解析接続とべき級数展開

解析接続の具体的な実行手段として、べき級数展開は重要な方法である。正則関数は局所的にべき級数で表現でき、この性質を利用して定義域を段階的に拡張していく。

べき級数の収束円

点 $a$ を中心とするべき級数

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$

は、ある半径 $R$ に対して $|z-a|<R$ で絶対収束し、$|z-a|>R$ で発散する。この $R$ を収束半径という。

収束半径は Cauchy-Hadamard の公式

$$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|c_n|}$$

で与えられる。収束円 $|z-a|<R$ の内部で、$f(z)$ は正則関数を定義する。

接続の手順

点 $a$ の周りで定義された $f(z)$ を、収束円外の点 $w$ まで拡張する手順を考えよう。

収束円 $|z-a|<R$ の内部に点 $b$ をとる。$b$ の周りで新たにべき級数展開を行うと

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{d}_n(z-b{)}^n$$

が得られる。係数は

$$d_n=\frac{f^{(n)}(b)}{n!}$$

で計算できる。

この新しいべき級数の収束半径を $R^{\prime }$ とすると、$|z-b|<R^{\prime }$ で正則関数が定義される。$b$ を適切に選べば、元の収束円を越えた領域まで関数を拡張できる。

具体例：幾何級数

最も単純な例として

$$f(z)=\frac{1}{1-z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n$$

を考える。原点中心の収束半径は $R=1$ である。

点 $b=\frac{1}{2}$ で再展開しよう。$z=b+(z-b)$ と書くと

$$\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-b-(z-b)}=\frac{1}{\frac{1}{2}-(z-b)}=\frac{2}{1-2(z-b)}$$

これをべき級数展開すると

$$f(z)=2\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n(z-\frac{1}{2}{)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }{2}^{n+1}(z-\frac{1}{2}{)}^n$$

となる。この級数の収束半径は $R^{\prime }=\frac{1}{2}$ であり、$|z-\frac{1}{2}|<\frac{1}{2}$ すなわち $0<\Re (z)<1$ の範囲で収束する。

元の級数では $\Re (z)>0$ の一部しかカバーできなかったが、再展開により $\Re (z)>0$ の領域全体へ拡張された。

接続経路と一意性

点 $a$ から点 $w$ へ解析接続する際、経路の取り方によって結果が異なる場合がある。

たとえば $f(z)=\sqrt{z}$ を考える。$z=1$ から出発して正の実軸上で $f(1)=1$ とする。

$z=1$ から $z=-1$ へ接続する際、上半平面を通る経路では $f(-1)=i$ となるが、下半平面を通ると $f(-1)=-i$ となる。原点を一周することで符号が反転する。

自然な境界の例

すべての境界点が特異点となり、それ以上の解析接続が不可能な場合を考える。

関数

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^{2^n}$$

は原点を中心とする収束半径 $R=1$ のべき級数。

単位円 $|z|=1$ 上の任意の点 $\zeta =e^{2\pi ip/q}$（$p,q$ は互いに素な整数）において、${\zeta }^{2^n}$ は周期的に繰り返される。このため級数は振動して収束せず、$\zeta$ は特異点となる。

有理点が単位円上で稠密であることから、連続性により円周全体が特異点となる。これが自然な境界である。