2 枚の鏡を上下に向かい合わせ、そのあいだで光を往復させる時計を考えます。光が 1 往復するごとに 1 目盛り進む時計で、光時計と呼ぶ。
鏡の間隔を とすると、1 往復の道のりは 。道のりを光の速さ で割って、1 目盛りにかかる時間は です。
ぜんまいや電池で動く時計と違い、光時計の進み方は光の速さだけで決まる。光速度不変の原理がそのまま時計の進み方にあてはまります。
こんどは光時計ごと、横へ速さ で動かす。時計といっしょに動く人から見ると、光はさっきと同じようにまっすぐ上下します。
止まって見ている人から見ると、光が下の鏡から上の鏡へ届くまでに時計そのものも右へ進むため、光の道は斜めの線になる。
斜めの道は、まっすぐ上下する道より長い。光の速さはこの人にとっても のままで、長い道のりを進むぶん 1 往復に時間がかかります。
動いている時計の 1 目盛りが、止まって見ている人には長く測られる。これを時間の遅れといいます。
遅れるのは光時計だけではありません。光時計と並べて動かしたふつうの時計だけ進み方が違うとすると、2 つを見比べて自分の動きを知ることができ、相対性原理に反する。そのため、どんな時計も光時計と同じだけ遅れます。
止まって見ている人が測る 1 目盛りの時間を とする。そのあいだに時計は だけ横へ進み、光は斜めの道を だけ進みます。
上の鏡へ向かう半分の道で直角三角形をつくると、縦の辺は 、横の辺は 、斜辺は 。三平方の定理から次の式が成り立ちます。
両辺を 倍し、 を使って を消す。
を左辺へ移して で割り、 とおきます。
平方根をとると 。この を と書き、ローレンツ因子と呼ぶ。動いている時計の 1 目盛りは、止まって見ている人には 倍に伸びて測られます。
は で 。 を に近づけると、分母の が に近づくため、 はいくらでも大きくなる。 では分母が になり、式が意味を持ちません。
図の点は 、、、、 の順に止まる。 で 、 で ほど、 で ほどです。
が小さいときは と近似できる。時速 km の新幹線でも は で、 は ほどしかありません。
秒速 m なら は ほど。 年には、この大きさの時間の遅れが、アルミニウムイオンを使った原子時計で測られています。
ニュートン力学が身のまわりでよく合うのは、 が とほとんど区別できない速さしか扱わないため。
2 人の観測者 A と B が、互いに速さ で動いているとします。A から見ると動いているのは B で、B の時計は の割合でしか進まない。B から見ると動いているのは A なので、こんどは A の時計が遅れます。
図の時計は で動いていて、。上の段では A の時計が 目盛り進むあいだに B の時計は 目盛り進み、下の段ではその逆になる。
相対性原理から、A と B のどちらかを本当に止まっている側と決めることはできません。どちらの言い分も、それぞれの立場で正しい。
食い違いが起きないのは、離れた時計を読み比べるときに「同時」を決める必要があるため。どの瞬間どうしを並べるかが A と B で違い、互いに相手が遅れていると言っても矛盾しません。
時計といっしょに動く人がその時計で読む時間を、固有時間という。光時計の がそれにあたり、どの立場から計算しても同じ値になります。