固有ベクトルが足りなくなるとき - 代数的重複度と幾何的重複度

固有値 $2$ が 3 重解でも、固有ベクトルが 3 本あるとは限らない。次の行列では 2 本しか出てこない。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

方程式の側で数えた $3$ と、空間の側で数えた $2$。この 2 つの数え方を、代数的重複度と幾何的重複度という^[1]。

ずれが出た固有値では、固有ベクトルが足りない。対角化が止まるのはこの一点である。

代数的重複度

固有多項式 $\det (A-\lambda I)$ を因数分解したとき、$(\lambda -{\lambda }_0)$ が何個現れるか。これが ${\lambda }_0$ の代数的重複度である^[1,3]。

$$\det (A-\lambda I)=\pm (\lambda -{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{m_k}$$

多項式の次数が $n$ なので、$m_1+\cdots +m_k=n$。すべての固有値ぶんを足すと、必ず行列の大きさになる。

複素数まで含めれば、$n$ 次方程式は重複を込めて $n$ 個の根を持つ。実数の範囲では足りない場合がある。

計算は固有多項式を出すだけで済む。根が求まれば、重なり方もそこで決まる。

幾何的重複度

固有値 $\lambda$ に対する固有空間を、次で定める。

$$E_{\lambda }=\ker (A-\lambda I)=\{v\mid Av=\lambda v\}$$

この空間の次元が幾何的重複度である^[1]。一次独立な固有ベクトルが何本とれるか、という数え方になる。

次元定理を使うと、階数から出せる。

$$\dim E_{\lambda }=n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)$$

固有ベクトルを書き下さなくても、掃き出して段の数を数えるだけで分かる。

零ベクトルは固有ベクトルに数えないが、$E_{\lambda }$ には入っている。$\lambda$ が固有値である以上、$0$ でない元が必ずあるので $\dim E_{\lambda }\ge 1$ である。

幾何は代数を超えない

つねに次の不等式が成り立つ^[1,3]。

$$1\le \dim E_{\lambda }\le (\lambda \text{ の代数的重複度})$$

証明は基底の延長でできる。$g=\dim E_{\lambda }$ とおき、$E_{\lambda }$ の基底 $v_1,\dots ,v_g$ をとる。

これを全体の基底 $v_1,\dots ,v_g,w_{g+1},\dots ,w_n$ へ延長する。この基底で $A$ の表現行列を書くと、次の形になる。

$$\left(\begin{array}{cc}\lambda I_g& B\\ O& C\end{array}\right)$$

左上が $\lambda I_g$ になるのは、$v_1,\dots ,v_g$ がすべて $Av=\lambda v$ を満たすからである。左下が $O$ になるのも同じ理由。

ブロック上三角なので、固有多項式は左上と右下の積に分かれる。

$$\det (A-tI)=(\lambda -t{)}^g\det (C-tI)$$

$(\lambda -t{)}^g$ が因数に入った。$\det (C-tI)$ 側にさらに $\lambda$ が根として現れる場合もあるので、代数的重複度は $g$ 以上である。

表現行列は基底によって変わるが、固有多項式は変わらない。だから相似な行列で計算してよい。

例：3 次で両方を数える

冒頭の $A$ で数える。固有多項式は $(2-\lambda {)}^3$ なので、$\lambda =2$ の代数的重複度は $3$。

$$A-2I=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

階数は $1$ なので $\dim E_2=3-1=2$。固有ベクトルは $v_2=0$ を解いて $(1,0,0)$ と $(0,0,1)$ の 2 本になる。

$3>2$ でずれている。この固有値は欠けている、という言い方をする^[1]。

例：三角行列でない場合

$$B=\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ -6& 4& 1& 5\\ 2& 1& 4& -1\\ 4& 0& 0& -3\end{array}\right)$$

固有多項式を計算すると $(3-\lambda {)}^2(5-\lambda )(-3-\lambda )$ になる^[2]。$\lambda =3$ の代数的重複度は $2$。

$B-3I$ を掃き出すと階数が $3$ になるので、$\dim E_3=4-3=1$ である。

$\lambda =5$ と $\lambda =-3$ はどちらも重複度 $1$ で、幾何的重複度も $1$。重複がなければ、2 つの数は必ず一致する^[1]。

固有ベクトルは全部で $1+1+1=3$ 本。$4$ 本に届かず、$B$ は対角化できない。

合計で見ると分かりやすい

代数的重複度の合計は、必ず $n$ になる。幾何的重複度の合計は $n$ 以下で、等号のときだけ固有ベクトルが基底をなす。

$$\sum _{\lambda }\dim E_{\lambda }\le \sum _{\lambda }(\text{代数的重複度})=n$$

すべての固有値で 2 つが一致すれば、左辺が $n$ に届く。1 つでもずれていれば届かない^[3]。

対角化できるかどうかの判定は、この一致を見る作業である。

ジョルダン細胞と対応する

ずれの正体は、ジョルダン標準形を見ると分かる。固有値 $\lambda$ について、次の対応がある。

冒頭の $A$ なら、細胞は $2$ 次が 1 個と $1$ 次が 1 個。個数 $2$ が幾何的重複度、合計 $2+1=3$ が代数的重複度である。

$B$ で $\lambda =3$ の細胞は $2$ 次が 1 個だけ。個数 $1$、合計 $2$ で、確かに数が合う。

一般固有空間まで広げると届く

$\ker (A-\lambda I)$ では足りないが、指数を上げると広がる。

$$\ker (A-\lambda I)\subseteq \ker (A-\lambda I{)}^2\subseteq \cdots$$

どこかで止まり、止まった先の次元が代数的重複度に一致する。これを一般固有空間と呼ぶ。

$$\dim \ker (A-\lambda I{)}^n=(\lambda \text{ の代数的重複度})$$

一般固有空間なら、どの行列でも空間全体を直和で埋められる。対角化が無理でも、ジョルダン標準形が作れるのはこのためだ。

例：細胞の構成を読む

$5$ 次で、固有値 $\lambda$ の代数的重複度が $4$、幾何的重複度が $2$ とする。

細胞は 2 個で、サイズの合計は $4$。組み合わせは $3+1$ か $2+2$ の 2 通りである。

区別するには $\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^2$ を見る。$2+2$ なら 2 乗で全部消え、$3+1$ なら 1 本残る。

重複度 2 つだけでは細胞の形が決まらない場合がある。指数を上げた階数まで見て、はじめて分かる。

数値では壊れやすい

重複度は、成分を少し動かすと飛ぶ量である^[3]。

$$A_{\epsilon }=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ \epsilon & 2\end{array}\right)$$

固有多項式は $(2-\lambda {)}^2-\epsilon$ で、固有値は $2\pm \sqrt{\epsilon }$。$\epsilon \ne 0$ なら 2 つに分かれる。

$\epsilon =10^{-16}$ でも、固有値の差は $2\times 10^{-8}$ ある。$\epsilon$ が丸め誤差の大きさでも、根号のせいで差はその平方根まで開く。

このとき代数的重複度は $1$ と $1$、幾何的重複度も $1$ と $1$ で、形の上では対角化できる。$\epsilon =0$ の瞬間だけ、重複度 $2$ と $1$ に飛ぶ。

数値計算で重複度を判定するのが難しいのは、この飛び方による。

不等式の向きも確かめる。

整理

数え方が 2 つある。方程式の根としての重なりが代数的重複度、固有空間の次元が幾何的重複度である。

前者は固有多項式から、後者は階数から出る。関係は $1\le$ 幾何 $\le$ 代数 で、上限に届くかどうかが対角化の可否を決める。

差が出た固有値では、ジョルダン細胞が $2$ 次以上になっている。差の大きさが、細胞がどれだけ大きいかを表している。

固有値がいくつあるかではなく、固有ベクトルが何本とれるか。数えるべきはそちらである。

参考文献