半角の公式はどこから来るのか？ルートの中の符号の決め方

半角の公式は、2 倍角の公式を裏返しただけのものです。

$$\cos \theta =1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$$

${\sin }^2\frac{\theta }{2}$ について解くと ${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$。両辺の平方根をとります。

$$\sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}},\cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$$

公式そのものはこれで終わり^[1]。残るのは $\pm$ をどちらにとるかで、そこは公式が決めてくれません。

2 倍角の 3 つの顔から 2 つが効く

$\cos 2\alpha$ の書き方は 3 通り。${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$、$2{\cos }^2\alpha -1$、$1-2{\sin }^2\alpha$ です^[1]。

このうち後ろの $2$ つが半角を生む。$\sin$ だけの式と $\cos$ だけの式になっているため。

$\alpha =\frac{\theta }{2}$ と置けば $2\alpha =\theta$ です。$1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}=\cos \theta$ から $\sin$ の半角になる。

$2{\cos }^2\frac{\theta }{2}-1=\cos \theta$ からは ${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$ が導ける。

最初の ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ は両方が残るので、この用途には向きません。

符号は θ/2 がどの象限にいるかで決まる

$\pm$ は、公式が決めてくれません。$\frac{\theta }{2}$ の位置を自分で調べる。

$\sin$ は第 1・第 2 象限で正、第 3・第 4 象限で負。$\cos$ は第 1・第 4 象限で正、第 2・第 3 象限で負です。

見るのは $\theta$ ではなく $\frac{\theta }{2}$。ここをとり違えると符号が逆になります。

$\theta$ が第 3 象限、たとえば $200^{\circ }$ なら、$\frac{\theta }{2}=100^{\circ }$ で第 2 象限。$\sin$ は正、$\cos$ は負。

$\theta$ の象限から $\frac{\theta }{2}$ の象限は一意に決まりません。$\theta$ に $360^{\circ }$ を足すと $\frac{\theta }{2}$ は $180^{\circ }$ 動くため。

だから問題文の「$0<\theta <\pi$」のような範囲が要ります。範囲がなければ符号は決められない。

例：cos A = 3/5 の鋭角

$A$ が鋭角、つまり $0<A<90^{\circ }$ とします。すると $0<\frac{A}{2}<45^{\circ }$ で第 1 象限。

第 1 象限なので $\sin$ も $\cos$ も正。$\pm$ は両方とも $+$ に決まります。

$$\begin{array}{rl}\sin \frac{A}{2}& =\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{5}}\\ & =\frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos \frac{A}{2}& =\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{8}{5}\cdot \frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{4}{5}}\\ & =\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{array}$$

検算します。${\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)}^2=\frac{5}{25}+\frac{20}{25}=1$。

${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が成り立ちました。半角を計算したら、この確認を挟むと符号ミスも拾える。

tan の半角には符号のいらない形がある

$\tan \frac{\theta }{2}$ は $\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$ と書けますが、実は $\pm$ を消せる^[1]。

$$\begin{array}{rl}\tan \frac{\theta }{2}& =\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\\ & =\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\end{array}$$

この 2 つには平方根も $\pm$ もありません。象限を調べなくても、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を入れれば符号ごと正しい値になる。

導き方は次のとおり。$\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$、$1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$ を使います。

割ると $\frac{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}=\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}=\tan \frac{\theta }{2}$。

$\cos \theta =-1$ のときだけ分母が $0$ になります。そのときはもう一方の形を使えばよい。

例：22.5 度の値

$22.5^{\circ }$ は $45^{\circ }$ の半分。$\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ を使います。

$22.5^{\circ }$ は第 1 象限なので符号は正。

$$\begin{array}{rl}\sin 22.5^{\circ }& =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}\\ & =\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\end{array}$$

同じように $\cos 22.5^{\circ }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ になります。二重根号のまま残る形がふつう。

$\tan$ は分数の形で計算します。$\tan 22.5^{\circ }=\frac{\sin 45^{\circ }}{1+\cos 45^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$。

分母分子に $2$ をかけて $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$、有理化すると $\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{2}=\sqrt{2}-1$。

$\tan 22.5^{\circ }=\sqrt{2}-1\fallingdotseq 0.414$。二重根号が消えて、きれいな形になりました。

三角形の角の半分を出す

$a=5$、$b=6$、$c=7$ の三角形で $\tan \frac{A}{2}$ を求めます。まず余弦定理で $\cos A$ を計算する^[2]。

$$\begin{array}{rl}\cos A& =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ & =\frac{36+49-25}{84}\\ & =\frac{60}{84}\\ & =\frac{5}{7}\end{array}$$

三角形の内角なので $0<A<180^{\circ }$、よって $0<\frac{A}{2}<90^{\circ }$ で第 1 象限。符号は正。

$$\begin{array}{rl}\tan \frac{A}{2}& =\sqrt{\frac{1-\frac{5}{7}}{1+\frac{5}{7}}}\\ & =\sqrt{\frac{\frac{2}{7}}{\frac{12}{7}}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{6}}\\ & =\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}$$

三角形の角の半分は、いつでも $90^{\circ }$ 未満です。だから符号はつねに正になる。

検算：内接円の半径から確かめる

同じ $\tan \frac{A}{2}$ を、まったく別の道から計算します。内接円を使う方法。

ヘロンの公式で面積を計算します^[2]。$s=\frac{5+6+7}{2}=9$ なので、面積は次のとおり。

$$\begin{array}{rl}S& =\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}\\ & =\sqrt{216}\\ & =6\sqrt{6}\end{array}$$

内接円の半径は $r=\frac{S}{s}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。

頂点 $A$ から接点までの長さは $s-a=9-5=4$。この 2 つで直角三角形ができ、$\tan \frac{A}{2}=\frac{r}{s-a}$。

$$\begin{array}{rl}\tan \frac{A}{2}& =\frac{2\sqrt{6}/3}{4}\\ & =\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}$$

半角の公式で計算した値と一致しました。式変形と図形という、まったく別の道から同じ数に着いています。

まちがえやすい点

$\theta$ の象限で符号を決めてしまう誤りが最も多い。判断するのは $\frac{\theta }{2}$ の象限です。

$\theta =300^{\circ }$ は第 4 象限ですが、$\frac{\theta }{2}=150^{\circ }$ は第 2 象限。$\sin$ は正、$\cos$ は負になる。

次に多い誤りは、$\frac{1-\cos \theta }{2}$ の $2$ を根号の外に出す形です。$\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}\ne \frac{1}{2}\sqrt{1-\cos \theta }$。

$\sin$ と $\cos$ の $\pm$ の中身もいれかえやすい。$\sin$ が引き算、$\cos$ が足し算。

$\theta =0$ で確かめられます。$\sin 0=0$ なので引き算のほう、$\cos 0=1$ なので足し算のほう。

$\tan$ の形も確かめます。

2 倍角を裏返し、$\frac{\theta }{2}$ の象限で符号を決める。$\tan$ だけは分数の形で符号を省ける。

出典