解析接続の具体的な実行手段として、べき級数展開は重要な方法である。正則関数は局所的にべき級数で表現でき、この性質を利用して定義域を段階的に拡張していく。
べき級数の収束円
点 を中心とするべき級数
は、ある半径 に対して で絶対収束し、 で発散する。この を収束半径という。
収束半径は Cauchy-Hadamard の公式
で与えられる。収束円 の内部で、 は正則関数を定義する。
境界 上には必ず特異点が存在する。ただし境界全体が特異点とは限らず、一部の点でのみ問題が生じることもある。
収束円内部の任意の点で は何回でも微分可能であり、導関数もべき級数で表される：。
接続の手順
点 の周りで定義された を、収束円外の点 まで拡張する手順を考えよう。
収束円 の内部に点 をとる。 の周りで新たにべき級数展開を行うと
が得られる。係数は
で計算できる。
この新しいべき級数の収束半径を とすると、 で正則関数が定義される。 を適切に選べば、元の収束円を越えた領域まで関数を拡張できる。
点 周りのべき級数（収束半径 ）
収束円内の点 を選ぶ
点 周りで再展開（収束半径 ）
新たな領域 で関数が定義される
具体例：幾何級数
最も単純な例として
を考える。原点中心の収束半径は である。
点 で再展開しよう。 と書くと
これをべき級数展開すると
となる。この級数の収束半径は であり、 すなわち の範囲で収束する。
元の級数では の一部しかカバーできなかったが、再展開により の領域全体へ拡張された。
接続経路と一意性
点 から点 へ解析接続する際、経路の取り方によって結果が異なる場合がある。
領域 が単連結（穴がない）ならば、どの経路で接続しても同じ結果が得られる。これは Cauchy の積分定理の帰結である。
領域に穴があると、穴の周りを回る経路によって異なる値に到達しうる。 や がその典型例である。
たとえば を考える。 から出発して正の実軸上で とする。
から へ接続する際、上半平面を通る経路では となるが、下半平面を通ると となる。原点を一周することで符号が反転する。
自然な境界の例
すべての境界点が特異点となり、それ以上の解析接続が不可能な場合を考える。
関数
は原点を中心とする収束半径 のべき級数。
単位円 上の任意の点 （ は互いに素な整数）において、 は周期的に繰り返される。このため級数は振動して収束せず、 は特異点となる。
有理点が単位円上で稠密であることから、連続性により円周全体が特異点となる。これが自然な境界である。
