地面の立場は、ある出来事に「どこで、いつ」の組 をつける。速さ で右へ動く立場は、同じ出来事に をつけます。 組をつなぐ式を座標変換と呼ぶ。
時計も物差しも つの立場で共通だとすると、動く立場の原点は時刻 に だけ右にあり、、 になる。これをガリレイ変換といいます。
図の下の物差しが動く立場のもので、同じ出来事でも、上の物差しで読む と下の物差しで読む は だけ違う。
地面の立場で と進む光を、ガリレイ変換で動く立場へ読み替える。
となり、動く立場での光の速さは 。光速度不変の原理と合いません。
図では を大きくするほど、変換したあとの光の道が 度から倒れていく。光の速さを守るには、時計と物差しを共通とした変換のほうを捨てることになります。
新しい変換に置く条件は つ。等速で動く物はどの立場でも等速で動くこと、光の道はどの立場でも光の道であること、 つの立場を入れかえても同じ形になることです。
つめの条件から、変換は 次式になる。動く立場の原点 は地面の立場で にあるため、 の形に書けます。
つめの条件から、逆向きは を にした で、 は同じ値になる。
つめの条件で、 と を 本の式に入れると、、。 本をかけ合わせて で割ります。
したがって 。変換の係数は、ローレンツ因子そのものになる。
位置の式は 。時間の式は、逆向きの式 に を入れて について解くと、次の形になります。
解く途中で を使う。逆向きの 本は、 を にかえた と です。
時間の式に位置 が入っている。地面の立場で同時な つの出来事（ が同じ）でも、 が違えば は違い、同時の相対性はこの項から生じる。
が よりずっと小さいと 、 で、ガリレイ変換に戻ります。
できた変換に を入れると、、。割ると で、光の速さはどの立場でも になる。
時空図では、動く立場の 本の軸が光の道をはさんで同じだけ近づき、光の道は 度のまま。図は を変えながら軸を傾けたもので、どこまで傾けても軸が光の道を越えることはありません。
時間の遅れもこの変換から導ける。動く立場で止まっている時計（）の 目盛り は、逆向きの式から、地面の立場で になります。