双子の一方が地球に残り、もう一方が で 光年先の星へ行って帰ってくる。このとき です。
地球の立場では、往復に 年かかる。旅をしたほうの時計は行きも帰りも の割合で進み、帰ってきたときには 年しか進んでいません。
図の時計は、出発、折り返し、帰着で止まって読みを出す。地球の時計は 、、 年、旅の時計は 、、 年です。
時間の遅れは互いに成り立つ。旅をしたほうの立場では動いているのは地球で、地球の時計のほうが の割合で遅れて進むはずです。
この理屈どおりなら、再会したとき 2 人とも「相手のほうが若い」と言うことになる。
再会は同じ場所で起きる 1 つの出来事で、2 つの時計を並べれば、読みは 年と 年に決まります。旅をしたほうの理屈に、どこか見落としがある。
時間の遅れを互いに言えるのは、どちらも等速で動き続けている立場にいるときだけ。地球に残ったほうは、はじめから終わりまで同じ つの立場にいます。
旅をしたほうは、星で向きを変える。そのあいだ乗っている人は地球と反対向きに押しつけられ、加速度計があれば、向きを変えたことを測れます。
旅をしたほうは、行きの立場と帰りの立場という つの等速の立場を乗りかえている。 人の立場は対等ではなく、旅をしたほうの理屈を行きから帰りまで通して使うことはできません。
時空図に、地球に残ったほうのまっすぐな世界線と、旅をしたほうの折れ線の世界線を描く。旅をしたほうの同時刻線は、行きは傾き の右上がり、帰りは傾き の右下がりです。
折り返しの直前、行きの同時刻線は地球の世界線と 年の点で交わる。旅の時計が 年進むあいだに地球の時計は 年しか進まず、 の割合で遅れて見えるという言い分と合っています。
折り返しの直後、帰りの同時刻線は地球の世界線と 年の点で交わる。立場を乗りかえた一瞬で、旅をしたほうが「いま」とみなす地球の時刻は 年ぶん先へ飛びます。
帰りも地球の時計は 年しか進まない。行きの 年、飛んだ 年、帰りの 年を足すと 年で、地球の時計の読みと一致します。
等速で動く時計が つの出来事のあいだに刻む時間 は、 で決まる。横へ動いた距離 が大きいほど、引かれる項が大きくなります。
旅の行きは 光年、 光年で、 光年、時間にして 年。帰りも 年で、合わせて 年になる。地球に残ったほうは で、 年のままです。
ふつうの平面では、 点を結ぶ線のうちまっすぐな線がいちばん短い。時空図では逆に、 つの出来事を結ぶ世界線のうち、まっすぐな世界線の固有時間がいちばん長くなります。