万有引力は と書けるが、重力ポテンシャル を使って場の式にもできる。
左辺の は のくぼみ方を表し、右辺はそこにある物質の密度 。物質のあるところで、ポテンシャルがくぼみます。
図の上が密度、下がポテンシャルで、密度の山のところでポテンシャルの谷がいちばん深い。アインシュタイン方程式も同じ形で、くぼむのがポテンシャルではなく時空そのものになります。
左辺の はアインシュタインテンソルと呼ばれ、時空の曲がり方からつくる量。右辺の はエネルギー運動量テンソルで、エネルギーと運動量がどう分布し、どう流れているかを表します。
重力のもとになるのは質量だけではなく、エネルギー、運動量、圧力も入る。光のエネルギーも時空を曲げます。
図は右辺の物質を増やしたり減らしたりしたもので、物質が多いほど左辺の格子の曲がりが深くなる。
添字 と は、時間の と空間の 、、 をとる。 も も、 個の成分を持ちます。
、 と対称なため、独立な成分は対角線の 個とその片側の 個で、合わせて 個。式も 本になる。
左辺には、時空の距離の測り方を決める計量 の 階微分が入り、 本の式は互いに結びついている。一般に解くのが難しいのは、このためです。
とおくと 。これは、時空が曲がっていないという意味ではありません。
星の外側は物質のない空間でも、時空の曲がりは残っている。 年にシュワルツシルトが求めた解がこれで、水星の軌道のずれも、太陽のそばを通る光の曲がりも、この解から計算できる。
重力波も、物質のない空間を時空の曲がりが伝わっていく解です。
係数を として と書く。重力が弱く、物がゆっくり動くとき、時間の成分は 、 になります。
これを入れると 。ニュートンの式 と一致するには、 でなければならない。
SI 単位で はおよそ 。太陽ほどの質量があっても、そばを通る光の道が 秒角しか曲がらないのは、この係数の小ささによります。