固有ベクトルが足りなくなるとき - 代数的重複度と幾何的重複度

固有値 $2$ が 3 重解でも、固有ベクトルが 3 本あるとは限らない。次の行列では 2 本しか出てこない。

$A = 200120002$

方程式の側で数えた $3$ と、空間の側で数えた $2$ 。この 2 つの数え方を、代数的重複度と幾何的重複度という^[1]。

ずれが出た固有値では、固有ベクトルが足りない。対角化が止まるのはこの一点である。

代数的重複度

固有多項式 $det (A - λ I)$ を因数分解したとき、 $(λ - λ_{0})$ が何個現れるか。これが $λ_{0}$ の代数的重複度である^[1,3]。

$det (A - λ I) = \pm (λ - λ_{1})^{m_{1}} \dots (λ - λ_{k})^{m_{k}}$

多項式の次数が $n$ なので、 $m_{1} + \dots + m_{k} = n$ 。すべての固有値ぶんを足すと、必ず行列の大きさになる。

複素数まで含めれば、 $n$ 次方程式は重複を込めて $n$ 個の根を持つ。実数の範囲では足りない場合がある。

計算は固有多項式を出すだけで済む。根が求まれば、重なり方もそこで決まる。

幾何的重複度

固有値 $λ$ に対する固有空間を、次で定める。

$E_{λ} = ker (A - λ I) = {v ∣ A v = λ v}$

この空間の次元が幾何的重複度である^[1]。一次独立な固有ベクトルが何本とれるか、という数え方になる。

次元定理を使うと、階数から出せる。

$dim E_{λ} = n - rank (A - λ I)$

固有ベクトルを書き下さなくても、掃き出して段の数を数えるだけで分かる。

零ベクトルは固有ベクトルに数えないが、 $E_{λ}$ には入っている。 $λ$ が固有値である以上、 $0$ でない元が必ずあるので $dim E_{λ} \geq 1$ である。

幾何は代数を超えない

つねに次の不等式が成り立つ^[1,3]。

$1 \leq dim E_{λ} \leq (λ の代数的重複度)$

証明は基底の延長でできる。 $g = dim E_{λ}$ とおき、 $E_{λ}$ の基底 $v_{1}, \dots, v_{g}$ をとる。

これを全体の基底 $v_{1}, \dots, v_{g}, w_{g + 1}, \dots, w_{n}$ へ延長する。この基底で $A$ の表現行列を書くと、次の形になる。

$(λ I_{g} O B C)$

左上が $λ I_{g}$ になるのは、 $v_{1}, \dots, v_{g}$ がすべて $A v = λ v$ を満たすからである。左下が $O$ になるのも同じ理由。

ブロック上三角なので、固有多項式は左上と右下の積に分かれる。

$det (A - t I) = (λ - t)^{g} det (C - t I)$

$(λ - t)^{g}$ が因数に入った。 $det (C - t I)$ 側にさらに $λ$ が根として現れる場合もあるので、代数的重複度は $g$ 以上である。

表現行列は基底によって変わるが、固有多項式は変わらない。だから相似な行列で計算してよい。

例：3 次で両方を数える

冒頭の $A$ で数える。固有多項式は $(2 - λ)^{3}$ なので、 $λ = 2$ の代数的重複度は $3$ 。

$A - 2 I = 000100000$

階数は $1$ なので $dim E_{2} = 3 - 1 = 2$ 。固有ベクトルは $v_{2} = 0$ を解いて $(1, 0, 0)$ と $(0, 0, 1)$ の 2 本になる。

$3 > 2$ でずれている。この固有値は欠けている、という言い方をする^[1]。

例：三角行列でない場合

$B = 3 - 6 24 04100140 05 - 1 - 3$

固有多項式を計算すると $(3 - λ)^{2} (5 - λ) (- 3 - λ)$ になる^[2]。 $λ = 3$ の代数的重複度は $2$ 。

$B - 3 I$ を掃き出すと階数が $3$ になるので、 $dim E_{3} = 4 - 3 = 1$ である。

$λ = 5$ と $λ = - 3$ はどちらも重複度 $1$ で、幾何的重複度も $1$ 。重複がなければ、2 つの数は必ず一致する^[1]。

固有ベクトルは全部で $1 + 1 + 1 = 3$ 本。 $4$ 本に届かず、 $B$ は対角化できない。

合計で見ると分かりやすい

代数的重複度の合計は、必ず $n$ になる。幾何的重複度の合計は $n$ 以下で、等号のときだけ固有ベクトルが基底をなす。

$λ \sum dim E_{λ} \leq λ \sum (代数的重複度) = n$

すべての固有値で 2 つが一致すれば、左辺が $n$ に届く。1 つでもずれていれば届かない^[3]。

対角化できるかどうかの判定は、この一致を見る作業である。

代数的重複度

固有多項式から出る。合計は必ず $n$ で、行列の大きさに一致する

幾何的重複度

階数から出る。合計は $n$ 以下で、届いたときだけ対角化できる

ジョルダン細胞と対応する

ずれの正体は、ジョルダン標準形を見ると分かる。固有値 $λ$ について、次の対応がある。

幾何的重複度は、

λ

の細胞の個数に等しい。

代数的重複度は、細胞のサイズの合計に等しい。

細胞が全部

1

次なら、個数と合計が一致して対角化できる。

差

(

代数

) - (

幾何

)

は、各細胞のサイズから

1

を引いて足したものになる。

冒頭の $A$ なら、細胞は $2$ 次が 1 個と $1$ 次が 1 個。個数 $2$ が幾何的重複度、合計 $2 + 1 = 3$ が代数的重複度である。

$B$ で $λ = 3$ の細胞は $2$ 次が 1 個だけ。個数 $1$ 、合計 $2$ で、確かに数が合う。

一般固有空間まで広げると届く

$ker (A - λ I)$ では足りないが、指数を上げると広がる。

$ker (A - λ I) \subseteq ker (A - λ I)^{2} \subseteq \dots$

どこかで止まり、止まった先の次元が代数的重複度に一致する。これを一般固有空間と呼ぶ。

$dim ker (A - λ I)^{n} = (λ の代数的重複度)$

一般固有空間なら、どの行列でも空間全体を直和で埋められる。対角化が無理でも、ジョルダン標準形が作れるのはこのためだ。

固有空間では足りない

指数を上げて一般固有空間へ

次元が代数的重複度に届く

例：細胞の構成を読む

$5$ 次で、固有値 $λ$ の代数的重複度が $4$ 、幾何的重複度が $2$ とする。

細胞は 2 個で、サイズの合計は $4$ 。組み合わせは $3 + 1$ か $2 + 2$ の 2 通りである。

区別するには $rank (A - λ I)^{2}$ を見る。 $2 + 2$ なら 2 乗で全部消え、 $3 + 1$ なら 1 本残る。

重複度 2 つだけでは細胞の形が決まらない場合がある。指数を上げた階数まで見て、はじめて分かる。

$dim ker (A - λ I)^{k}$ を $k = 1, 2, \dots$ と並べると、増え方が細胞の形を決める。

差を階差でとると、各サイズの細胞が何個あるかまで読める。重複度 2 つは、その列の最初と最後にあたる。

数値では壊れやすい

重複度は、成分を少し動かすと飛ぶ量である^[3]。

$A_{ε} = (2 ε 12)$

固有多項式は $(2 - λ)^{2} - ε$ で、固有値は $2 \pm ε$ 。 $ε \neq = 0$ なら 2 つに分かれる。

$ε = 1 0^{- 16}$ でも、固有値の差は $2 \times 1 0^{- 8}$ ある。 $ε$ が丸め誤差の大きさでも、根号のせいで差はその平方根まで開く。

このとき代数的重複度は $1$ と $1$ 、幾何的重複度も $1$ と $1$ で、形の上では対角化できる。 $ε = 0$ の瞬間だけ、重複度 $2$ と $1$ に飛ぶ。

数値計算で重複度を判定するのが難しいのは、この飛び方による。

$6$ 次正方行列で、固有値 $λ$ の代数的重複度が $3$ 、 $rank (A - λ I) = 4$ でした。幾何的重複度はいくらですか。

__RESULT__

$dim E_{λ} = 6 - rank (A - λ I) = 6 - 4 = 2$ です。代数的重複度の $3$ に届いていないので、この固有値は欠けており、行列は対角化できません。

不等式の向きも確かめる。

ある固有値で、幾何的重複度が $3$ 、代数的重複度が $2$ になることはありますか。

ある
ない
行列が大きければある

__RESULT__

$1 \leq (幾何) \leq (代数)$ がつねに成り立ちます。固有空間の基底を全体の基底へ延長すると、固有多項式が $(λ - t)^{3}$ で割り切れるので、代数的重複度は $3$ 以上になります。

整理

数え方が 2 つある。方程式の根としての重なりが代数的重複度、固有空間の次元が幾何的重複度である。

前者は固有多項式から、後者は階数から出る。関係は $1 \leq$ 幾何 $\leq$ 代数で、上限に届くかどうかが対角化の可否を決める。

差が出た固有値では、ジョルダン細胞が $2$ 次以上になっている。差の大きさが、細胞がどれだけ大きいかを表している。

固有値がいくつあるかではなく、固有ベクトルが何本とれるか。数えるべきはそちらである。

参考文献

Algebraic and geometric multiplicity of eigenvalues. StatLect.

J. McKinnon. *Algebraic Multiplicity and Geometric Multiplicity*. Math 106, University of Waterloo.

Peter Haïssinsky. *Diagonalisation des endomorphismes et des matrices*. Université Paul Sabatier.

固有値 $2$ が 3 重解でも、固有ベクトルが 3 本あるとは限りません。$(2,1,0;0,2,0;0,0,2)$ では 2 本しか出ない。方程式の根としての重なりが代数的重複度、固有空間の次元が幾何的重複度で、前者は固有多項式から、後者は $n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$ から出ます。$1 \leq$ 幾何 $\leq$ 代数という不等式は、固有空間の基底を延長してブロック上三角にすれば証明できる。差が出た固有値ではジョルダン細胞が $2$ 次以上になっていて、細胞の個数が幾何的重複度、サイズの合計が代数的重複度にあたります。一般固有空間まで広げれば次元が届く話、$\varepsilon$ を足しただけで重複度が飛ぶ話まで。