解析接続とは｜べき級数の再展開・多価性・自然境界

べき級数は収束円の中でしか意味を持たない。しかしその外側にも同じ関数が延びていることがある。円の中心を移して展開し直すと、届く範囲が変わるからである。

この操作を繰り返して定義域を広げるのが解析接続である。どこまで広げられるか、途中で分岐しないか、そもそも一意に決まるのかが問題になる。

何をしたいのか

$1/(1-z)$ は $z=1$ を除いて意味を持つ関数である。ところが原点でのべき級数 $\sum z^n$ は $|z|<1$ でしか収束しない。

級数という表し方に限界があるだけで、関数そのものが単位円で切れているわけではない。表し方を取り替えれば先へ進める。

中心を $z=-1/2$ に移して展開し直すと、今度は $|z+1/2|<3/2$ で収束する。もとの単位円の外側、$z=-1.5$ のような点まで届く。

これを繰り返して定義域を広げていく。ただし、広げた先の値が経路によらず定まるのか、どこかで行き止まるのかは、別に調べなければならない。

べき級数の収束円

点 $a$ を中心とするべき級数を考える。

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$

ある $R\in [0,\infty ]$ があって、$|z-a|<R$ で絶対収束し、$|z-a|>R$ で発散する。この $R$ を収束半径という。

値はコーシー・アダマールの公式で決まる。

$$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|c_n|}$$

収束円の内部で $f$ は正則である。項別微分ができ、導関数もべき級数になる。

$$f^{\prime }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }n{c}_n(z-a{)}^{n-1}$$

この級数の収束半径も $R$ に等しい。何回でも微分でき、$c_n=f^{(n)}(a)/n!$ が成り立つ。

収束半径は最も近い特異点までの距離

収束半径が何で決まるかを見る。答えは特異点の位置である。

まず、$f$ が円板 $D(a,r)$ で正則なら $R\ge r$ である。コーシーの積分公式から係数評価が出る。

$\rho <r$ を取り、$|z-a|=\rho$ 上での $|f|$ の最大値を $M(\rho )$ とすると、コーシーの評価式は次を与える。

$$|c_n|\le \frac{M(\rho )}{{\rho }^n}$$

これを $n$ 乗根に入れると $\mathrm{limsup}|c_n{|}^{1/n}\le 1/\rho$ である。$\rho$ を $r$ に近づけて $R\ge r$ を得る。

逆に $0<R<\infty$ なら、境界 $|z-a|=R$ の上に特異点が少なくとも 1 つある。

もし境界上のすべての点が正則点なら、各点の近傍へ $f$ が延びる。境界はコンパクトなので有限個で覆え、$R$ より大きい半径 $r^{\prime }$ の円板全体で正則になる。

すると前半から $R\ge r^{\prime }>R$ となって矛盾する。したがって境界上に特異点が存在する。

実軸だけ見ても分からない例

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

実数の関数として見ると、すべての実数で定義され何回でも微分できる。特異な点はどこにもない。

ところが原点でのテイラー級数の収束半径は 1 である。

$$\frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}$$

$|x|>1$ では発散する。実数の世界にいるかぎり、なぜ 1 で止まるのか説明できない。

複素数に広げると理由が見える。$z=\pm i$ が極であり、原点からの距離がちょうど 1 である。前節の定理どおり、最も近い特異点までの距離が収束半径になっている。

実軸上の現象が、実軸から離れた点によって支配されている。複素解析を使う動機のひとつがこれである。

解析接続の定義

領域 $D_1\subseteq D_2$ とし、$f$ を $D_1$ 上の正則関数とする。$D_2$ 上の正則関数 $F$ で $D_1$ 上 $f$ に一致するものを、$f$ の $D_2$ への解析接続という。

大事なのは「正則なまま延ばす」ことである。連続に延ばすだけなら方法はいくらでもあるが、正則性を課すと選択の余地がほとんどなくなる。

その「ほとんどない」を正確にするのが次の一致の定理である。解析接続の理論はここから始まる。

一致の定理

$D$ を領域、すなわち連結な開集合とする。$f,g$ を $D$ 上の正則関数とし、$D$ 内に集積点を持つ集合の上で $f=g$ が成り立つとする。このとき $D$ 全体で $f=g$ である。

$h=f-g$ とおき、次の集合を考える。

$$Z=\{z\in D:h^{(n)}(z)=0(n=0,1,2,\dots )\}$$

$Z$ は閉集合である。各 $h^{(n)}$ が連続なので、その零点集合は閉であり、閉集合の共通部分も閉だからである。

$Z$ は開集合でもある。$z_0\in Z$ なら $z_0$ でのテイラー展開の係数がすべて $0$ なので、収束円内で $h\equiv 0$ である。その円板は $Z$ に含まれる。

$Z$ が空でないことを見る。仮定の集積点を $p$ とすると、連続性から $h(p)=0$ である。

もし $h$ が $p$ の近くで恒等的に $0$ でないなら、$h(z)=(z-p{)}^{m}u(z)$（$u(p)\ne 0$）と書ける。$u$ の連続性から $p$ の十分小さい近傍で $u\ne 0$ となり、その近傍で $h$ の零点は $p$ のみになる。

これは $p$ が零点の集積点であることに反する。よって $h$ は $p$ の近傍で恒等的に $0$ であり、$p\in Z$ である。

$Z$ は空でない開かつ閉な部分集合で、$D$ は連結だから $Z=D$ である。したがって $h\equiv 0$ となる。

接続の一意性

一致の定理から一意性がただちに従う。$D_1\subseteq D_2$ を領域とし、$f$ を $D_1$ 上の正則関数とする。

$D_2$ への解析接続は、存在すれば一意である。

$F_1$ と $F_2$ が両方とも接続だとすると、$D_1$ 上で一致する。$D_1$ は空でない開集合なので、その点はすべて集積点である。

一致の定理を $D_2$ に適用して $F_1=F_2$ を得る。

延ばし方に自由度がないので、「その関数の解析接続」と定冠詞つきで呼んでよい。あとで見る多価性は、この一意性を破るものではなく、経路ごとに別の接続が得られるという話である。

再展開による接続

具体的な接続の手段がべき級数の再展開である。$f$ が $D(a,R)$ で正則とし、$b\in D(a,R)$ を取る。

$b$ を中心に展開し直す。係数は $d_n=f^{(n)}(b)/n!$ で計算できる。

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{d}_n(z-b{)}^n$$

この級数の収束半径を $R^{\prime }$ とする。$R^{\prime }>R-|b-a|$ であれば、新しい円板がもとの円板からはみ出し、真の拡張になる。

問題は、どの $b$ を選べば拡張になるかである。次の評価と 2 つの例でそこを見る。

新しい収束半径の下からの評価

つねに $R^{\prime }\ge R-|b-a|$ が成り立つ。等号のときは何も広がらない。

三角不等式から $D(b,R-|b-a|)\subseteq D(a,R)$ である。$|z-b|<R-|b-a|$ なら $|z-a|\le |z-b|+|b-a|<R$ だからである。

$f$ はこの小さい円板で正則なので、収束半径の下からの評価から $R^{\prime }\ge R-|b-a|$ となる。

したがって再展開で定義域が狭くなることはない。しかし広がる保証もない。広がるかどうかは特異点の配置で決まる。

特異点から遠ざかる方向に移す

$$f(z)=\frac{1}{1-z},a=0,R=1$$

特異点は $z=1$ の 1 点だけである。中心を $b=-1/2$ に移す。特異点から遠ざかる向きである。

$w=z+1/2$ とおくと $1-z=3/2-w$ なので、等比級数の形に整える。

$$\frac{1}{1-z}=\frac{1}{\frac{3}{2}-w}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}w}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}{\left(z+\frac{1}{2}\right)}^n$$

収束条件は $|2w/3|<1$、つまり $|z+1/2|<3/2$ である。$R^{\prime }=3/2$ となる。

前節の下限は $R-|b-a|=1-1/2=1/2$ だったので、$3/2$ はそれを大きく上回る。真の拡張である。

新しい円板は $z=-2$ の直前まで届く。たとえば $z=-1.9$ は $|-1.9+0.5|=1.4<1.5$ で入るが、もとの単位円の外にある。

検算しておく。$z=0$ を代入すると $\sum (2/3{)}^{n+1}(1/2{)}^n=(2/3)\sum (1/3{)}^n=(2/3)\cdot (3/2)=1$ となり、$1/(1-0)=1$ に一致する。

$R^{\prime }=3/2$ は $b=-1/2$ から特異点 $z=1$ までの距離である。収束半径の定理どおりになっている。

特異点に近づく方向では広がらない

同じ関数で $b=1/2$ に移すとどうなるか。今度は特異点 $z=1$ に近づく向きである。

$$\frac{1}{1-z}=\frac{1}{\frac{1}{2}-w}=\frac{2}{1-2w}=\sum _{n=0}^{\infty }{2}^{n+1}{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^n$$

収束条件は $|2w|<1$、つまり $|z-1/2|<1/2$ である。$R^{\prime }=1/2$ となる。

これは下限 $R-|b-a|=1-1/2=1/2$ とちょうど等しい。等号なので、何も広がっていない。

実際、新しい円板はもとの単位円に完全に含まれる。$|z-1/2|<1/2$ なら $|z|\le |z-1/2|+1/2<1$ だからである。

理由は $b$ から特異点までの距離にある。$|1-1/2|=1/2$ しかないので、収束円が特異点に押さえられて広がれない。

再展開すればいつでも延びるわけではない。特異点から遠ざかる方向へ中心を移す必要がある。

対数関数を接続する

もうひとつ例を見る。主枝の対数のべき級数は次のとおりである。

$$\log (1+z)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{z}^n$$

特異点は $z=-1$ なので $R=1$ である。中心を $b=i/2$ に移す。実軸から離れる向きである。

$n$ 階微分は $(-1{)}^{n-1}(n-1)!/(1+z{)}^n$ なので、係数は $d_n=(-1{)}^{n-1}/\{n(1+b{)}^n\}$ となる。

$$\log (1+z)=\log (1+b)+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{\left(\frac{z-b}{1+b}\right)}^n$$

収束条件は $|z-b|<|1+b|$ である。$b=i/2$ なら $|1+i/2|=\sqrt{5}/2\approx 1.118$ となる。

下限は $R-|b|=1-1/2=1/2$ だったので、これも真の拡張である。たとえば $z=1.4i$ は $|1.4i-0.5i|=0.9<1.118$ で新しい円板に入るが、$|1.4i|=1.4>1$ でもとの円の外である。

新しい収束半径が $b$ から特異点 $z=-1$ までの距離になっている点も、前の例と同じである。

経路に沿った接続

出発点 $a$ から目標点 $w$ まで曲線 $\gamma$ を引く。曲線に沿って中心を少しずつ進め、円板を鎖のようにつないでいく。

隣り合う円板は重なるように取り、重なりの上で関数が一致するようにする。有限個の円板で $w$ に到達できれば、$\gamma$ に沿った解析接続が定まったという。

結果は円板の取り方に依らない。重なりが空でない開集合なので、一致の定理から各段の関数が一意に決まるからである。

しかし曲線を変えると結果が変わりうる。同じ点に別の道から到達したとき、違う値になることがある。これが多価性である。

モノドロミー定理

どんなときに経路によらないかを述べるのがモノドロミー定理である。

$f$ が領域 $D$ 内のすべての曲線に沿って接続可能とする。このとき接続の結果は、曲線のホモトピー類だけで決まる。とくに $D$ が単連結なら、$D$ 上の一価な正則関数が得られる。

証明の骨格を述べる。端点を固定してホモトピックな 2 曲線 ${\gamma }_0,{\gamma }_1$ を取り、連続変形 ${\gamma }_s$ でつなぐ。

各 $s$ について、${\gamma }_s$ に沿った接続の終点での値を考える。この値は $s$ について局所的に定数である。

$s$ をわずかに動かしても、${\gamma }_s$ は ${\gamma }_{s_0}$ を覆う円板の鎖の中に収まる。同じ鎖で接続できるので値が変わらないからである。

区間 $[0,1]$ は連結なので、局所的に定数な関数は定数である。したがって ${\gamma }_0$ と ${\gamma }_1$ で同じ値になる。

単連結ならすべての曲線が互いにホモトピックなので、値は終点だけで決まる。一価な関数が定義できる。

平方根の多価性

$\mathbb{C}\setminus \{0\}$ は単連結でない。ここで多価性が起きる。

$f(z)=\sqrt{z}$ を、$z=1$ で $f(1)=1$ として接続する。$z=e^{i\theta }$ に沿って動かすと $f=e^{i\theta /2}$ になる。

上半平面を通って $\theta$ を $0$ から $\pi$ まで動かすと $f(-1)=e^{i\pi /2}=i$ である。

下半平面を通って $\theta$ を $0$ から $-\pi$ まで動かすと $f(-1)=e^{-i\pi /2}=-i$ である。同じ点で符号が逆になった。

原点を一周すると $\theta$ が $2\pi$ 増え、$f(1)=e^{i\pi }=-1$ になる。出発点に戻ったのに値が変わる。

二周すれば元に戻る。値は 2 つあり、原点は 2 位の分岐点と呼ばれる。

対数の分岐点

$\log z$ では事情がさらに極端になる。

$$\log z=\log |z|+i\arg z$$

原点を一周するたびに $\arg z$ が $2\pi$ 増えるので、値は $2\pi i$ ずつずれる。何周しても元に戻らない。

平方根と違い、値は無限個ある。原点は無限位の分岐点である。

一価にするには、原点から出る半直線で平面を切る。負の実軸を切ると $-\pi <\arg z<\pi$ の主枝が定まる。この切れ目を分枝切断という。

切ったあとの領域は単連結なので、モノドロミー定理が使える。切り方を変えれば別の枝が得られる。

リーマン面という見方

多価性を「関数が悪い」と見るのをやめる立場がある。定義域が狭すぎたのだ、と考え直す。

$\sqrt{z}$ なら平面を 2 枚用意し、切り口で互い違いに貼り合わせる。一周すると 2 枚目に移り、二周で戻る。

$\log z$ なら無限枚を螺旋階段のように貼る。何周しても新しい階に上がり続ける。

できあがった曲面をリーマン面という。その上では関数は一価になる。多価性は、関数の性質ではなく曲面の形として現れる。

解析接続で到達できる範囲をすべて集めたものが、その関数のリーマン面である。接続の理論は曲面の理論に読み替えられる。

自然境界

接続がどこまでも進むとは限らない。収束円の境界上のすべての点が特異点なら、そこから一歩も外へ出られない。

このとき円周を自然境界という。関数の存在域が収束円そのもので終わる。

証明のときに使う事実を先に置く。正則点の集合は開集合なので、特異点の集合は閉集合である。

したがって、境界上の稠密な部分集合が特異点だと分かれば、閉包を取って境界全体が特異点になる。次節はこの形で進む。

単位円が自然境界になる例

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^{2^n}=z+z^2+z^4+z^8+\cdots$$

係数は $0$ か $1$ なのでコーシー・アダマールから $R=1$ である。

二進有理点 $\zeta =e^{2\pi ip/2^k}$ を取る。$p$ は整数、$k$ は $0$ 以上の整数である。$n\ge k$ のとき指数が整数倍になる。

$${\zeta }^{2^n}=e^{2\pi ip{2}^{n-k}}=1$$

$0<r<1$ として $z=r\zeta$ を代入する。$n\ge k$ の項は $(r\zeta {)}^{2^n}=r^{2^n}$ となり、すべて正の実数である。

$$f(r\zeta )=\sum _{n<k}(r\zeta {)}^{2^n}+\sum _{n\ge k}{r}^{2^n}$$

第 1 項は $k$ 個の有限和で、絶対値は $k$ 以下に抑えられる。第 2 項は正の項の無限和である。

$r\to 1^{-}$ とすると、第 2 項の各項が $1$ に近づく。有限個で切って下から評価すればいくらでも大きくできるので、和は発散する。

よって $|f(r\zeta )|\to \infty$ となり、$\zeta$ は特異点である。二進有理点は単位円周上で稠密なので、前節の議論から円周全体が特異点になる。

$|z|<1$ が $f$ の最大の存在域であり、単位円は自然境界である。

間隙定理

前節の級数は指数が $1,2,4,8,\dots$ と急速に増える。指数に大きな隙間があるべき級数を間隙級数という。

アダマールの間隙定理は次を主張する。$\sum c_k{z}^{n_k}$ の指数が $n_{k+1}/n_k\ge \lambda >1$ をすべての $k$ で満たすなら、収束円は自然境界である。

$n_k=2^k$ なら比が $2$ で条件を満たす。$n_k=k!$ でも比が $k+1$ で満たすので、$\sum z^{k!}$ も同じ結論になる。

ファブリの間隙定理はもっと弱い条件で足りることを言う。$n_k/k\to \infty$ であれば収束円が自然境界になる。

隙間が十分あると、境界の情報が円周全体に均等に散らばってしまい、どの方向にも抜け道が残らない。

ガンマ関数を接続する

積分表示は右半平面でしか収束しない。

$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$$

$t\to 0$ で被積分関数が $t^{\Re z-1}$ の振る舞いをするので、$\Re z>0$ が必要である。

部分積分から関数等式 $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ が出る。これを $\Gamma (z)$ について解く。

$$\Gamma (z)=\frac{\Gamma (z+1)}{z}$$

右辺は $\Re z>-1$ かつ $z\ne 0$ で意味を持つ。定義域が左へ 1 だけ広がった。

繰り返せばいくらでも広がる。

$$\Gamma (z)=\frac{\Gamma (z+m)}{z(z+1)\cdots (z+m-1)}$$

$m$ を任意に大きく取れるので、$\Gamma$ は複素平面全体へ有理型に接続される。極は $z=0,-1,-2,\dots$ で、いずれも 1 位である。

$z=-n$ での留数は $(-1{)}^n/n!$ になる。関数等式ひとつで全平面が埋まる、見通しのよい例である。

ゼータ関数を接続する

級数は $\Re s>1$ でしか収束しない。

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$

交代級数にすると収束域が広がる。ディリクレのエータ関数を次で定める。

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}$$

これは $\Re s>0$ で収束する。偶数項を $2$ 倍して引く計算から $\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$ が出るので、次が得られる。

$$\zeta (s)=\frac{\eta (s)}{1-2^{1-s}}$$

右辺は $\Re s>0$ で意味を持ち、$s=1$ が 1 位の極になる。ここまでで定義域が半平面に広がった。

さらに関数等式を使えば全平面に届く。

$$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$$

$\Re s<0$ の値が $\Re s>1$ の値から決まる。$s=-1$ を代入すると $\zeta (-1)=-1/12$ が出る。

級数という表し方の限界と、関数そのものの広がりを区別する。この記事の最初に述べた区別が、最後まで効いている。

参考文献