正則局所環の定義と性質

可換環論では、局所環が「正則（regular）」であるとは、その極大イデアルを生成する元の最小数（生成元数）が、その環のクルル次元（Krull 次元）に等しいこと。より具体的に、局所環 $(A,\mathfrak{m})$ に対して次の条件で定義されます。

$$A\text{ が正則局所環 }⟺\dim A={\dim }_{A/\mathfrak{m}}(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$$

ここで

$\dim A$ は Krull 次元（素イデアル鎖の最大長）
${\dim }_{A/\mathfrak{m}}(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$ は極大イデアル $\mathfrak{m}$ を生成する最小個数。

幾何学的な意味

正則局所環は「滑らかな点」に対応します。例えば、多様体や代数多様体の各点の局所環が正則であることは、その点での接空間の次元が多様体の次元と一致することを意味します。

$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ は接空間の双対（コタンジェント空間）に対応する。したがって、次元が等しいとき、局所的に滑らかで「特異点でない」とみなせます。

例：多項式環の局所化

$k$ を体とし、$R=k[x_1,\dots ,x_n{]}_{(x_1,\dots ,x_n)}$ を原点での局所化とします。

極大イデアルは $x_1,\dots ,x_n$ という $n$ 個の元で生成され、次元が $n$ なので正則です。この環は滑らかな $n$ 次元多様体の原点における局所環に対応します。

例：形式的冪級数環

$k$ を体とし、$R=k[[x_1,\dots ,x_n]]$ を $n$ 変数の形式的冪級数環とします。

この環も正則局所環です。多項式環の局所化の完備化として得られます。

非正則の例

$k[x,y]/(x^2-y^3)$ の原点局所環

この環は曲線 $x^2=y^3$（尖点曲線）の原点を表す。$\mathfrak{m}=(x,y)$ の場合、$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の次元は 2 だが、Krull 次元は 1。よって正則ではない（特異点）。

性質