コンパクトと点列コンパクトの違い

距離空間においては点列コンパクトとコンパクトは同値だが、一般の位相空間では異なる概念である。

定義

位相空間 $X$ がコンパクトであるとは、$X$ の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことをいう。すなわち、$X={\bigcup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$（各 $U_{\alpha }$ は開集合）ならば、有限個の添字 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ が存在して $X=U_{{\alpha }_1}\cup \cdots \cup U_{{\alpha }_n}$ となる。

一方、$X$ が点列コンパクトであるとは、$X$ 内の任意の点列が収束する部分列を持つことをいう。

距離空間での同値性

距離空間 $(X,d)$ においては、次の 3 条件が同値となる。

この同値性は距離空間の良い性質（第一可算公理を満たすこと、点列による位相の特徴づけが可能なこと）に依存している。

一般の位相空間での乖離

一般の位相空間では、コンパクト性と点列コンパクト性は独立した概念になる。

コンパクトだが点列コンパクトでない例として、$\{0,1{\}}^{[0,1]}$（区間 $[0,1]$ を添字集合とする $\{0,1\}$ の直積空間、積位相を入れたもの）がある。Tychonoff の定理により各 $\{0,1\}$ がコンパクトなので直積もコンパクトだが、この空間には収束部分列を持たない点列が存在する。

点列コンパクトだがコンパクトでない例として、第一非可算順序数 ${\omega }_1$ に順序位相を入れた空間がある。任意の点列は可算個の点しか含まないため ${\omega }_1$ 未満のどこかに上限を持ち、収束部分列が取れる。しかし、開被覆 $\{[0,\alpha ):\alpha <{\omega }_1\}$ は有限部分被覆を持たない。

同値性が成り立つ条件

点列コンパクトとコンパクトが同値になる十分条件として、空間が第二可算公理を満たすことが挙げられる。第二可算公理とは可算な開基を持つことであり、これを満たす空間では点列による議論が位相的議論と整合する。距離空間が可分であれば第二可算であり、${\mathbb{R}}^n$ などの通常扱う空間ではこの条件が満たされている。