対角化できる行列とできない行列は何が違うのか

次の 2 つは、どちらも固有値が $2$ だけです。片方は対角行列そのもの、もう片方はどんな基底を選んでも対角行列になりません。

$$D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right),S=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$$

差は固有ベクトルの本数です。$D$ は平面全体が固有ベクトルで埋まっていて、$S$ は横軸の 1 方向しかない。

対角化とは基底を選び直すこと

正則行列 $P$ で $P^{-1}AP$ が対角行列になるとき、$A$ は対角化できるといいます^[1]。

$$P^{-1}AP=D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$$

$AP=PD$ と書き直すと、意味が見えます。両辺の第 $k$ 列を比べると、$P$ の第 $k$ 列を $p_k$ として $A{p}_k={\lambda }_k{p}_k$。

つまり $P$ の列は固有ベクトル、$D$ の対角成分は対応する固有値です^[1]。列の順番と対角成分の順番は、そろえて並べます。

$P$ が正則であることは、$n$ 本の列が一次独立であることと同じ。ここから条件が出ます。

$n$ 本の一次独立な固有ベクトル

$n$ 次正方行列 $A$ が対角化できるための必要十分条件は、${\mathbb{F}}^n$ に $A$ の固有ベクトルからなる基底が存在することです^[1,2]。

必要性は上の計算そのもの。$P$ の列が固有ベクトルで、$P$ が正則なら一次独立です。

十分性も同じ道を逆にたどります。固有ベクトルの基底 $p_1,\dots ,p_n$ を列に並べて $P$ を作ると、$AP=PD$ が成り立つ。$P$ は正則なので $P^{-1}AP=D$ です。

固有ベクトルからなる基底を固有基底と呼びます^[2]。対角化できるかどうかは、固有基底がとれるかどうかと同じこと。

相異なる固有値なら自動でそろう

$n$ 個の固有値がすべて異なるなら、対角化できます^[2]。固有ベクトルが自動的に一次独立になるためです。

証明は本数についての帰納法です。$v_1,\dots ,v_r$ を相異なる固有値 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ の固有ベクトルとし、一次関係を置きます。

$$c_1{v}_1+\cdots +c_{r-1}{v}_{r-1}+c_r{v}_r=0$$

両辺に $A$ を掛けると、各項の $v_i$ が ${\lambda }_i{v}_i$ に変わります。もとの式を ${\lambda }_r$ 倍したものを引くと、最後の項が消える。

$$c_1({\lambda }_1-{\lambda }_r)v_1+\cdots +c_{r-1}({\lambda }_{r-1}-{\lambda }_r)v_{r-1}=0$$

本数が 1 つ減った関係になりました。帰納法の仮定から $c_i({\lambda }_i-{\lambda }_r)=0$ で、固有値が相異なるので ${\lambda }_i-{\lambda }_r\ne 0$。

よって $c_1=\cdots =c_{r-1}=0$。もとの式に戻すと $c_r{v}_r=0$ となり、$v_r\ne 0$ から $c_r=0$ が出ます。

これは十分条件で、必要条件ではありません^[2]。$D=2I$ は固有値が重なっていても対角行列です。

重複度をそろえる

固有値ごとに 2 つの数を比べます。固有多項式に現れる回数が代数的重複度、固有空間 $E_{\lambda }=\ker (A-\lambda I)$ の次元が幾何的重複度です。

つねに $1\le \dim E_{\lambda }\le$ 代数的重複度。上の $S$ では $\dim E_2=1$ で、代数的重複度の $2$ に届いていません。

すべての固有値で 2 つが一致すること。これが対角化できるための必要十分条件です^[3]。

固有ベクトルの総本数は ${\sum }_{\lambda }\dim E_{\lambda }$ で、上限は ${\sum }_{\lambda }$（代数的重複度）$=n$。一致して初めて $n$ 本そろいます。

例：重解でも対角化できる

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

上三角なので固有値は対角成分の $1,2,2$。$\lambda =2$ の代数的重複度は $2$ です。

$A-2I$ を書くと、$0$ でない行が第 1 行だけになります。

$$A-2I=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

階数が $1$ なので、次元定理から $\dim E_2=3-1=2$。代数的重複度と一致しました。

固有ベクトルは $-v_1+v_2+v_3=0$ を解いて $(1,1,0)$ と $(1,0,1)$。$\lambda =1$ のほうは $(1,0,0)$ です。

3 本そろったので対角化できます。固有値が重なっていても、固有空間が十分に広ければよい。

例：重解で対角化できない

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

固有値は $2,2,3$ で、形は上の $A$ とよく似ています。ところが $B-2I$ の階数は $2$。

$$B-2I=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$\dim E_2=3-2=1$ で、代数的重複度の $2$ に足りません。固有ベクトルは全部で $1+1=2$ 本。

3 本に届かないので、対角化できません。右上の $1$ が 1 か所あるだけで結論が変わります。

実対称行列はいつでもできる

$A=A^{\mathsf{T}}$ を満たす実行列は、必ず対角化できます^[2]。しかも直交行列 $P$（$P^{\mathsf{T}}P=I$）でできる。

固有値がすべて実数になること、異なる固有値の固有ベクトルが自動的に直交すること、重解でも固有空間が十分広いこと。この 3 つが成り立ちます。

複素数の場合はエルミート行列、さらに広くは正規行列（$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$）が同じ性質を持ちます^[2]。

条件を成分の形で書けるので、判定が楽です。重複度を数えなくても、対称であることを見ればよい。

実数の中では対角化できない場合

$90$ 度回転の行列を考えます。

$$R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

固有多項式は $T^2+1$ で、実数の範囲に根がありません。どのベクトルも向きが変わるので、実の固有ベクトルは $0$ 本^[2]。

複素数まで広げると $\pm i$ が固有値になり、固有ベクトルは $(1,i)$ と $(1,-i)$。${\mathbb{C}}^2$ では対角化できます。

「対角化できない」と言うときは、どの体で考えているかを添える必要があります。ここが変わると結論も変わる。

判定の手順

階数を求めるだけで済むので、固有ベクトルを最後まで書き下す必要はありません。判定と構成は分けて進められます。

例：対角化できない行列を細胞に分ける

対角化できない行列にも、対角行列に近い標準形があります。ジョルダン標準形と呼ばれる形です。

上の $B$ なら、固有値 $2$ の $2$ 次の細胞と、固有値 $3$ の $1$ 次の細胞に分かれます。右上に $1$ が 1 つ残る。

細胞が全部 $1$ 次のときが、ちょうど対角化できる場合にあたります。対角化はジョルダン標準形の特別な場合です。

条件の向きも確かめます。

要点

対角化できるかどうかは、固有値の重なりではなく固有ベクトルの本数で決まります。重解があっても、固有空間が広ければ足ります。

判定に要るのは階数の計算だけ。$n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)$ が代数的重複度に届くかを、固有値ごとに見ます。

体を広げると結論が変わる場合がある点も、忘れずに確かめます。実で無理でも、複素なら通ることがあります。

固有方向が空間を張り切るか、それとも足りないか。対角化できる行列とできない行列の差は、この一点にあります。

参考文献