サイクルを動かして同一視する - 有理同値と Chow 群

有理同値は、部分多様体を連続的に動かして同じものと見なす規則です。

動かす道具が有理関数です。$W$ の上の有理関数 $f$ をとると、その零点と極が差し引き $0$ になる形で現れます。

その差を $0$ と見なすことにする。これが有理同値の中身です^[1]。

以下ではサイクル群から始めて Chow 群を作り、射影空間で実際に計算します。交点積とベズーの定理まで進む。

サイクル群

$X$ を体 $k$ 上の代数多様体とします。$i$ 次元の既約部分多様体が生成する自由アーベル群を $Z_i(X)$ と書きます^[1]。

元は部分多様体の整数係数の有限和です。$3[C_1]-2[C_2]$ のような形になります。

係数に意味を持たせるので、重複度が数えられます。同じ部分多様体を 2 回数えたい場面が出てくるためです。

$X$ の次元を $n$ とすると、$Z_n(X)$ は既約成分が生成する群、$Z_0(X)$ は点が生成する群です。

因子と位数

動かす仕掛けを作ります。$W\subset X$ を $i+1$ 次元の既約部分多様体、$f$ を $W$ の $0$ でない有理関数とします。

$W$ の中の $i$ 次元の部分多様体 $Z$ に沿った $f$ の位数を ${\mathrm{ord}}_Z(f)$ と書き、次のサイクルを作ります^[1]。

$$\mathrm{div}(f)=\sum _Z{\mathrm{ord}}_Z(f)\cdot Z$$

和は有限です。零点も極も、有限個の部分多様体にしか現れません。

$W$ が滑らかな曲線なら、${\mathrm{ord}}_Z$ は点 $Z$ での零点の位数です。極なら負の値になります。

有理同値の定義

$\alpha ,\beta \in Z_i(X)$ が有理同値であるとは、次のように書けることをいいます^[1]。

$$\alpha -\beta =\sum _j\mathrm{div}(f_j)$$

ここで各 $f_j$ は、$i+1$ 次元の既約部分多様体 $W_j$ の上の有理関数です。

$\mathrm{div}(f)$ の形のサイクルが生成する部分群で割る、という操作になります。

1 次元上の多様体を経由する点が要です。$i$ 次元のサイクルを動かすのに、$i+1$ 次元の舞台を使います。

動かすという直観

なぜ「動かす」と言えるのかを見ます。

$W\cong X\times {\mathbb{P}}^1$ の形をとり、$f$ を ${\mathbb{P}}^1$ の座標とします。$\mathrm{div}(f)$ は $X\times \{0\}$ から $X\times \{\infty \}$ を引いたものになります。

${\mathbb{P}}^1$ の中を $0$ から $\infty$ まで動かすと、サイクルが連続的に移り変わる。その両端の差が $\mathrm{div}(f)$ です。

家族としてつながっている 2 つは有理同値になります。${\mathbb{P}}^1$ でパラメータ付けられた族が、有理同値を生みます。

直線を動かす

${\mathbb{P}}^2$ の中で直線を動かしてみましょう。

直線をどう動かしても、有理同値類は変わりません。1 次式の比をとれば、両者を結ぶ有理関数が作れるためです。

${\ell }_1$ と ${\ell }_2$ を 1 次式とすると、$f={\ell }_1/{\ell }_2$ の因子は $\{{\ell }_1=0\}-\{{\ell }_2=0\}$ です。差が $\mathrm{div}(f)$ の形になっている。

したがって ${\mathbb{P}}^2$ のすべての直線が 1 つの類に入ります。この類を超平面類といい $H$ と書きます。

Chow 群

有理同値で割った商を Chow 群といいます^[1]。

$${\mathrm{CH}}_i(X)=Z_i(X)/{\sim }_{\text{rat}}$$

余次元で添字を付けると ${\mathrm{CH}}^c(X)$ と書きます。$X$ が $n$ 次元なら ${\mathrm{CH}}^c={\mathrm{CH}}_{n-c}$ です。

${\mathrm{CH}}_{n-1}(X)$ は因子類群にあたります^[1]。$1$ 余次元の場合が、古典的に最もよく調べられた場合です。

$X$ が滑らかなら、全体に環構造が入ります。交点をとる操作が積になります。

例: 射影空間の Chow 環

いちばんきれいに求まる例です^[1]。

$${\mathrm{CH}}^{\ast }({\mathbb{P}}^n)\cong \mathbb{Z}[H]/(H^{n+1})$$

$H$ が超平面の類です。$H^c$ が余次元 $c$ の線形部分空間の類にあたります。

次数 $d$ で余次元 $a$ の部分多様体は $d{H}^a$ に有理同値です^[1]。次数だけが残り、形の情報は消えます。

$H^{n+1}=0$ となるのは、余次元が $n$ を超える部分多様体がないためです。

${\mathbb{P}}^2$ なら ${\mathrm{CH}}^{\ast }=\mathbb{Z}[H]/(H^3)$ です。$1$、$H$、$H^2$ が基底で、それぞれ全体・直線・点の類になります。

例: 曲線の上の 0 サイクル

次元を下げて、曲線で見ます。

${\mathbb{P}}^1$ では、どの 2 点も有理同値です。$f=(x-a)/(x-b)$ をとると $\mathrm{div}(f)=[a]-[b]$ になります。

したがって ${\mathrm{CH}}_0({\mathbb{P}}^1)\cong \mathbb{Z}$ で、次数だけが残ります。

種数が $1$ 以上の曲線では事情が変わります。${\mathrm{CH}}_0(C)$ は因子類群 $\mathrm{Pic}(C)$ で、次数 $0$ の部分がヤコビ多様体の点になります^[1]。

次数が等しくても有理同値とは限りません。楕円曲線の上で $[P]-[Q]$ が $0$ になるのは、$P=Q$ のときだけです。

${\mathbb{P}}^1$ だけが特別で、そこでは次数がすべてを決めていました。

動かせるものと動かせないもの

2 つの場合の差を並べます。

Chow 群は、離散的な部分と連続的な部分をあわせ持ちます。次数だけで済むのは特殊な場合です。

高次元では、この連続的な部分がさらに複雑になります。有限生成にならない例も知られています。

交点積

$X$ が滑らかなら、Chow 群に積が入ります^[1]。

$${\mathrm{CH}}^i(X)\times {\mathrm{CH}}^j(X)\to {\mathrm{CH}}^{i+j}(X)$$

余次元 $i$ と $j$ の部分多様体 $Y$、$Z$ が横断的に交わるなら、$[Y]\cdot [Z]$ は交わりの成分の和です。

横断的でない場合は、まず動かします。有理同値を使って一般の位置へずらしてから交点をとる。

この「動かしてから交わる」という手順が、有理同値を導入した理由の 1 つです。交点が定義できる状況を、いつでも作れるようになります。

例: ベズーの定理

${\mathbb{P}}^2$ で次数 $d$ と $e$ の曲線を交わらせます。

類はそれぞれ $dH$ と $eH$ です。積は $de{H}^2$ になります。

$H^2$ は 1 点の類なので、交点数は $de$ です。重複度を込めて数えれば、ちょうど $de$ 点になります。

$d=e=1$ なら $1$ 点。2 直線は ${\mathbb{P}}^2$ でちょうど 1 点で交わります。

$d=2$、$e=3$ なら $6$ 点です。円錐曲線と 3 次曲線の交点数が計算だけで出ました。

押し出しと引き戻し

射に沿った操作も定義されています^[1]。

固有射 $f:X\to Y$ に対して押し出し $f_{\ast }:{\mathrm{CH}}_i(X)\to {\mathrm{CH}}_i(Y)$ があります。次元が保たれる形です。

平坦射で相対次元が $r$ なら、引き戻し $f^{\ast }:{\mathrm{CH}}_i(Y)\to {\mathrm{CH}}_{i+r}(X)$ があります。

2 つは有理同値と両立します。だから群のあいだの写像として定義できる。

サイクルのままでは写像が定まらない場面でも、類にしてしまえば定まります。商をとった見返りです。

図として整理する

サイクルから Chow 群までの流れを描いておきます。

左から右へ、情報を捨てながら扱いやすくしています。捨てた見返りが交点積です。

いちばん右まで来ると、位相のコホモロジーに似た道具になります。実際、複素多様体では類写像でコホモロジーへ送れます^[1]。

練習

次数の積を計算するだけ。形が違っても類は次数で決まります。

よくある誤り

まとめます。

動かせるかどうかを 1 次元上の多様体で確かめる。それが判定の出発点です。

参考文献