ハウスドルフ空間でない位相空間の例｜密着位相からザリスキー位相まで

ハウスドルフ空間とは、異なる 2 点を交わらない開集合で分けられる空間のことです。

$$x\ne y⟹\exists U\ni x,\exists V\ni y,U\cap V=\varnothing$$

この条件を満たさない空間は珍しくありません。位相を粗くすれば開集合が足りなくなりますし、貼り合わせや商を取る操作でも簡単に壊れます。

以下では非ハウスドルフの例を、粗い位相から自然に現れるものまで順に並べ、そのうえで何が壊れるのかを確かめます。

例：密着位相

いちばん単純な例は、開集合が $\varnothing$ と全体しかない空間です。

$X=\{a,b\}$ に対して開集合の族を $\{\varnothing ,X\}$ とします。$a$ を含む開集合は $X$ だけ、$b$ を含む開集合も $X$ だけです。

交わらない 2 つを選びようがないので、ハウスドルフではありません。それどころか、$a$ と $b$ を区別する開集合すら存在しません。

2 点を位相の言葉で区別できないこの状態を、$T_0$ 公理が破れているといいます。

例：シェルピンスキー空間

区別はできるが分離はできない、という中間の例があります。

$X=\{0,1\}$ に対して、開集合の族を $\{\varnothing ,\{1\},X\}$ とします。$1$ を含む開集合には $\{1\}$ がありますが、$0$ を含む開集合は $X$ だけです。

$\{1\}$ は $0$ を含まないので、2 点は位相的に区別できます。しかし $0$ の近傍が $X$ しかないので、分離はできません。

この空間はシェルピンスキー空間と呼ばれ、$T_0$ ではあるがハウスドルフでない最小の例になっています。

例：有限補位相

もっと自然な形の例に移ります。無限集合の上で、閉集合を有限集合と全体に限る位相です。

$X=\mathbb{N}$ とします。開集合は $\varnothing$ と、有限個の点を除いた集合です。

1 点集合は有限なので閉集合です。したがってこの空間は $T_1$ を満たします。

ところが異なる 2 点 $m,n$ を取ると、$m$ を含む開集合 $U$ も $n$ を含む開集合 $V$ も、有限個を除いた無限集合です。無限集合から有限個ずつ取り除いても交わりは残ります。

$$U\cap V\ne \varnothing$$

$T_1$ でありながらハウスドルフでない、という例になっています。分離公理の階層で、ちょうど 2 つの段の間に入ります。

例：ザリスキー位相

代数幾何で使う位相も、ハウスドルフではありません。

アフィン直線 ${\mathbb{A}}^1$ を複素数全体と見ます。ザリスキー位相では、閉集合を多項式の零点集合、つまり有限集合と全体に取ります。

これは有限補位相そのものです。したがって前の節と同じ理由で、ハウスドルフになりません。

高次元でも事情は変わりません。${\mathbb{A}}^n$ の空でない開集合は稠密なので、2 つ取れば必ず交わります。

代数幾何がハウスドルフ性を要求しないのは、この位相を使う以上どうにもならないからです。分離の議論は、別の条件に置き換えて行われます。

例：原点を 2 つ持つ直線

貼り合わせで壊す例に移ります。直線の原点だけを 2 つに増やします。

集合として $X=(\mathbb{R}\setminus \{0\})\cup \{0_1,0_2\}$ と置きます。開集合は次の 2 種類です。

各点は閉なので $T_1$ です。ところが $0_1$ の近傍と $0_2$ の近傍を取ると、どちらも $0$ を抜いた同じ区間を含みます。

したがって交わりは空になりません。$0_1$ と $0_2$ は分離できません。

<svg viewBox="0 0 460 220" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<line x1="70" y1="120" x2="225" y2="120" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1.5"></line>
	<line x1="245" y1="120" x2="400" y2="120" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1.5"></line>
	<line x1="175" y1="120" x2="225" y2="120" stroke="#9a9a9a" stroke-width="3"></line>
	<line x1="245" y1="120" x2="295" y2="120" stroke="#9a9a9a" stroke-width="3"></line>
	<polyline points="175,100 175,92 295,92 295,100" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></polyline>
	<polyline points="175,140 175,148 295,148 295,140" fill="none" stroke="#d0562a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<circle cx="235" cy="100" r="4" fill="#1b81e0"></circle>
	<circle cx="235" cy="140" r="4" fill="#d0562a"></circle>
	<text x="55" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">原点だけを 2 つに増やした直線</text>
	<text x="302" y="96" font-size="11" fill="#1b81e0">一方の原点の近傍</text>
	<text x="302" y="152" font-size="11" fill="#d0562a">もう一方の原点の近傍</text>
	<text x="244" y="104" font-size="11" fill="#1b81e0">原点 1</text>
	<text x="244" y="144" font-size="11" fill="#d0562a">原点 2</text>
	<text x="55" y="196" font-size="11" fill="#9a9a9a">太い部分は両方の近傍に入る。交わりは空にならない</text>
</svg>

この空間は、各点のまわりが直線と同じ形をしています。多様体の定義からハウスドルフ性を外すと、こういうものが入ってきてしまいます。多様体の定義にハウスドルフ性を書き込むのは、これを排除するためです。

例：平面の 1 本の直線を 2 本にする

同じ操作を平面で行います。$x$ 軸だけを 2 枚に増やします。

$L$ を $x$ 軸とし、集合として $X=({\mathbb{R}}^2\setminus L)\cup L_1\cup L_2$ と置きます。軸を外した部分は 1 つだけで、2 枚に増やすのは軸そのものだけです。

$L_i$ の点 $(a,0_i)$ の近傍は、$(a,0)$ のまわりの円板から軸を抜いたものに、$L_i$ の側の線分を足したものとします。

$(a,0_1)$ の近傍と $(a,0_2)$ の近傍は、どちらも軸を抜いた円板の部分を共有します。したがって分離できません。

2 枚の半平面を境界で貼り合わせただけでは、この現象は起きません。軸から離れた点まで共有していることが効いています。

例：商空間はすぐ壊れる

商を取る操作は、ハウスドルフ性を保ちません。極端な例を作ります。

$\mathbb{R}$ の上で、差が有理数である 2 点を同一視します。商集合を $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ と書きます。

商位相で開になるのは、もとの空間の開集合のうち、同一視で閉じているものの像です。$\mathbb{R}$ の空でない開集合は区間を含み、そこに有理数を足していくと $\mathbb{R}$ 全体になります。

したがって商空間の開集合は $\varnothing$ と全体だけです。密着位相になり、$T_0$ ですらありません。

もとの $\mathbb{R}$ は距離空間で、分離公理をすべて満たします。それでも商を取ると何も残りません。

有限集合の上ではほとんど起きない

逆に、有限集合の上ではハウスドルフ性が強すぎる条件になります。

命題。有限なハウスドルフ空間は離散空間です。

証明。$x\in X$ を固定します。各 $y\ne x$ について、$x$ を含む開集合 $U_y$ と $y$ を含む開集合 $V_y$ で交わらないものを取ります。

$X$ が有限なので $y$ は有限個です。有限個の開集合の交わりは開なので、次の集合は開です。

$$W=\bigcap _{y\ne x}{U}_y$$

$W$ は $x$ を含みます。各 $y\ne x$ について $y\notin U_y$ なので、$y\notin W$ です。したがって $W=\{x\}$ となり、1 点集合が開になります。

すべての 1 点集合が開なら、あらゆる部分集合が開です。つまり離散空間です。

離散でない有限空間はすべてハウスドルフでない、ということになります。シェルピンスキー空間はその最小の例でした。

何が壊れるのか：極限が一意でなくなる

ハウスドルフ性が効いているのは、極限の一意性です。

原点を 2 つ持つ直線で、数列 $x_n=\frac{1}{n}$ を考えます。$0_1$ のどの近傍もこの数列の項をいずれ全部含むので、$x_n\to 0_1$ です。

同じ理由で $x_n\to 0_2$ も成り立ちます。1 つの数列が 2 つの点に収束しています。

ハウスドルフ空間なら、こうはなりません。極限の候補が 2 つあれば交わらない近傍で分けられ、数列がその両方に入ることはできないからです。

「極限は 1 つに決まる」という当たり前に見える性質は、ハウスドルフ性に支えられています。

何が壊れるのか：コンパクトでも閉とは限らない

もう 1 つ壊れるのが、コンパクト集合が閉であるという性質です。

有限補位相を入れた $\mathbb{N}$ を考えます。任意の部分集合 $A$ はコンパクトです。開被覆から 1 枚選べば有限個の点しか残らず、その各点を 1 枚ずつ足せば有限部分被覆になるからです。

ところが $A$ が無限の真部分集合なら、閉集合ではありません。この位相の閉集合は有限集合と全体に限られるからです。

$$A\text{ はコンパクトだが閉でない}$$

ハウスドルフ空間では、コンパクト集合は必ず閉になります。証明にはまさに分離が使われます。

対角線による言い換え

ハウスドルフ性は、積空間の言葉で 1 行にまとまります。

命題。$X$ がハウスドルフであることと、対角線 $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ が $X\times X$ の閉集合であることは同値です。

証明。$\Delta$ が閉であることは、補集合が開であることと同じです。補集合が開とは、$x\ne y$ となる各点 $(x,y)$ に対して、$\Delta$ と交わらない基本開集合 $U\times V$ が取れることです。

$U\times V$ が $\Delta$ と交わらないことは、$U\cap V=\varnothing$ と同じです。したがって条件全体が、ハウスドルフの定義そのものになります。

分離という点ごとの条件が、積空間の 1 つの集合が閉であるという条件に化けます。この言い換えは、写像の一致集合が閉であることを示すときによく使われます。

保たれる操作と保たれない操作

ハウスドルフ性は、部分空間と直積では保たれます。商では保たれません。

部分空間の場合は、もとの空間で分離する開集合を交わりに落とせば済みます。直積の場合は、片方の座標で分離しておいて、その逆像を取ればかまいません。

商が保たない理由は、開集合を減らす操作だからです。同一視で閉じた開集合しか残らないので、分離に使える材料が減ります。

商空間がハウスドルフになる条件は別に調べる必要があります。同値関係のグラフが積空間で閉であることが、必要条件として知られています。

よくある誤り

参考文献