定義できない点があってもいい！代数幾何の有理写像

有理写像は、全体では定義されていなくてもよい写像です。

稠密な開集合の上で射になっていれば、それを 1 つの写像として扱います^[1]。定義域の外側は、あとから議論します。

分数を思い浮かべると分かりやすい。$1/x$ は $x=0$ で値をもちませんが、関数として扱いたい場面はいくらでもあります。

以下では定義を整え、6 つの例で不定点を探します。関数体との対応と、双有理同値までたどる。

定義

$X,Y$ を体 $k$ 上の多様体とします。有理写像 $f:X⇢Y$ とは、空でない開集合 $U\subset X$ の上で定義された射 $f{|}_U:U\to Y$ のことです^[1]。

矢印を破線で書くのが習慣です。全域で定義されていないことを、記号で示しています。

$X$ が既約なら、空でない開集合はいつでも稠密です。ザリスキ位相では、閉集合が真に小さいためです。

2 つの射を同じものと見なす規則も要ります。$U$ と $U^{\prime }$ の上の射が、さらに小さい開集合の上で一致するなら、同じ有理写像とします。

同値類として扱うので、「どこで定義されているか」は写像そのものの一部ではありません。

定義域は最大にとれる

同値類の中で、定義域がいちばん大きいものが 1 つ決まります。

定義されている開集合をすべて合わせればよい。重なりの上で一致するので、貼り合わせて 1 つの射になります。

この最大の開集合を定義域といい、その補集合を不定点集合といいます。閉集合になります。

不定点集合がどれだけ小さいかが、写像の素性を表します。曲線から射影多様体への有理写像なら、不定点は現れません。

例: 割り算から出る有理写像

いちばん基本的な例を並べます。

3 番目と 4 番目の違いに注目します。行き先を射影直線にすると、$x=0$ でも $[0:y]=[0:1]$ として値が決まります。

行き先が射影的だと不定点が小さくなる。これは一般に成り立つ現象です。

不定点を絵にする

定義域と不定点の位置関係を描いておきます。

左では赤い直線ぜんぶが不定点です。右では原点 1 点まで縮んでいます。

式は同じ $y/x$ でも、$[x:y]$ と書き直せば $x=0$ でも意味をもちます。分母が $0$ になる場所で、比としてなら値が決まるためです。

支配的であること

有理写像 $f:X⇢Y$ の像が $Y$ で稠密なとき、$f$ は支配的であるといいます。

支配的でない例はすぐ作れます。${\mathbb{A}}^2⇢{\mathbb{A}}^2$、$(x,y)\mapsto (x,0)$ は像が直線なので稠密ではありません。

定値写像も支配的ではありません。像が 1 点だからです。

支配的かどうかは、関数体との対応で効いてきます。

関数体との対応

$X,Y$ を既約とし、関数体を $k(X)$、$k(Y)$ と書きます。

支配的な有理写像 $f:X⇢Y$ から、$k$ 代数の埋め込み $f^{\#}:k(Y)\hookrightarrow k(X)$ が定まります。

$Y$ 上の有理関数 $g$ を $g\circ f$ へ送るだけです。$f$ が支配的なので、$g\circ f$ が恒等的に $0$ になることはありません。

支配的でないと、この構成が壊れます。像の上で消える関数を引き戻すと $0$ になってしまうためです^[1]。

逆向きもあり、埋め込みからは支配的な有理写像が作れます。支配的な有理写像と、関数体の埋め込みが 1 対 1 に対応します。

双有理写像

$f:X⇢Y$ に対して、逆になる有理写像 $g:Y⇢X$ があるとき、$f$ を双有理写像といいます^[1]。

$g\circ f$ と $f\circ g$ が、それぞれ定義域の上で恒等写像になることを要求します。

このとき $X$ と $Y$ は双有理同値であるといい、開集合どうしが同型になります。

関数体の言葉では、$k(X)\cong k(Y)$ が $k$ 上の同型として成り立つことと同値です^[1]。

次元は双有理不変です。関数体の超越次数で書けるためです^[3]。

例: 円を 1 変数で書く

双有理同値の代表例が、円の有理パラメータ表示です^[1]。

$$f(t)=\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)$$

この点が単位円の上にあることは、分子を計算すれば分かります。$(2t{)}^2+(1-t^2{)}^2=(1+t^2{)}^2$ です。

作り方は立体射影です。円の南極 $(0,-1)$ から $x$ 軸へ向かって直線を引きます。

軸の点 $t$ と円の点が 1 対 1 に対応します。南極だけが、どの $t$ にも対応しません。

逆写像は $t=x/(1+y)$ です。$y=-1$、つまり南極でだけ定義されません。

$1$ 点を除いて同型なので、円とアフィン直線は双有理同値です。円は有理曲線になります。

有理多様体

射影空間と双有理同値な多様体を、有理多様体といいます^[1]。

円は有理曲線でした。尖点曲線 $y^2=x^3$ も $x=t^2$、$y=t^3$ で書けるので有理です。

結節点をもつ 3 次曲線 $y^2=x^2(x+1)$ も有理です。$x=t^2-1$、$y=t^3-t$ が全射に近い形で書けます。

特異点のない 3 次曲線は有理ではありません。種数が $1$ で、種数は双有理不変だからです。

$2$ 次曲面 $x_0{x}_3=x_1{x}_2$ は ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ と同型で、有理曲面です^[1]。

ブローアップという双有理射

有理写像を射に直す標準的な方法があります。

${\mathbb{A}}^2⇢{\mathbb{P}}^1$、$(x,y)\mapsto [x:y]$ の不定点は原点でした。原点をブローアップすると、この写像が射になります。

ブローアップは双有理射です^[1]。定義された射で、逆が有理写像にとどまります。

原点が 1 本の射影直線に置き換わり、その上の点が「原点へ入る方向」を表します。方向ごとに行き先が違うので、原点では値が決まらなかった。

曲面の分類では、ブローアップで得られる例外曲線を潰す操作が中心になります^[4]。

双有理不変量

双有理同値で保たれる量を、双有理不変量といいます。

不変でない量もあります。次数や埋め込みの形は、双有理変換で変わります。

同型でなく双有理同値で分類するのは、扱いやすさのためです。特異点を許して形を単純にできます^[5]。

練習

支配的という条件が、体の側で単射性を保証しています。

よくある誤り

まとめます。

分数として書いたときに分母が消える場所、そこを探すのが出発点になります。

参考文献