距離空間の完備性｜完備性が距離で決まり位相で決まらない理由

距離空間 $(X,d)$ が完備であるとは、$X$ 内の任意の Cauchy 列が $X$ の点に収束することをいう。数直線に穴が開いていない、という状況を一般の空間へ持ち出したものである。

完備性は解析学の土台になる。極限を先に知らなくても収束が判定でき、縮小写像の原理や微分方程式の解の存在がここから出てくる。

以下では定義と 3 つの直観から始め、21 個の例を 1 つずつ確かめる。完備性が距離の性質であって位相の性質ではない、という点を中心に据える。

Cauchy 列

点列 $(x_n)$ が Cauchy 列であるとは、任意の $\epsilon >0$ に対してある $N$ が存在し、$m,n\ge N$ ならば $d(x_n,x_m)<\epsilon$ となることをいう。

添字が十分大きくなると、項どうしがいくらでも近づくという条件である。極限の存在をどこにも仮定していない点が大事なところだ。

収束の定義が「ある 1 点 $x$ に近づく」だったのに対し、Cauchy 列の条件は列の中だけで書かれている。行き先を名指しせずに、列が落ち着いていく様子だけを述べている。

収束列は Cauchy 列である

$(x_n)$ が $x$ に収束するとしよう。三角不等式から次が成り立つ。

$$d(x_n,x_m)\le d(x_n,x)+d(x,x_m)$$

右辺は $n,m$ が十分大きければいくらでも小さくなる。よって収束列はつねに Cauchy 列である。

逆は一般に成り立たない。Cauchy 列であっても、収束先が空間の中にあるとは限らないからだ。この差を埋めよと要求するのが完備性になる。

完備性の定義

距離空間 $(X,d)$ が完備であるとは、$X$ の任意の Cauchy 列が $X$ の点に収束することをいう。

前節の含意の逆が成り立つ空間、と言い換えてもよい。収束列と Cauchy 列が一致する空間である。

完備なノルム空間を Banach 空間、完備な内積空間を Hilbert 空間と呼ぶ。関数解析の主要な対象はどれも完備性を前提にしている。

直観: 穴がない

Cauchy 列は行き先を指している。項どうしが際限なく近づくのだから、どこか 1 点に集まろうとしていることは間違いない。

完備とは、指された先に必ず点が用意されている、ということである。完備でない空間には、列が指しているのに点がない場所がある。それが穴だ。

穴という言い方は比喩ではあるが、完備化の構成を見ると文字どおりの意味を持つ。空いている場所に点を足していく操作が完備化になる。

直観: 極限を知らずに収束が言える

完備性の実用的な価値は、収束の判定に極限が要らない点にある。

列が収束することを定義から示すには、収束先 $x$ を先に手に入れて $d(x_n,x)\to 0$ を確かめなければならない。ところが多くの場面で、極限そのものは求まらない。

完備な空間では、$d(x_n,x_m)\to 0$ さえ言えれば収束が保証される。極限を名指しせずに存在だけを結論できる。

級数の収束判定も、逐次近似法も、この構図に乗っている。存在を先に押さえてから正体を調べる、という順序が使えるようになる。

直観: 完備性は距離が決める

3 つ目の点がもっとも見落とされやすい。完備性は距離の性質であって、位相の性質ではない。

同じ位相を与える距離が 2 つあって、一方では完備、他方では完備でない、ということが起きる。開集合の族だけを見ても完備性は決まらない。

Cauchy 列の条件に $d$ が直接現れることを思い出せばよい。開集合の言葉だけでは「項どうしが近づく」を書き表せない。

この点はあとで $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ の対で確かめる。位相だけを見る立場では、完備性は見えない量である。

例: 有理数体

$\mathbb{Q}$ に通常の距離を入れた空間は完備でない。$\sqrt{2}$ の小数展開を打ち切った列 $1,1.4,1.41,1.414,\dots$ は Cauchy 列だが、極限は有理数でない。

<svg viewBox="0 0 700 250" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="80" y1="86" x2="620" y2="86" stroke="#1f1f1f" stroke-width="1"/><circle cx="160" cy="86" r="4" fill="#1f1f1f"/><circle cx="300" cy="86" r="4" fill="#1f1f1f"/><circle cx="390" cy="86" r="4" fill="#1f1f1f"/><circle cx="440" cy="86" r="4" fill="#1f1f1f"/><circle cx="468" cy="86" r="4" fill="#1f1f1f"/><circle cx="484" cy="86" r="3.5" fill="#1f1f1f"/><circle cx="500" cy="86" r="6" fill="#ffffff" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"/><text x="500" y="66" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">ここに点がない</text><text x="646" y="90" font-size="13" fill="#1f1f1f">Q</text><line x1="80" y1="186" x2="620" y2="186" stroke="#1f1f1f" stroke-width="1"/><circle cx="160" cy="186" r="4" fill="#8a8a8a"/><circle cx="300" cy="186" r="4" fill="#8a8a8a"/><circle cx="390" cy="186" r="4" fill="#8a8a8a"/><circle cx="440" cy="186" r="4" fill="#8a8a8a"/><circle cx="468" cy="186" r="4" fill="#8a8a8a"/><circle cx="484" cy="186" r="3.5" fill="#8a8a8a"/><circle cx="500" cy="186" r="6" fill="#1b81e0"/><text x="500" y="166" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">極限が存在する</text><text x="646" y="190" font-size="13" fill="#1f1f1f">R</text><text x="160" y="112" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">1</text><text x="300" y="112" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">1.4</text><text x="390" y="112" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">1.41</text><text x="460" y="112" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">1.414 ...</text><text x="350" y="230" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">同じ列が、Q では行き先を失い、R では行き先を持つ</text></svg>

図の上下は同じ列である。違うのは、指された場所に点が置いてあるかどうかだけだ。

$\mathbb{Q}$ が完備でないことは、実数を構成する動機そのものになっている。穴を埋めた結果が $\mathbb{R}$ である。

例: 開区間

開区間 $(0,1)$ も完備でない。$x_n=1/n$ は Cauchy 列だが、極限 $0$ は $(0,1)$ に属さない。

端点を落としたことで、そこに向かう列の行き先が消えた。穴が境界に開いている形である。

閉区間 $[0,1]$ なら完備になる。同じ距離でも、どこまでを空間に含めるかで結論が変わる。

例: 正の実数全体

${\mathbb{R}}_{>0}$ も同じ理由で完備でない。$x_n=1/n$ が $0$ に向かうが、$0$ は空間の外にある。

一方 ${\mathbb{R}}_{\ge 0}$ は完備である。$\mathbb{R}$ の閉部分集合になっているからで、この理由はあとで一般の形にまとめる。

上に有界でないことは完備性と無関係だ。${\mathbb{R}}_{\ge 0}$ は非有界だが完備で、$(0,1)$ は有界だが完備でない。

例: 実数体とユークリッド空間

$\mathbb{R}$ は完備である。実数の連続性、すなわち上限公理や Dedekind の切断から導かれる基本的な事実になる。

${\mathbb{R}}^n$ も完備だ。Cauchy 列であることは各座標が Cauchy 列であることと同値なので、$\mathbb{R}$ の完備性から成分ごとに結論できる。

複素数体 $\mathbb{C}$ は ${\mathbb{R}}^2$ と同じものなので完備である。有限次元のノルム空間はすべて完備になる。

例: 離散距離空間と整数

集合 $X$ に $x\ne y$ のとき $d(x,y)=1$ と定めた離散距離空間は、$X$ が何であれ完備である。

$\epsilon =1/2$ を取ると、ある $N$ 以降のすべての項が互いに距離 $1/2$ 未満になる。距離の値は $0$ か $1$ しかないので、$N$ 以降は同じ点の繰り返しになる。

定数列は当然その点に収束する。よって Cauchy 列はすべて収束する。

通常の距離を入れた整数全体 $\mathbb{Z}$ も同じ理屈で完備だ。相異なる整数の距離が $1$ 以上なので、Cauchy 列はいずれ止まる。

完備な部分集合は閉集合である

部分空間の完備性は、閉集合であることと結びつく。

$X$ が完備な場合、この 2 つを合わせて「$A$ が完備 $⟺$ $A$ が閉」となる。判定がぐっと楽になる。

$(0,1)$ が完備でないのは、$\mathbb{R}$ の中で閉でないからだと言い換えられる。$[0,1]$ が完備なのは閉だからである。

例: 閉区間と閉部分集合

前節から、${\mathbb{R}}^n$ の閉部分集合はすべて完備である。閉区間、閉球、超平面、Cantor 集合、どれも完備になる。

Cantor 集合は測度が $0$ で、いたるところ疎な集合である。それでも $[0,1]$ の閉部分集合なので完備だ。完備性と大きさは関係がない。

逆に、稠密な部分集合は閉でないかぎり完備にならない。$\mathbb{Q}$ が $\mathbb{R}$ で稠密なのに完備でないのは、この一例である。

例: 連続関数の空間

$[a,b]$ 上の連続関数全体 $C[a,b]$ に、一様ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\sup }_x|f(x)|$ から定まる距離を入れる。この空間は完備である。

Cauchy 列 $(f_n)$ を取ると、各点 $x$ で $(f_n(x))$ は $\mathbb{R}$ の Cauchy 列になり、極限 $f(x)$ が定まる。収束は一様なので、$f$ は連続になる。

一様収束が連続性を保つ、という定理がそのまま完備性の証明になっている。

例: 同じ空間に別のノルムを入れる

同じ $C[0,1]$ に $L^1$ ノルム $\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f(x)|dx$ を入れると、完備でなくなる。

$n\ge 2$ に対し、$0\le x\le 1/2-1/n$ で $0$、$1/2-1/n<x<1/2$ で $n(x-1/2+1/n)$、$1/2\le x\le 1$ で $1$ となる連続関数 $f_n$ を取る。

計算すると $\Vert f_n-f_m{\Vert }_1=|m-n|/(2mn)$ となり、$n,m\to \infty$ で $0$ に向かう。よって $(f_n)$ は Cauchy 列である。

ところが $L^1$ の意味での極限は、$x<1/2$ で $0$、$x\ge 1/2$ で $1$ という階段関数になる。連続でないので $C[0,1]$ の外に出てしまう。

ノルムを変えると完備性が変わる

前の 2 節は、台となる集合がまったく同じ $C[0,1]$ である。違うのはノルムだけだ。

無限次元では、ノルムの取り替えが空間の性質を大きく変える。有限次元ならすべてのノルムが同値で完備性も一致するが、無限次元ではこの保証がない。

$C[0,1]$ を $L^1$ ノルムで完備化すると $L^1[0,1]$ が得られる。空いていた場所に、連続でない可積分関数が入ってくる。

例: 有限台の数列

有限個の成分だけが $0$ でない数列全体を $c_{00}$ と書く。これに ${\ell }^p$ ノルムを入れると完備にならない。

$x=(2^{-k}{)}_{k\ge 1}$ は ${\ell }^p$ に属する。第 $n$ 項までで打ち切った $x^{(n)}$ は $c_{00}$ に属し、$\Vert x-x^{(n)}{\Vert }_p\to 0$ となる。

打ち切り列は Cauchy 列だが、極限 $x$ は無限個の成分が $0$ でないので $c_{00}$ に入らない。$c_{00}$ は ${\ell }^p$ の中で閉でないのである。

例: 多項式全体

$[0,1]$ 上の多項式関数全体に一様ノルムを入れた空間も完備でない。

Weierstrass の近似定理により、多項式全体は $C[0,1]$ で稠密である。一方で多項式でない連続関数はいくらでもあるので、多項式全体は $C[0,1]$ の真の稠密部分集合になる。

稠密で真の部分集合なら閉でない。閉でなければ完備でない。たとえば $e^x$ に一様収束する多項式列は Cauchy 列だが、極限は多項式でない。

この空間の完備化が $C[0,1]$ そのものになる。

例: 数列空間と関数空間

代表的な完備空間を挙げておく。

$L^2$ は完備な内積空間なので Hilbert 空間である。Fourier 級数の理論はこの完備性の上に成り立っている。

$L^p$ の完備性を示すには、可測関数の極限を扱う道具が要る。$C[a,b]$ の場合より格段に手数がかかる。

同相でも完備性は違う

ここから完備性が位相の性質でないことを確かめる。$(0,1)$ と $\mathbb{R}$ は同相である。

写像 $\phi (x)=\tan \left(\pi \left(x-\frac{1}{2}\right)\right)$ が $(0,1)$ から $\mathbb{R}$ への同相写像を与える。連続な全単射で、逆写像も連続だ。

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$x_n=1-1/n$ は $(0,1)$ で Cauchy 列だが収束しない。ところが像 $\phi (x_n)$ は $+\infty$ へ発散し、$\mathbb{R}$ では Cauchy 列ですらない。

同相写像は Cauchy 列を Cauchy 列に写すとは限らない。完備性が同相で保たれない理由はここにある。

実数直線に別の距離を入れる

同じことを $\mathbb{R}$ の上だけで起こしてみる。$d^{\prime }(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ と定める。

$\arctan$ は $\mathbb{R}$ から $(-\pi /2,\pi /2)$ への同相写像なので、$d^{\prime }$ が定める位相は通常のものと一致する。開集合の族はまったく同じである。

ところが $(\mathbb{R},d^{\prime })$ は完備でない。$x_n=n$ を取ると $\arctan n\to \pi /2$ なので $(x_n)$ は $d^{\prime }$ について Cauchy 列だが、$\mathbb{R}$ のどの点にも収束しない。

台となる集合も位相も変えず、距離だけを取り替えて完備性を壊した。完備性が距離の性質だという主張の、もっとも直接的な確認になる。

完備距離化可能という性質

逆向きの操作もできる。$(0,1)$ に、通常の位相を与える完備な距離を入れられる。

前々節の同相写像 $\phi$ を使い、$\rho (x,y)=|\phi (x)-\phi (y)|$ と定めればよい。$\mathbb{R}$ の完備性がそのまま移り、$(0,1)$ は $\rho$ について完備になる。

つまり「完備である」は距離ごとの性質だが、「完備な距離を入れられる」は位相の性質になる。後者を完備距離化可能という。

Alexandroff の定理によれば、完備距離空間の部分集合が完備距離化可能であることと $G_{\delta }$ 集合であることは同値である。$(0,1)$ は開集合なので $G_{\delta }$ であり、条件を満たす。

縮小写像の原理

完備性がもっともよく使われるのは、不動点の存在を示す場面である。

完備性を落とすと結論は崩れる。$X=(0,1]$ と $Tx=x/2$ を取ると、$T$ は縮小写像だが不動点 $0$ は $X$ の外にある。

存在を保証しているのは完備性であり、一意性を保証しているのは縮小の条件である。役割が分かれている点を押さえておくとよい。

例: cos の反復

具体例で見る。$Tx=\cos x$ を $X=[0,1]$ の上で考える。

$\cos$ は $[0,1]$ で減少するので、像は $[\cos 1,1]\approx [0.540,1]$ となり $[0,1]$ に収まる。平均値の定理から $|\cos x-\cos y|\le \left({\max }_{[0,1]}|\sin |\right)|x-y|=(\sin 1)|x-y|$ である。

$\sin 1\approx 0.8415<1$ なので縮小写像であり、$[0,1]$ は完備だから不動点がただ 1 つ存在する。

<svg viewBox="0 0 700 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="100" y1="250" x2="570" y2="250" stroke="#1f1f1f" stroke-width="1"/><line x1="120" y1="30" x2="120" y2="272" stroke="#1f1f1f" stroke-width="1"/><line x1="120" y1="250" x2="520" y2="50" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1"/><path d="M 120 50 L 160 51 L 200 54 L 240 58.9 L 280 65.8 L 320 74.5 L 360 84.9 L 400 97 L 440 110.7 L 480 125.7 L 520 141.9" fill="none" stroke="#1f1f1f" stroke-width="1.5"/><path d="M 180 250 L 180 52.2 L 515.5 52.2 L 515.5 140.1 L 339.9 140.1 L 339.9 79.5 L 461.1 79.5 L 461.1 118.4 L 383.2 118.4 L 383.2 91.8 L 436.5 91.8 L 436.5 109.4 L 401.2 109.4 L 401.2 97.4 L 425.2 97.4" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.2"/><circle cx="415.6" cy="102.2" r="4.5" fill="#1b81e0"/><text x="540" y="46" font-size="12" fill="#8a8a8a">y = x</text><text x="536" y="146" font-size="12" fill="#1f1f1f">y = cos x</text><text x="428" y="122" font-size="12" fill="#1b81e0">不動点 x* ≒ 0.739</text><text x="180" y="270" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">x_0</text><text x="112" y="270" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="end">0</text><text x="340" y="290" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">反復するほど y = x に巻きつき、1 点に収束する</text></svg>

図のクモの巣は $x_0=0.15$ から始めた反復である。$y=\cos x$ と $y=x$ のあいだを往復しながら、交点へ巻きついていく。

電卓で $\cos$ を押し続けると $0.739085\dots$ に落ち着く、という現象がこれである。縮小写像の原理が、そのまま計算手続きになっている。

応用: 微分方程式の解の存在

初期値問題 $y^{\prime }=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$ を積分形に直すと次のようになる。

$$y(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt$$

右辺を $y$ に対応させる作用素 $T$ を考えると、解を求めることは $T$ の不動点を求めることに等しい。

$f$ が $y$ についてリプシッツ連続なら、$x_0$ の十分近くで $T$ は縮小写像になる。連続関数の空間が一様ノルムで完備なので、縮小写像の原理から不動点がただ 1 つ存在する。

これが Picard–Lindelöf の定理である。解の存在と一意性が、完備性と縮小性の 2 つだけから出ている。

応用: Baire のカテゴリー定理

完備距離空間では、稠密開集合の可算個の共通部分がふたたび稠密になる。これを Baire のカテゴリー定理という。

言い換えると、完備距離空間はいたるところ疎な集合の可算和では覆えない。空間が「薄い部分の寄せ集め」にはならない、という主張である。

関数解析の基本定理である一様有界性原理、開写像定理、閉グラフ定理は、いずれもこの定理を経由して証明される。完備性を仮定する理由がここにある。

$\mathbb{Q}$ では成り立たない。$\mathbb{Q}$ は 1 点集合の可算和であり、各点はいたるところ疎だからである。完備でない空間では結論が崩れる。

全有界性とコンパクト性

完備性はコンパクト性の半分にあたる。距離空間について次が成り立つ。

全有界とは、任意の $\epsilon >0$ に対して有限個の半径 $\epsilon$ の球で覆えることをいう。有界より強い条件である。

$\mathbb{R}$ は完備だが全有界でないのでコンパクトでない。$(0,1)$ は全有界だが完備でないのでコンパクトでない。両方そろって初めてコンパクトになる。

${\mathbb{R}}^n$ で「有界閉集合ならコンパクト」が成り立つのは、そこで有界と全有界が一致するからである。無限次元ではこの一致が崩れる。

完備化とは何か

任意の距離空間 $X$ に対して、完備な距離空間 $\hat{X}$ と等長な埋め込み $\iota :X\to \hat{X}$ が存在し、$\iota (X)$ が $\hat{X}$ で稠密になるようにできる。この $\hat{X}$ を $X$ の完備化という。

穴の空いている場所に点を足す操作である。足しすぎないという条件が、像が稠密であるという要求にあたる。

$\mathbb{Q}$ の完備化が $\mathbb{R}$ であり、$L^1$ ノルムを入れた $C[0,1]$ の完備化が $L^1[0,1]$、一様ノルムを入れた多項式全体の完備化が $C[0,1]$ である。

完備化の構成

構成は Cauchy 列そのものを点とみなすやり方が標準的である。

$X$ の Cauchy 列全体に、$d(x_n,y_n)\to 0$ のとき $(x_n)\sim (y_n)$ という同値関係を入れる。同じ場所を指している列を同一視する、という意味になる。

同値類の集合に $\hat{d}([x],[y])={\lim }_{n}d(x_n,y_n)$ で距離を定める。この極限は $\mathbb{R}$ の完備性から存在し、代表元の取り方によらない。

$X$ の点 $x$ を定数列の類に対応させると等長な埋め込みが得られ、像は稠密になる。Cantor による実数の構成は、$X=\mathbb{Q}$ としたこの手続きそのものである。

完備化の一意性

完備化は等長同型を除いて一意に定まる。「同型」ではなく「等長同型」である点が大事だ。

${\hat{X}}_1$ と ${\hat{X}}_2$ がともに $X$ の完備化なら、$X$ 上で恒等写像となる等長全単射 ${\hat{X}}_1\to {\hat{X}}_2$ がただ 1 つ存在する。稠密な部分での一致が全体へ延びるからである。

距離を保つ写像に限っている理由は、完備性が距離の性質だという事実に戻る。位相同型まで緩めると、一意性は言えなくなる。

例: 有理数の別の完備化

$\mathbb{Q}$ の完備化は $\mathbb{R}$ だけではない。距離を変えれば別の完備化が得られる。

素数 $p$ を固定し、$0$ でない有理数 $x$ を $x=p^{\nu }\cdot m/n$（$m,n$ は $p$ で割れない）と書いて $|x{|}_p=p^{-\nu }$ と定める。$p$ で多く割れるほど小さい、という測り方である。

この p 進絶対値から定まる距離で $\mathbb{Q}$ を完備化したものが p 進数体 ${\mathbb{Q}}_p$ になる。

同じ集合 $\mathbb{Q}$ から、距離の選び方だけで互いにまったく異なる空間が生まれる。完備性が距離に依存するという主張の、もっとも劇的な現れ方である。

Ostrowski の定理

$\mathbb{Q}$ の完備化がこれで尽きることも分かっている。

Ostrowski の定理によれば、$\mathbb{Q}$ 上の自明でない絶対値は、通常の絶対値か、ある素数 $p$ の p 進絶対値のいずれかと同値である。1916 年に示された。

したがって $\mathbb{Q}$ の完備化は $\mathbb{R}$ と、各素数に対する ${\mathbb{Q}}_p$ で全部になる。有理数から作れる完備な数体系が、この形に分類されるということである。

数論では $\mathbb{R}$ と全部の ${\mathbb{Q}}_p$ を同時に扱う。局所大域原理やアデールの理論は、完備化を並べて眺める立場から生まれている。

参考文献