位相空間の直積と直和｜定義・計算例・双対性

空間の族から新しい空間を作る操作のうち、もっとも基本的なものが直積と直和である。

直積には、すべての射影が連続になる最弱の位相を入れる。直和には、すべての包含写像が連続になる最強の位相を入れる。向きがちょうど逆になっている。

以下では定義と開集合の形を確かめ、収束や連続性がどう見えるかを計算例で追い、最後に普遍性の言葉でまとめ直す。

直積位相の定義

位相空間の族 $\{(X_{\alpha },{\mathcal{O}}_{\alpha }){\}}_{\alpha \in A}$ を取る。集合としての直積 ${\prod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ に入れる標準的な位相が直積位相である。

定義は射影を使う。${\pi }_{\alpha }:{\prod }_{\beta }{X}_{\beta }\to X_{\alpha }$ を第 $\alpha$ 成分への射影とし、これらがすべて連続になる最弱の位相を直積位相とする。

最弱にするには、連続性が要求する集合だけを開集合に入れればよい。つまり次の形の集合を準開基に取る。

$${\pi }_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })(\alpha \in A,U_{\alpha }\in {\mathcal{O}}_{\alpha })$$

準開基から開基を作るには、有限個の交わりを取る。

$${\pi }_{{\alpha }_1}^{-1}(U_{{\alpha }_1})\cap \cdots \cap {\pi }_{{\alpha }_n}^{-1}(U_{{\alpha }_n})$$

開基の形が意味すること

上の集合は、有限個の成分 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ にだけ条件を課し、残りの成分は自由にしている。

添字集合が無限のとき、この「有限個だけ」という制限が効いてくる。すべての成分を同時に絞ることはできない。

一見すると弱すぎる定義に見えるが、あとで見るように、この形だからこそ収束や連続性がきれいに扱える。

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	<rect x="70" y="50" width="34" height="110" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="125" y="50" width="34" height="110" fill="none" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
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	<rect x="180" y="94" width="34" height="26" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></rect>
	<text x="55" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">直積位相の基本開集合は、有限個の成分だけを絞る</text>
	<text x="336" y="104" font-size="11" fill="#9a9a9a">…</text>
	<text x="83" y="176" font-size="11" fill="#1b81e0">1</text>
	<text x="138" y="176" font-size="11" fill="#9a9a9a">2</text>
	<text x="193" y="176" font-size="11" fill="#1b81e0">3</text>
	<text x="248" y="176" font-size="11" fill="#9a9a9a">4</text>
	<text x="303" y="176" font-size="11" fill="#9a9a9a">5</text>
	<text x="55" y="194" font-size="11" fill="#9a9a9a">青い成分だけに条件があり、残りは全体のまま</text>
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収束は成分ごとに見ればよい

直積位相の使いやすさは、次の定理に集約される。

定理。${\prod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ の点列 $x^{(n)}$ が $x$ に収束することと、すべての $\alpha$ について ${\pi }_{\alpha }(x^{(n)})$ が ${\pi }_{\alpha }(x)$ に収束することは同値である。

証明。射影は連続なので、収束すれば各成分も収束する。

逆を示す。$x$ を含む基本開集合を取ると、有限個の成分 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$ にしか条件がない。各 $i$ について番号 $N_i$ を取り、$n\ge N_i$ で ${\pi }_{{\alpha }_i}(x^{(n)})\in U_{{\alpha }_i}$ となるようにする。

$N=\max (N_1,\dots ,N_k)$ と置けば、$n\ge N$ ですべての条件が同時に満たされる。有限個だから最大値が取れる、というところが要点である。

無限個の成分に条件があると、この最大値が取れない。開基を有限交叉に限る理由がここにある。

計算例：ユークリッド空間

$\mathbb{R}$ を 2 つ取り、直積位相を入れる。基本開集合は $U\times V$ の形で、$U$ と $V$ は $\mathbb{R}$ の開集合である。

開区間の積、つまり開長方形が開基になる。これは ${\mathbb{R}}^2$ の通常の位相と一致する。

同じことが ${\mathbb{R}}^n$ でも成り立つ。有限個の直積では、直積位相はふつうの位相にほかならない。

計算例：トーラスとカントール集合

$S^1\times S^1$ に直積位相を入れると、トーラスが得られる。円を 2 つ掛け合わせた形である。

$\{0,1\}$ に離散位相を入れ、可算無限個の直積 $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ を作ると、カントール集合と同相になる。

$[0,1{]}^{\mathbb{N}}$ はヒルベルト立方体と呼ばれる。どちらも無限直積だが、チコノフの定理からコンパクトである。

可算個の直積までなら距離化できる。${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ には次の距離が入り、これが直積位相を与える。

$$d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{-n}\min (|x_n-y_n|,1)$$

箱型位相との違い

すべての成分を同時に絞る位相も考えられる。次の形の集合を開基に取る位相を箱型位相という。

$$\prod _{\alpha \in A}{U}_{\alpha }(U_{\alpha }\in {\mathcal{O}}_{\alpha })$$

有限直積では両者は一致する。無限直積では箱型位相のほうが真に強く、開集合が増える。

強い位相は良さそうに見えるが、実際には扱いにくい。チコノフの定理が成り立たず、連続性の判定も成分ごとにはできなくなる。

計算例：箱型位相では対角写像が連続でない

$f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ を $f(x)=(x,x,x,\dots )$ で定める。直積位相ならこれは連続である。

箱型位相で考える。原点のまわりの開集合として、次のものを取る。

$$V=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$$

$f^{-1}(V)$ を求める。$x$ がここに入るには、すべての $n$ で $|x|<\frac{1}{n}$ が要る。これを満たすのは $x=0$ だけである。

$$f^{-1}(V)=\{0\}$$

1 点集合は $\mathbb{R}$ で開ではない。したがって $f$ は箱型位相について連続でない。

成分ごとの写像がすべて連続でも、全体としては連続にならない。直積位相ならこういうことは起きない。

射影は開写像だが閉写像とは限らない

直積位相について、射影 ${\pi }_{\alpha }$ は開写像である。基本開集合の像が開集合になるからである。

一方、閉写像とは限らない。${\mathbb{R}}^2$ で次の集合を取る。

$$C=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:xy=1\}$$

$C$ は連続関数 $xy$ の $1$ における逆像なので閉集合である。ところが第 1 成分への射影の像は $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ で、これは閉集合ではない。

$${\pi }_1(C)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$$

双曲線が無限遠へ逃げていくために、$0$ が像から抜け落ちる。射影が閉写像になるための条件は、もう一方の因子のコンパクト性である。

直和位相の定義

今度は向きを逆にする。族 $\{(X_{\alpha },{\mathcal{O}}_{\alpha })\}$ の非交和 ${\coprod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ を考える。

包含写像 ${\iota }_{\alpha }:X_{\alpha }\to {\coprod }_{\beta }{X}_{\beta }$ がすべて連続になる最強の位相を、直和位相という。

最強にするには、連続性を壊さない範囲で開集合を最大限入れる。結果として次の特徴づけが得られる。

$U\subset {\coprod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ が開であることと、すべての $\alpha$ について $U\cap X_{\alpha }$ が $X_{\alpha }$ で開であることは同値である。

各 $X_{\alpha }$ をばらばらに並べ、位相をそのまま持ち込んだ形になる。

計算例：直和は連結にならない

族が 2 つ以上の空でない空間からなるとき、直和は連結でない。

各 $X_{\alpha }$ は直和の中で開集合である。$X_{\alpha }\cap X_{\alpha }=X_{\alpha }$ が開だからである。

同時に $X_{\alpha }$ は閉集合でもある。補集合が他の $X_{\beta }$ の和で、それも開だからである。

開かつ閉で、空でも全体でもない集合があるので、連結ではない。直和は最初から分かれた空間を作る操作である。

普遍性による特徴づけ

2 つの構成は、圏論の言葉では積と余積にあたる。定義の仕方を知らなくても、次の性質だけで決まる。

直積の普遍性。任意の空間 $Y$ と連続写像の族 $f_{\alpha }:Y\to X_{\alpha }$ に対して、${\pi }_{\alpha }\circ f=f_{\alpha }$ を満たす連続写像 $f:Y\to {\prod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ がただ 1 つ存在する。

直和の普遍性。任意の空間 $Y$ と連続写像の族 $g_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y$ に対して、$g\circ {\iota }_{\alpha }=g_{\alpha }$ を満たす連続写像 $g:{\coprod }_{\alpha }{X}_{\alpha }\to Y$ がただ 1 つ存在する。

矢印の向きがすべて逆になっている。この関係を双対という。

普遍性はなぜ最弱と最強に対応するのか

直積の普遍性が成り立つには、位相が弱くなければならない。開集合が多いほど連続写像の条件が厳しくなり、$f$ が連続にならなくなるからである。

一方で射影自身が連続である必要はあるので、弱くしすぎることもできない。この 2 つの要求の境目が、射影を連続にする最弱の位相である。

直和では逆になる。$g$ が連続であるためには開集合が少ないほうが都合よく、包含写像が連続であるためには多いほうがよい。境目が最強の位相になる。

普遍性から出発すれば、どちらの位相も同型を除いて一意に決まる。定義の細部を覚えていなくても、性質から復元できる。

よくある誤り

参考文献