ホモトピー群の同型なら、代数の計算で片づきます。定理はこの 2 つを橋渡しする道具^[4]。

CW 複体がホモトピー論の標準的な舞台になっているのは、この橋が架かる範囲だからです。

よくある誤り

参考文献