正則局所環（次元と生成元の本数がそろう点）

ネーター局所環 $(A,\mathfrak{m})$ が正則であるとは、$\mathfrak{m}$ を生成するのに必要な元の本数が、$A$ のクルル次元にちょうど等しいことをいいます^[1,2]。

$${\dim }_{A/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2=\dim A$$

左辺は接空間の次元、右辺は環としての次元です^[3]。$2$ つがそろえば滑らかな点、ずれれば特異点。

判定は「数を $2$ つ出して比べる」だけで終わります。

余接空間 m/m²

$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ は剰余体 $A/\mathfrak{m}$ 上のベクトル空間になる。$\mathfrak{m}$ の元を $2$ 次以上の項ごと潰した空間、と読めます。

幾何では余接空間にあたります^[3]。その双対がザリスキ接空間で、点の周りにどれだけの方向があるかを表す。

$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の次元は、$\mathfrak{m}$ の最小生成元の本数と一致する^[2,4]。中山の補題がこの一致を与えます。

この本数を埋め込み次元と呼ぶ^[4]。埋め込み次元はつねに $\dim A$ 以上で、下回ることはありません。

そろうか、ずれるか

埋め込み次元が $\dim A$ より大きくなる状況は、点の周りに余分な方向が生えている状況です。曲線なのに接方向が平面いっぱいに広がる、という形。

左では次元 $1$ に対して生成元も $1$ 本。右では次元 $1$ なのに生成元が $2$ 本要る。

この差が正則かどうかの差です。

例: 形式的冪級数環

$k[[x_1,\dots ,x_n]]$ は正則局所環です^[1,3]。極大イデアルは $(x_1,\dots ,x_n)$ で、生成元は $n$ 本。

クルル次元も $n$ なので、本数と次元がそろう。$n$ 次元の滑らかな点をそのまま代数にしたもの。

例: 多項式環を原点で局所化する

$R=k[x_1,\dots ,x_n{]}_{(x_1,\dots ,x_n)}$ も正則です^[1,3]。極大イデアルは $(x_1,\dots ,x_n)R$ で、次元は $n$。

アフィン空間の原点における局所環にあたる。原点に特異点はないので、正則になるのは当然の結果です。

$k$ 上の有限生成代数を滑らかな点で局所化すると、いつも正則局所環が出ます^[3]。判定にはヤコビ行列が使える。

例: 1 次元なら離散付値環

次元 $1$ の正則局所環は、離散付値環にほかなりません^[2]。極大イデアルが $1$ 本の元で生成される。

その生成元が素元で、どの元も素元の冪と単元の積に一意に書ける。$1$ 次元で整閉な整域、という特徴づけとも重なります^[3]。

反例: 尖点

$k[x,y]/(x^2-y^3)$ を原点で局所化した環を見ます。曲線 $x^2=y^3$ の尖点にあたる点です。

クルル次元は $1$。曲線なので当然です。

ところが $\mathfrak{m}=(x,y)$ について $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ は $2$ 次元になる。関係式 $x^2=y^3$ は次数 $2$ 以上の項しか含まず、$x$ と $y$ のあいだに $1$ 次の関係を与えないため。

$1\ne 2$ なので正則ではありません。尖った点が特異点として現れる^[2]。

この環は整閉でもありません。曲線を $t\mapsto (t^3,t^2)$ と媒介変数で書くと、$x/y$ が $t$ にあたります。

$t$ は $T^2-y=0$ を満たすので環の上で整。それなのに環に入っていないので、整閉包をとると $k[t]$ まで広がります。

反例: 交叉する 2 直線

$k[x,y]/(xy)$ を原点で局所化した環も正則になりません。$2$ 本の直線が原点で交わる図形。

次元は $1$、埋め込み次元は $2$。尖点と同じ形のずれが出る。

この環にはもう一つ理由があります。$x\ne 0$、$y\ne 0$ なのに $xy=0$ なので、整域ではない。

正則局所環はつねに整域なので、これだけで正則から外れる^[4]。

正則列と次元の落ち方

$\mathfrak{m}$ を最小の本数で生成する $x_1,\dots ,x_d$ は、正則列になります^[4]。順に割っていくと、次元がきれいに $1$ ずつ落ちる。

$$\dim R/(x_1,\dots ,x_c)=d-c$$

しかも途中の $R/(x_1,\dots ,x_c)$ が、また正則局所環になる^[4]。

逆に $R/I$ が正則局所環になるのは、$I$ が最小生成系の一部で生成されるときに限ります^[4]。

整域である

正則局所環はつねに整域です^[1,4]。定義には零因子の話が出てこないのに、結論として出てくる。

証明は次数付き環を見ると早い。$\mathfrak{m}$ の冪で作った次数付き環が、多項式環と同型になるためです^[4]。

$$\underset{n\ge 0}{⨁}{\mathfrak{m}}^n/{\mathfrak{m}}^{n+1}\cong \kappa [X_1,\dots ,X_d]$$

多項式環は整域なので、そこから元の環の整域性が従う。$0$ でない元に最低次の項を割り当てると、積が消えないことが確かめられる。

一意分解整域である

もっと強く、正則局所環は一意分解整域になります^[1,2,3]。アウスランダーとブックスバウムの定理。

整域であることに比べて、この主張はずっと深いところにある。素元分解の一意性が、次元と生成元の本数の一致だけから出てくる。

コーエン・マコーレーであることも成り立つ^[3]。深さと次元が一致する、という別の形のそろい方です。

セールの判定と局所化

セールは、正則性をホモロジー代数の言葉で言いかえました^[1,2]。ネーター局所環が正則であることと、大域次元が有限であることが同値になる。

この言いかえには大きな効き目があります。正則局所環の素イデアルによる局所化が、また正則になると分かる^[1]。

もとの定義からこれを示すのは簡単ではありません。ホモロジーの側へ渡すと、局所化が完全関手であることから素直に出る。

正則性が局所化で保たれるので、すべての局所環が正則な環を正則環と呼べるようになる^[3]。

正則環

すべての素イデアルでの局所化が正則局所環になる環を、正則環と呼びます^[3]。正則性が局所化で保たれるおかげで、この定義が意味を持ちます。

$k[x_1,\dots ,x_n]$ は正則環になる。どの点で局所化しても、アフィン空間の滑らかな点しか出てきません。

$\mathbb{Z}$ も正則環になる。素数 $p$ で局所化すれば離散付値環 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ が出て、$(0)$ で局所化すれば体です。

デデキント環は $1$ 次元の正則環にあたります^[3]。$0$ でない素イデアルでの局所化が、すべて離散付値環になるため。

正則系のパラメータは局所座標

$\mathfrak{m}$ を最小本数で生成する $x_1,\dots ,x_d$ を、正則系のパラメータと呼びます^[1,3]。これは点の周りの局所座標として働く。

冪級数環 $k[[x_1,\dots ,x_d]]$ で変数が座標だったことと重なります。次数付き環が多項式環と同型になるという事実が、この見方を支えています^[4]。

アルティン局所環では体だけ

アルティン局所環が正則になるのは、それが体のときに限ります^[2]。

アルティン環の次元は $0$ なので、正則なら $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ も $0$ 次元。中山の補題から $\mathfrak{m}=0$ となり、$A$ は体になります。

$k[x]/(x^2)$ は正則ではありません^[1]。次元は $0$ なのに $\mathfrak{m}=(x)$ が $0$ でない。

ヤコビ判定法

体上の有限生成代数なら、正則性は行列の階数で判定できます^[3]。$f_1,\dots ,f_r$ で定義される図形の点 $P$ で、ヤコビ行列の階数を測る。

階数が $n-\dim$ に達していれば、その点の局所環は正則です。滑らかな点、という幾何の言葉と一致する^[1]。

正則性が埋め込み方によらないことも大事です^[1]。同じ図形をどの空間に入れても、点が滑らかかどうかは変わりません。

よくある誤り

参考文献