距離空間においては点列コンパクトとコンパクトは同値だが、一般の位相空間では異なる概念である。
定義
位相空間 がコンパクトであるとは、 の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことをいう。すなわち、（各 は開集合）ならば、有限個の添字 が存在して となる。
一方、 が点列コンパクトであるとは、 内の任意の点列が収束する部分列を持つことをいう。
距離空間での同値性
距離空間 においては、次の 3 条件が同値となる。
はコンパクト
は点列コンパクト
は全有界かつ完備
この同値性は距離空間の良い性質（第一可算公理を満たすこと、点列による位相の特徴づけが可能なこと）に依存している。
一般の位相空間での乖離
一般の位相空間では、コンパクト性と点列コンパクト性は独立した概念になる。
コンパクトだが点列コンパクトでない例として、（区間 を添字集合とする の直積空間、積位相を入れたもの）がある。Tychonoff の定理により各 がコンパクトなので直積もコンパクトだが、この空間には収束部分列を持たない点列が存在する。
点列コンパクトだがコンパクトでない例として、第一非可算順序数 に順序位相を入れた空間がある。任意の点列は可算個の点しか含まないため 未満のどこかに上限を持ち、収束部分列が取れる。しかし、開被覆 は有限部分被覆を持たない。
同値性が成り立つ条件
点列コンパクトとコンパクトが同値になる十分条件として、空間が第二可算公理を満たすことが挙げられる。第二可算公理とは可算な開基を持つことであり、これを満たす空間では点列による議論が位相的議論と整合する。距離空間が可分であれば第二可算であり、 などの通常扱う空間ではこの条件が満たされている。
