テンソルの直積

テンソルの直積（tensor product）は、2つのテンソルから新しいテンソルを構成する演算です。記号 $\otimes$ で表され、ベクトル空間やテンソル空間の理論における基本的な演算の一つです。

ベクトル空間のテンソル積

ベクトル空間 $V$ と $W$ が与えられたとき、そのテンソル積 $V \otimes W$ は双線型写像の普遍性によって特徴づけられます。具体的には、双線型写像 $ϕ : V \times W \to U$ が与えられたとき、線型写像 $\tilde{ϕ} : V \otimes W \to U$ がただ一つ存在して、 $\tilde{ϕ} (v \otimes w) = ϕ (v, w)$ を満たします。

$V$ の基底を ${e_{1}, \dots, e_{m}}$ 、 $W$ の基底を ${f_{1}, \dots, f_{n}}$ とすると、 $V \otimes W$ の基底は ${e_{i} \otimes f_{j}}_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ で与えられます。したがって $dim (V \otimes W) = dim (V) \cdot dim (W)$ が成り立ちます。

成分による表現

ベクトル $v = \sum_{i = 1}^{m} v^{i} e_{i} \in V$ と $w = \sum_{j = 1}^{n} w^{j} f_{j} \in W$ のテンソル積は

$v \otimes w = i = 1 \sum m j = 1 \sum n v^{i} w^{j} (e_{i} \otimes f_{j})$

と表されます。成分 $v^{i} w^{j}$ を持つテンソルが得られます。

一般に、 $V \otimes W$ の元は単一のテンソル積 $v \otimes w$ の形で表せるとは限らず、それらの線型結合として表されます。

$T = i, j \sum T^{ij} (e_{i} \otimes f_{j})$

双対空間との関係

ベクトル空間 $V$ とその双対空間 $V^{*}$ を考えると、 $(V \otimes W)^{*} ≅ V^{*} \otimes W^{*}$ という同型が成り立ちます。これにより、テンソル積は双対性の概念と密接に結びつきます。

特に、 $V$ 上の $(p, q)$ 型テンソルは $p 個 V \otimes \dots \otimes V \otimes q 個 V^{*} \otimes \dots \otimes V^{*}$ の元として定義されます。

行列のテンソル積（クロネッカー積）

行列 $A \in R^{m \times n}$ と $B \in R^{p \times q}$ のテンソル積は、 $m p \times n q$ 行列として次のように定義されます。

$A \otimes B = a_{11} B ⋮ a_{m 1} B \dots ⋱ \dots a_{1 n} B ⋮ a_{mn} B$

この演算はクロネッカー積（Kronecker product）とも呼ばれ、量子力学や信号処理で頻繁に用いられます。

結合性	$(U \otimes V) \otimes W ≅ U \otimes (V \otimes W)$
可換性	$V \otimes W ≅ W \otimes V$ （標準的な同型あり）
分配性	$(U \oplus V) \otimes W ≅ (U \otimes W) \oplus (V \otimes W)$
単位元	$K \otimes V ≅ V$ （体 $K$ 上のベクトル空間）

テンソル代数への拡張

ベクトル空間 $V$ から、そのすべてのテンソル冪を直和したテンソル代数（tensor algebra） $T (V)$ を構成できます。

$T (V) = k = 0 ⨁ \infty V^{\otimes k}$

ここで $V^{\otimes 0} = K$ （体）、 $V^{\otimes 1} = V$ 、 $V^{\otimes k} = k 個 V \otimes \dots \otimes V$ です。テンソル積を乗法として、 $T (V)$ は結合的代数の構造を持ちます。

多重線型写像としての見方

$(p, q)$ 型テンソルは、 $p$ 個の余ベクトルと $q$ 個のベクトルを受け取って体の元を返す多重線型写像と同一視できます。これはテンソルの縮約（contraction）演算によって実現されます。

例えば、 $(1, 1)$ 型テンソル $T \in V \otimes V^{*}$ は線型写像 $T : V^{*} \to V$ あるいは $T : V \to V$ と対応します。これは線型代数における行列とベクトルの関係を高次元化したものです。

具体例

$V = R^{2}$ とし、標準基底を ${e_{1}, e_{2}}$ とします。ベクトル $v = (1, 2)$ と $w = (3, 4)$ のテンソル積は

$v \otimes w = (1, 2) \otimes (3, 4) = (3648)$

と行列表現できます。ただしこれは形式的な表現で、実際には4次元空間の元です。