代数幾何学における有理同値

代数幾何学における有理同値（rational equivalence）は、代数多様体上のサイクルを分類する同値関係の一つである。この概念は交点理論の基礎をなし、Chow 群の定義に用いられる。

定義

$X$ を代数多様体とし、 $Z^{k} (X)$ を $X$ 上の $k$ 次元サイクルの自由アーベル群とする。 $W$ を $X$ 上の $(k + 1)$ 次元既約部分多様体、 $f$ を $W$ 上の有理関数とする。このとき、 $f$ の主サイクル（principal cycle） $div (f)$ は次のように定義される。

$div (f) = Y \sum ord_{Y} (f) \cdot Y$

ここで和は $W$ の素因子 $Y$ すべてにわたり、 $ord_{Y} (f)$ は $Y$ に沿った $f$ の位数である。

2 つのサイクル $α, β \in Z^{k} (X)$ が有理同値であるとは、ある $(k + 1)$ 次元既約部分多様体 $W_{i}$ と有理関数 $f_{i} \in K (W_{i})^{*}$ が存在して

$α - β = i \sum div (f_{i})$

と書けることをいう。記号では $α \sim_{rat} β$ と表す。

Chow 群

有理同値で割った商群

$A_{k} (X) = Z^{k} (X) / \sim_{rat}$

を $k$ 次の Chow 群という。Chow 群は交点積により環構造を持つ。

交点積

Chow 環 $A^{*} (X) = ⨁_{k} A^{k} (X)$ は、適切な横断性の条件のもとで、部分多様体の交点を取ることで積構造を持つ。この積は結合的かつ可換である。

プッシュフォワードとプルバック

固有射 $f : X \to Y$ に対してプッシュフォワード $f_{*} : A_{k} (X) \to A_{k} (Y)$ が、平坦射に対してプルバック $f^{*} : A_{k} (Y) \to A_{k} (X)$ が定義される。

他の同値関係との関係

代数サイクルに対しては、有理同値以外にもいくつかの同値関係が定義される。

代数的同値

2 つのサイクルが連結な代数族でつながるとき代数的に同値という。有理同値は代数的同値を導く。

数値同値

すべてのサイクルとの交点数が一致するとき数値的に同値という。代数的同値は数値同値を導く。

一般に、有理同値は代数的同値より強く、代数的同値は数値同値より強い。つまり

$有理同値 \Rightarrow 代数的同値 \Rightarrow 数値同値$

という包含関係がある。曲線の場合はこれらはすべて一致するが、高次元では異なる概念である。

例

$P^{n}$ において、同じ次数を持つ超平面はすべて有理同値である。実際、 $H_{0}$ と $H_{1}$ を 2 つの超平面とし、 $W = P^{n} \times P^{1}$ 上で $H_{0} \times {0}$ と $H_{1} \times {1}$ を考えると、これらは $W$ の主因子により結ばれる。

曲線 $C$ 上の 0 サイクルについては、次数が等しい 2 つの因子は有理同値である。これは Abel-Jacobi 写像の核を特徴づける。