Whiteheadの定理

Whiteheadの定理は、CW複体の間の弱ホモトピー同値がホモトピー同値であることを主張します。ホモトピー論においてCW複体が重要である理由の一つです。

弱ホモトピー同値の定義

連続写像 $f:X\to Y$ が弱ホモトピー同値（weak homotopy equivalence）であるとは、すべての $n\ge 0$ で

$$f_{\ast }:{\pi }_n(X,x_0)\stackrel{\cong }{\to }{\pi }_n(Y,f(x_0))$$

が同型となることです。

定理の主張

$f:X\to Y$ をCW複体の間の連続写像とする。$f$ が弱ホモトピー同値ならば、$f$ はホモトピー同値である。

すなわち、$g:Y\to X$ で $g\circ f\simeq {\mathrm{id}}_X$, $f\circ g\simeq {\mathrm{id}}_Y$ を満たすものが存在します。

一般の空間では成り立たない

一般の位相空間では、弱ホモトピー同値がホモトピー同値とは限りません。

Whiteheadの定理はCW複体（または同等の性質を持つ空間）に特有の結果です。

反例

Warsaw circle（ワルシャワ円）と呼ばれる空間は、すべてのホモトピー群が $S^1$ と同型ですが、$S^1$ とはホモトピー同値ではありません。

Warsaw circle は位相幾何学者の正弦曲線に端点を追加して円にしたもので、CW複体ではありません。

証明の概略

CW複体の構造を用いて、胞体ごとにホモトピー逆写像を構成します。

$f:X\to Y$ が ${\pi }_n$ で全射かつ単射なら、$Y$ の各胞体に対して $X$ への写像を延長できます。帰納的に逆写像を構成し、ホモトピーを作ります。

CW近似との関係

任意の空間 $X$ に対して、CW複体 $Y$ と弱ホモトピー同値 $f:Y\to X$ が存在します。

したがって、ホモトピー論的には任意の空間はCW複体で「代表」できます。

ホモトピー圏

CW複体をオブジェクト、ホモトピー類を射とする圏をホモトピー圏といいます。

Whiteheadの定理は、この圏で弱同値が同型であることを意味します。

相対版

相対版Whiteheadの定理もあります。$(X,A)$, $(Y,B)$ がCW対で、$f:(X,A)\to (Y,B)$ がすべての相対ホモトピー群で同型を誘導するならば、$f$ は相対ホモトピー同値です。

ホモロジー版

ホモロジー版Whiteheadの定理：$f:X\to Y$ が単連結CW複体の間の写像で、$f_{\ast }:H_n(X)\to H_n(Y)$ がすべての $n$ で同型ならば、$f$ はホモトピー同値です。

Hurewiczの定理と組み合わせて使います。

応用

Whiteheadの定理の応用例：