点列だけでは連続性を言い切れない - 第一可算性が効くところ

距離空間なら「 $x_{n} \to x$ のとき $f (x_{n}) \to f (x)$ 」が連続性の言いかえになります。一般の位相空間では、この向きの片方が壊れる^[1]。

連続なら点列は必ずついてきます。逆に、点列がついてくるだけでは連続とは言えません。差を埋めるのが第一可算性です^[3]。

連続写像の定義

$f : X \to Y$ が連続であるとは、 $Y$ のどの開集合 $V$ に対しても $f^{- 1} (V)$ が $X$ で開集合になることをいいます^[1]。

各点での言い方もあります。 $f$ が $x$ で連続とは、 $f (x)$ のどの近傍 $V$ にも、 $f (U) \subseteq V$ となる $x$ の近傍 $U$ があること^[1]。

2 つは同値です。さらに次まで同値になります^[1]。

f

が連続である。

どの

M \subseteq X

についても

f (\overline{M}) \subseteq \overline{f (M)}

が成り立つ。

Y

の閉集合の逆像が

X

で閉集合になる。

f

がどの点でも連続である。

2 番目は「近づいていく点は近づいた先へ移る」という主張です^[2]。閉包で書いた連続性だと読めます。

点列連続

$f$ が $x$ で点列連続であるとは、 $x_{n} \to x$ となるどの点列についても $f (x_{n}) \to f (x)$ となることをいいます。

収束は近傍の言葉で決まります。 $x_{n} \to x$ とは、 $x$ のどの近傍にも、ある番号から先の項がすべて入ること。

連続なら点列連続です。 $f (x)$ の近傍 $V$ をとると、 $f (U) \subseteq V$ となる $x$ の近傍 $U$ がある。 $x_{n}$ はいずれ $U$ に入るので、 $f (x_{n})$ も $V$ に入ります。

逆向きは一般に崩れる

点列連続でも連続とは限りません。非可算集合に余可算位相を入れると反例が作れます^[1]。

余可算位相では、開集合は $\emptyset$ と補集合が高々可算な集合だけ。この空間で $x_{n} \to x$ となるのは、ある番号から先が $x_{n} = x$ となるときに限られます。

理由は簡単です。 $U = X ∖ {x_{n} : x_{n} \neq = x}$ が $x$ の開近傍になり、この中に入るには $x_{n} = x$ でなければならない。

収束列が定数列だけなので、この空間からのどんな写像も点列連続になります。連続でない写像でもそうなる。

$X = R$ に余可算位相を入れ、恒等写像で通常の位相の $R$ へ送ります。点列連続ですが連続ではありません。 $(0, 1)$ の逆像は $(0, 1)$ で、補集合が非可算なので余可算位相の開集合になりません。

連続

いつでも点列連続を導く。開集合の逆像で定まる

点列連続

連続を導くとは限らない。可算個の点しか見ていない

第一可算なら一致する

$X$ が第一可算、つまり各点が可算な近傍基を持つとします^[3]。このとき点列連続と連続が同値になります。

証明は対角線的に点列を作ります。 $x$ の可算近傍基 $U_{1}, U_{2}, \dots$ をとり、 $V_{n} = U_{1} \cap \dots \cap U_{n}$ と縮めておく。

$f$ が $x$ で連続でないとすると、 $f (x)$ の近傍 $V$ で、どの $V_{n}$ についても $f (V_{n}) \neq \subseteq V$ となるものがあります。そこで $x_{n} \in V_{n}$ を $f (x_{n}) \in / V$ となるように選ぶ。

この $x_{n}$ は $x$ に収束しますが、 $f (x_{n})$ は $f (x)$ に収束しません。点列連続に反します^[1]。

段が可算個しかないおかげで、拾った点が点列に並びます。近傍基が非可算だと並べられません。

距離空間は第一可算です。 $B (x, \frac{1}{n})$ が可算近傍基を与えます^[3]。だから解析で使う $ε$ - $δ$ と点列の議論を行き来できる。

点列では閉集合も判定できない

同じ理由で、閉集合の判定も点列では足りません。「収束する点列の極限を全部含む」ことが閉集合であることの言いかえになるのは、第一可算のときだけです^[1]。

ハウスドルフ空間に限っても足りない。可算性が入っていないと、点列は空間の細部を汲みつくせません^[1]。

余可算位相の $R$ では、収束列が定数列だけなので、どの部分集合も「極限を全部含む」ことになります。それでも閉集合は可算集合と全体だけです。

点列は添字が $N$ に固定された道具です。

近傍基が可算でない空間では、その細かさに追いつけない。

ネットとフィルターで直る

添字を有向集合に広げたものがネットです。ネットで書き直すと、どんな位相空間でも同値性が戻ります。

$f$ が $x$ で連続であることと、 $x$ に収束するどのネット $(x_{α})$ についても $f (x_{α}) \to f (x)$ となることが同値になる。

フィルターを使う書き方も同じ強さです。ブルバキ流の教科書では、こちらが標準の道具になっています。

点列では届かない

添字を有向集合へ広げる

どの位相空間でも同値性が戻る

例：閉包で書いた連続性

条件 2 の $f (\overline{M}) \subseteq \overline{f (M)}$ は、点列を使わない形の「近づく点は近づいた先へ」です^[1]。

$f (x) = x^{2}$ と $M = (0, 1)$ で確かめます。 $\overline{M} = [0, 1]$ なので左辺は $[0, 1]$ 。 $f (M) = (0, 1)$ の閉包も $[0, 1]$ で、包含が成り立ちます。

不連続な例だと崩れます。 $f (x)$ を $x < 0$ で $0$ 、 $x \geq 0$ で $1$ と定め、 $M = (- 1, 0)$ をとる。 $f (\overline{M}) = f ([- 1, 0]) = {0, 1}$ ですが、 $\overline{f (M)} = {0}$ 。包含が破れています。

非可算集合 $X$ に余可算位相を入れ、恒等写像で通常の位相の $R$ へ送ります。この写像について正しいのはどれですか。

点列連続だが連続ではない
連続だが点列連続ではない
どちらでもない

__RESULT__

余可算位相では収束列が途中から定数になるものだけなので、どんな写像も点列連続です。いっぽう $(0, 1)$ の逆像は補集合が非可算なので、余可算位相の開集合になりません。連続が点列連続を導く向きはいつでも成り立つので、2 番目は起こりません。

点列は使いやすいぶん、見える範囲が可算個に限られます。その限界がどこで効くかを押さえておくと、第一可算という条件が出てくる理由が見えてきます。

参考

Daniel Plaumann. *Topologie*. Skript zur Vorlesung, Universität Konstanz, Wintersemester 2014/15, §1.7–1.8.

Ivan Khatchatourian. *Continuity and homeomorphisms*. MAT327 Introduction to Topology, University of Toronto, 2018.

Base. Encyclopedia of Mathematics.

連続なら点列はいつでもついてきます。逆は成り立ちません。非可算集合に余可算位相を入れると収束列が途中から定数になるものだけになり、どんな写像も点列連続になってしまう。恒等写像で通常の位相へ送れば、点列連続だが連続でない例ができます。第一可算なら可算な近傍基を縮めながら 1 点ずつ拾えるので同値性が戻る。距離空間で $\varepsilon$-$\delta$ と点列を行き来できるのはこのためです。閉集合の判定も点列では足りず、ネットやフィルターまで広げて初めて直ります。