速さ で走る電車から、前へ速さ でボールを投げる。ガリレイ変換どおりなら、地面から見たボールの速さは です。
この足し算には上限がない。 の電車から で投げれば になり、光より速く動く物ができてしまいます。
光の速さはどの立場でも で、物は を越えられない。この つと合う速さの合わせ方は、ローレンツ変換から導けます。
電車の立場でのボールの速さは 、地面の立場では 。逆向きのローレンツ変換で と を書き直す。
、
割ると は消える。分子と分母を で割り、 を使うと、次の式が残ります。
これを速度の合成則という。分子はガリレイの足し算そのままで、違うのは分母だけです。
分母の は より大きく、 と が大きいほど大きい。 の電車から で投げると、分子は 、分母は で、 になります。
図は電車の速さを に決め、ボールの速さ を から まで ずつ変えたもの。 は 、、、、 と増え、 で止まる。
を計算すると で、 と がどちらも より小さければ正です。合成した速さも、 を越えません。
を入れると、分子は 、分母は 。割ると で、電車の速さ が式から消える。
走る電車から出した光も、地面では で進みます。合成則は、光速度不変の原理と食い違わない。
図の電車の速さは 、、 と変わるが、下の段の答えはいつも のままです。
も も よりずっと小さければ、 はほとんど で、。
時速 km の新幹線から時速 km でボールを投げても、足し算とのずれは割合にして しかありません。
図は同じ速さを つ合わせたもので、 どうしなら足し算も合成則も 。 どうしでは足し算の に対して合成則は 、 どうしでは と になる。
ニュートン力学の速さの足し算は、合成則の を とした形にあたります。