三角関数の半角の定理とその応用問題

三角関数の半角の定理とは、角を半分にしたときの $\sin$, $\cos$, $\tan$ の値を、2倍角の式を使って表すものです。

角 $\frac{\theta }{2}$ が第何象限にあるかによって符号が決まる。たとえば $\frac{\theta }{2}$ が第1象限ならすべて正、第2象限なら $\sin$ のみ正。

半角の定理は、次のように2倍角の公式から導けます。

$$\cos \theta =1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}\Rightarrow \sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$$

応用問題

角 $A$ が鋭角で $\cos A=\frac{3}{5}$ のとき、$\sin \frac{A}{2}$ と $\cos \frac{A}{2}$ を求めなさい。

まず、$\cos A=\frac{3}{5}$ より、$\sin A=\frac{4}{5}$。

半角の定理より

$$\sin \frac{A}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$\cos \frac{A}{2}=+\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

$A$ は鋭角なので $\frac{A}{2}$ も第1象限にあり、符号はともに正。

よって

$$\sin \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}},\cos \frac{A}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

やや難しい応用例

三角形 $ABC$ において、辺の長さが $a=5,b=6,c=7$ のとき、$\tan \frac{A}{2}$ を求めなさい。

余弦定理より

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{6^2+7^2-5^2}{2\times 6\times 7}=\frac{60}{84}=\frac{5}{7}$$

したがって

$$\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{7}}{1+\frac{5}{7}}}=\sqrt{\frac{\frac{2}{7}}{\frac{12}{7}}}=\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$

よって $\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}$。