代数幾何学の有理写像

代数幾何学における有理写像（rational map）とは、概形（または代数多様体） $X$ から $Y$ への写像のうち、 $X$ のある稠密開集合上で正則に定義されるものをいう。つまり、全域で定義される写像ではなく、「ほとんどの点」で定義される写像である。

定義

$k$ を体、 $X, Y$ を $k$ 上の代数多様体とする。このとき、 $X$ から $Y$ への有理写像

$f : X ⇢ Y$

とは、 $X$ のある稠密開集合 $U \subset X$ に対して定義された正則写像

$f ∣_{U} : U \to Y$

の同値類である。ここで、同値とは「 $X$ のあるさらに小さい稠密開集合上で一致する」ことである。

定義域は一般に全体ではなく、ある稠密開集合に限られる。

f

の像は

Y

の部分多様体となる。

X

が既約であれば、有理写像はその関数体の準同型に対応する。

同値類を考えることで、「定義域を少し変えても同じ写像」とみなせる。

$X, Y$ が既約代数多様体ならば、それぞれの関数体を $k (X), k (Y)$ と書く。このとき、有理写像

$f : X ⇢ Y$

が存在することと、 $k$ -代数準同型

$f^{#} : k (Y) \to k (X)$

が存在することは同値である。すなわち、有理写像は関数体の間の準同型として完全に記述できる。

有理同値

2つの代数多様体 $X, Y$ が互いに有理写像で結ばれている（ $X ⇢ Y$ と $Y ⇢ X$ がある）とき、 $X$ と $Y$ は有理同値であるという。

双有理同値

さらに $X ⇢ Y$ と $Y ⇢ X$ が互いに逆写像の関係にあるとき、すなわち関数体が同型 $k (X) ≅ k (Y)$ であるとき、 $X$ と $Y$ は双有理同値であるという。

双有理同値は代数幾何学において非常に重要な概念であり、「同じ関数体をもつ多様体は、局所的には同じ幾何構造をもつ」とみなされる。

射影直線

P^{1}

からアフィン直線

A^{1}

への写像

[x : y] \mapsto x / y

は有理写像である（

y = 0

では定義されない）。

アフィン平面

A^{2}

上の写像

(x, y) \mapsto (x, 1/ x)

は

x \neq = 0

上で正則だが、

x = 0

では定義されないため有理写像である。

楕円曲線上の点を射影直線に送る写像も、多くの場合有理写像となる。