ハウスドルフ空間でない位相空間の例

最も単純なハウスドルフでない空間の例は、密着位相（indiscrete topology）を持つ空間です。

集合 $X=\{a,b\}$ に対して、開集合の族を $\{\varnothing ,X\}$ とすると、この位相空間は密着位相を持ちます。異なる 2 点 $a,b$ を分離しようとしても、$a$ を含む開集合は $X$ のみ、$b$ を含む開集合も $X$ のみなので、交わらない開集合で分離することは不可能です。

Zariski 位相

代数幾何学で重要な Zariski 位相は、ハウスドルフでない空間の代表例です。

アフィン空間 ${\mathbb{A}}^n$ 上の Zariski 位相では、閉集合が多項式の零点集合として定義されます。開集合は閉集合の補集合なので、空でない開集合は常に「密」な集合となります。

具体的に ${\mathbb{A}}^1=\mathbb{C}$ の場合を考えると、異なる 2 点 $a,b$ に対して、$a$ を含む開集合 $U$ と $b$ を含む開集合 $V$ があれば、どちらも有限個の点を除いた全体となります。したがって $U\cap V$ は必ず無限個の点を含み、空集合にはなりません。

重複点位相

数直線 $\mathbb{R}$ に特殊な点を追加した空間も、ハウスドルフでない例を提供します。

集合 $X=\mathbb{R}\cup \{\ast \}$ を考え、$\ast$ は原点 0 の「重複」とします。開集合は次のように定義します。

この位相では、0 と $\ast$ を分離できません。0 を含む任意の開集合は必ず $\ast$ も含むからです。

Sierpinski 空間

最も小さなハウスドルフでない T0 空間として、Sierpinski 空間があります。

集合 $X=\{0,1\}$ に対して、開集合族を $\{\varnothing ,\{1\},X\}$ と定義します。この空間では、1 を含む開集合 $\{1\}$ と $X$ がありますが、0 を含む開集合は $X$ のみです。したがって、0 と 1 を交わらない開集合で分離することはできません。

有限補空間

無限集合 $X$ に対して、閉集合を有限集合と $X$ 自身とする位相を考えます。

例えば $X=\mathbb{N}$ とし、閉集合を有限集合と $\mathbb{N}$ 全体とします。このとき、開集合は $\varnothing$ と有限個の点を除いた集合です。

異なる 2 点 $m,n$ を分離しようとすると、$m$ を含む開集合 $U$ は高々有限個の点を除いた $\mathbb{N}$ であり、$n$ を含む開集合 $V$ も同様です。したがって $U\cap V$ は無限集合となり、空集合にはなりません。

下半平面と上半平面の和空間

実数直線を共有する 2 つの半平面を考えます。

集合 $X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y\le 0\}\cup \{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y\ge 0\}$ を考え、各半平面には通常のユークリッド位相を与え、境界の実軸 $y=0$ を「重複」させた位相を定義します。

点 $(a,0^{+})$（上半平面上）と点 $(a,0^{-})$（下半平面上）は同じ $x$ 座標を持ちますが、これらを分離する開集合は存在しません。どちらを含む開集合も、実軸上の点 $(a,0)$ の近傍を含むため、必ず交わります。