横軸に位置 、縦軸に をとった図を時空図という。物の位置を時刻ごとに打っていくと、点が縦につながって線になります。
この線を世界線と呼ぶ。止まっている物の世界線は、位置が変わらないため、まっすぐ上へ伸びます。
図の横線は「いま」の時刻で、下から上へ上がっていく。横線と世界線の交わる点を下の帯に写すと、ふだん目にしている物の動きになる。
右へ速さ で動く物は、時間 のあいだに 進む。縦軸の が 増えるごとに は 増えるので、世界線は縦の線から の割合で右へ傾きます。
光は で進み、世界線はちょうど 度の線になる。縦軸を でなく にしたのは、光をこの向きにそろえるため。
は を越えないため、物の世界線は 度の線より横へ倒れません。図の世界線は 、、、、 の順に傾き、 度の線には近づいても重なりはしない。
速さ で動く立場の座標軸も、同じ時空図に描ける。時間の軸 は、その立場で止まっている物の世界線で、縦軸から の割合で右へ傾きます。
位置の軸 は、その立場で同時な出来事が並ぶ同時刻線。同時の相対性から、横軸に対して傾き の線になる。
本の軸は直角のまま回るのではなく、どちらも 度の線に同じだけ近づく。 が に近いほど、 本は 度の線の両側から寄っていきます。
傾いた軸の目盛りは、紙の上の長さでは決まりません。光が 秒で進む距離を 光秒とすると、動く時計が 秒刻んだ出来事は、地面の立場では時刻 秒、位置 光秒のところにある。
この点では で、止まっている時計が 秒刻んだ点 と同じ値になります。
どの速さの立場でも、 秒の目盛りは の双曲線の上に並ぶ。紙の上では、傾いた軸の 目盛りのほうが長く見えます。
ふつうの回転なら、目盛りは の円の上に並ぶ。時空図で円のかわりに双曲線が現れるのは、 と を足すのではなく引いているためです。
図の出来事を地面の立場で読むには、そこから 本の軸へ平行に線を引く。軸が直角なので、まっすぐ下とまっすぐ左へ引くことになり、図の目盛りで と読めます。
動く立場で読むときも、傾いた 本の軸へそれぞれ平行に線を引く。 の軸の目盛りで読むと、 になる。
この読み替えを式にすると 、 で、ローレンツ変換と呼びます。 を入れると、。
どちらの組でも は、、 で等しい。読む軸を変えても、この値は変わりません。