ガンマ関数とベータ関数〜階乗を実数の世界へ広げる

階乗は正の整数にしか定義されていません。ガンマ関数は、それを複素平面まで広げたものです。

$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt(\mathrm{Re}z>0)$$

正の整数 $n$ で $\Gamma (n)=(n-1)!$ になります^[1]。番号が 1 つずれる形で階乗をなぞる。

広げ方はいくらでもあるのに、この 1 つだけが特別扱いされます。理由は後に出てくるボーア・モレルップの定理で、対数凸という条件を付けると候補が 1 つに絞られるため。

積分が収束する範囲

$t=0$ の近くでは $t^{z-1}$ が効きます。$\mathrm{Re}z>0$ なら指数が $-1$ より大きく、可積分になる。

$t$ が大きいところでは $e^{-t}$ が効きます。多項式の増大は指数関数の減衰に勝てないので、上端では問題が起きません。

したがって右半平面で収束します。左半平面へは、次の漸化式を使って延ばす。

漸化式

部分積分を 1 回だけ行います。

$$\Gamma (z+1)={\int }_0^{\infty }{t}^z{e}^{-t}dt={\left[-t^z{e}^{-t}\right]}_0^{\infty }+z{\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$$

境界項は両端で消えるので、次の関係が残ります。

$$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$$

階乗の $n!=n\cdot (n-1)!$ をそのまま写した形。$\Gamma (1)={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}dt=1$ から始めて繰り返せば $\Gamma (n)=(n-1)!$ が出ます。

左半平面へ延ばす

漸化式を裏返すと、定義の外へ出られます。

$$\Gamma (z)=\frac{\Gamma (z+1)}{z}$$

右辺は $\mathrm{Re}z>-1$ で意味を持ちます。$z=0$ だけが例外。

この操作を繰り返せば、$\Gamma$ は複素平面全体へ有理型に延びます。極は $z=0,-1,-2,\dots$ に並び、どれも 1 位^[2]。

留数も漸化式から読めます。

$$\mathrm{Res}(\Gamma ,-n)=\frac{(-1{)}^n}{n!}$$

零点は 1 つもありません。$1/\Gamma$ が整関数になるという事情が、無限乗積の表示につながります。

$\Gamma (1/2)$ が $\sqrt{\pi }$ になる

$z=1/2$ を入れて $t=u^2$ と置換します。

$$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)={\int }_0^{\infty }{t}^{-1/2}{e}^{-t}dt=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2}du=\sqrt{\pi }$$

ガウス積分がそのまま出てきます。円周率が階乗の話に現れるのは、この経路から。

漸化式を使えば半整数の値がすべて決まります。

$$\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }$$

$(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)$ は奇数の二重階乗です。$n=1$ なら $\sqrt{\pi }/2$。

相反公式

$z$ と $1-z$ の値が、三角関数で結ばれます。

$$\Gamma (z)\Gamma (1-z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}$$

右辺の極は整数点に並び、左辺の極とちょうど対応します。$z=1/2$ を入れれば $\Gamma (1/2{)}^2=\pi$ が出る^[3]。

$1/\Gamma$ の側で書くと、$\sin$ の無限乗積と結びつきます。$\Gamma$ に零点がないことも、右辺が有限のところで消えないという形で読めます。

倍数公式と乗法公式

引数を 2 倍する式がルジャンドルの倍数公式です。

$$\Gamma (z)\Gamma \left(z+\frac{1}{2}\right)=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\Gamma (2z)$$

$n$ 倍に一般化したものがガウスの乗法公式。

$$\Gamma (nz)=(2\pi {)}^{(1-n)/2}{n}^{nz-1/2}\prod _{k=0}^{n-1}\Gamma \left(z+\frac{k}{n}\right)$$

$n=2$ とすれば倍数公式に戻ります^[4]。等間隔にとった引数での値をまとめて扱えるので、和や積の計算で効く。

ワイエルシュトラスの無限乗積

$1/\Gamma$ は零点を $0,-1,-2,\dots$ に持つ整関数です。零点の位置から積の形が組めます。

$$\frac{1}{\Gamma (z)}=z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}$$

$\gamma$ はオイラー・マスケローニ定数で、およそ $0.5772$。$e^{-z/n}$ の因子は積を収束させるために付けます。

この表示は、極と零点の位置だけから関数を組み立てる考え方の代表例です。

ボーア・モレルップの定理

階乗を延ばす関数は無数にあります。条件を 3 つ課すと、$\Gamma$ に決まる。

正の実軸上でこの 3 つを満たす関数は $\Gamma$ しかありません^[2]。$\Gamma$ を標準とする根拠がこの定理です。

対数凸という条件は、被積分関数にヘルダーの不等式を当てれば確かめられます。滑らかさではなく凸性が決め手になる点が面白い。

スターリングの近似

大きな引数での振る舞いは、指数と平方根で書けます。

$$\Gamma (x+1)\sim \sqrt{2\pi x}{\left(\frac{x}{e}\right)}^x$$

$x=n$ とすれば $n!$ の近似式。相対誤差は $1/(12n)$ の程度で、$n$ が小さくてもよく合います。

近似の出どころは、被積分関数の山を正規分布で置き換える議論です。山の高さと幅を測ってガウス積分に帰着させる。

ベータ関数

もう 1 つのオイラー積分がベータ関数です。区間 $[0,1]$ 上の積分で定義します。

$$B(x,y)={\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt(\mathrm{Re}x>0,\mathrm{Re}y>0)$$

両端で発散しないための条件が、そのまま収束条件になります。$t=0$ の側で $x$ が、$t=1$ の側で $y$ が効く。

$t\mapsto 1-t$ と置換すれば、対称性がすぐ出ます。

$$B(x,y)=B(y,x)$$

ガンマ関数との関係

2 つのガンマ積分を掛けてから変数を置き換えると、ベータ関数が出てきます。

$$\Gamma (x)\Gamma (y)={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{u}^{x-1}{v}^{y-1}{e}^{-(u+v)}dudv$$

$u=st$、$v=s(1-t)$ と置くと、ヤコビアンが $s$ になって積分が 2 つに分かれます。

$$\Gamma (x)\Gamma (y)={\int }_0^{\infty }{s}^{x+y-1}{e}^{-s}ds{\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$$

前半が $\Gamma (x+y)$ なので、次の関係が残る。

$$B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}$$

ベータ関数の計算は、これでガンマ関数に帰着します^[5]。独立した関数というより、ガンマ関数の組み合わせを表す記号に近い。

三角関数の形

$t={\sin }^2\theta$ と置換すると、区間が $[0,\pi /2]$ に移ります。

$$B(x,y)=2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta$$

$\sin$ と $\cos$ のべきの積分が、この 1 本で片づきます。ウォリスの積分と呼ばれる一群がここに収まる^[6]。

$x=y=1/2$ とすれば左辺が $\pi$、右辺が $2{\int }_0^{\pi /2}d\theta$ で、両辺が合います。ここから $\Gamma (1/2{)}^2=\pi$ を導く筋もある。

二項係数との関係

正の整数では、階乗の比になります。

$$B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$$

二項係数の逆数に近い形。実際、$B(m,n)$ は $(m+n-1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-2}{m-1}\right)$ の逆数になります。

だからベータ関数は、二項係数を実数の引数まで広げたものとも読めます。組合せの言葉と積分の言葉が同じものを指す。

漸化式

ガンマ関数の漸化式を持ち込むと、ベータ関数にも同じ形が出ます。

$$B(x+1,y)=\frac{x}{x+y}B(x,y)$$

引数を 1 ずらすだけで値が比で決まるので、整数点での値を順に作れます。

例：具体的な値を出す

$B(1,1)$ は $\Gamma (1{)}^2/\Gamma (2)=1$ です。被積分関数が定数 $1$ なので、区間の長さそのもの。

$B(1/2,1/2)$ は $\Gamma (1/2{)}^2/\Gamma (1)=\pi$ になります。三角関数の形で書けば $2{\int }_0^{\pi /2}d\theta$ で、確かに $\pi$。

$B(3,2)$ なら $2!\cdot 1!/4!=1/12$ です。積分 ${\int }_0^1{t}^2(1-t)dt=1/3-1/4$ と一致します。

使いどころ

確率論では、ベータ分布の正規化定数がベータ関数そのものです。密度は $t^{x-1}(1-t{)}^{y-1}/B(x,y)$ の形。

ガンマ分布やカイ二乗分布の正規化にはガンマ関数が出ます。指数の肩と積分区間が、そのまま定義に一致するため。

幾何では、$n$ 次元の球の体積にガンマ関数が現れます。

$$V_n(r)=\frac{{\pi }^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{r}^n$$

$n=2$ なら $\pi r^2$、$n=3$ なら $\Gamma (5/2)=3\sqrt{\pi }/4$ から $4\pi r^3/3$ が出ます。次元が偶数か奇数かで見た目が変わる理由も、半整数の値から説明できる。

よくある誤り

階乗を延ばすという素朴な問いから始めて、極の並び、無限乗積、漸近の形まで一続きにつながります。ベータ関数はその途中に現れる、区間の上での対になる積分。

参考文献