2 点間の距離の求め方、平面と空間で同じ形になる理由
2 点の距離は、横のずれと縦のずれを直角三角形の 2 辺と見て、三平方の定理を当てただけのものです。座標が与えられているとき、その 2 辺の長さは引き算で出ます。
空間へ移っても発想は変わりません。三平方を 2 回続けて使うと、 の差が素直に足されます。
三平方の定理を座標に書き直す
と を結び、 から水平に、 から垂直に線を伸ばして交点 を作ります。
の長さは 、 の長さは です。角 は直角なので、三平方の定理がそのまま使えます[2]。
新しい定理は 1 つも使っていません。座標の引き算で辺の長さが出る、という点だけが座標を入れた効き目です。
差の順番は結果に効かない
と は符号が逆になりますが、 乗すれば同じ値です。したがってどちらから引いても距離は変わりません。
絶対値を付けて と書く流儀もあります。 乗するなら結果は同じなので、書き方の好みの問題。
距離が を満たすことは、この 符号の消え方 から出ています。数学ではこの性質を対称性と呼びます。
どちらを始点にしても同じ値になる、という距離の基本的な決まりの 1 つ。
例 1：平面の 2 点間の距離
、 の距離を求めます。
差は が 、 が です。
答えは です。 と と という組は三平方の定理でおなじみの形で、計算が合っている手がかりになります。
例 2：原点からの距離
と原点の距離を求めます。片方が原点なら引き算が消えて、座標をそのまま 乗するだけ。
です。原点からの距離は、そのままベクトルの大きさにもあたります[4]。
空間では三平方を 2 回使う
座標が加わると、直角三角形を 2 段に重ねます。まず底面で水平方向の距離を出し、次にそれと高さで三角形を作る[2]。
青が底面での距離、橙が高さ方向のずれです。この 2 本が直角に交わっているので、黒い対角線に三平方が使えます。
途中に現れた根号が 乗で消えるところが要点です。だから空間の公式は、平面の式に の項を足しただけの形になります。
例 3：空間の 2 点間の距離
、 の距離を求めます。
差は 、、 です。
になりました。、、、 は空間版のきれいな組で、 と から が出て、 と から が出ています。
次元が増えても形は同じ
個の座標を持つ点でも、差の 乗を全部足して根号をかぶせるだけです[4]。
高校で扱うのは と ですが、統計や機械学習では何百次元の点の距離をこの式で測ります。式の形が変わらないことが、そのまま応用の広さになっている。
| 平面 | |
| 空間 | |
| 次元 | |
| 原点から |
距離の 2 乗のまま比べる
長さそのものが要らない場面では、根号を外さずに 乗のまま扱うほうが速い。 乗は正の数の大小を変えないので、比べるだけなら根号は不要です[1]。
計算が楽になるだけでなく、無理数の近似で誤差を持ち込まずに済みます。「どちらが近いか」を問う問題では、まず 乗のまま書き下す。
例 4：どちらが近いかを 2 乗で決める
から見て、 と のどちらが近いかを調べます。
なので のほうが近い。 と を電卓で出す必要はありません。
例 5：二等辺三角形かどうかを調べる
、、 が二等辺三角形かどうかを見ます。
3 辺の 乗を出します。
で なので、 を頂点とする二等辺三角形です。辺の長さを求めずに 乗の一致だけ見れば済みます。
例 6：直角三角形かどうかを調べる
、、 を調べます。
なので三平方の定理の逆が使えて、 が直角になります。 でもあるので、直角二等辺三角形。
乗のまま扱うと、和が一致するかどうかを整数の足し算で確かめられます。根号に直してから比べる必要はありません。
2 点から等距離にある点
を満たす点 は、線分 の垂直二等分線の上に並びます。距離の式に条件を書き下すと、この事実が計算から出てくる。
点線が垂直二等分線です。 がその線をまたぐ瞬間だけ 2 本の長さがそろい、色が変わります。
式で確かめるには と書きます。両辺を展開すると と が打ち消し合い、 次式だけが残る。だから答えが直線になります。
例 7： 軸上で等距離の点
、 から等距離にある 軸上の点を求めます。求める点を とします。
左辺は 、右辺は です。 が消えて となり、。
答えは です。展開したときに 次の項が消えるかどうかが、計算が正しい向きに進んでいる合図になります。
例 8：空間で等距離の点
、 から等距離にある 軸上の点を求めます。点を と置きます。
が消えて となり、 から です。
点は になります。空間でも 乗の項が消える仕組みは同じで、残るのは 次式です。
距離が満たす 3 つの決まり
座標がなくても、距離と呼べるものは次の 3 つを満たします[3]。
3 つ目が三角不等式です。座標の公式はこの 3 つをすべて満たすので、正式に距離と呼べます[2]。
三角不等式
寄り道をすれば長くなる、という当たり前のことを式にしたのが三角不等式です。等号が成り立つのは、 が線分 の上にあるときだけ。
黒い直線が最短で、青と橙をつないだ道はそれより長い。 を黒い線の上まで下ろすと、青と橙の和がちょうど黒に等しくなります。
例 9：三角不等式で最短経路を作る
と があり、 軸上の点 を経由して進みます。 を最小にする を求めます。
を 軸について折り返した点 をとります。 なので、和は に等しい。
三角不等式から、この和は 以上です。等号は が線分 の上にあるとき。
直線 の式は で、 とすると です。 のとき最小値 になります。
公式が現れたのは意外に遅い
三平方の定理は古代からありました。座標に書き直した形が印刷物に載るのは、ずっとあとの話です[1]。
平面の点を数の組で表す方法が広まり、図形を式で扱う道が開かれた。
2 点間の距離を座標で書いた式が、初めて印刷物に現れた。
定理があっても、座標という舞台がなければ式にはなりません。 年近い間があいているところに、記法が持つ力が見えます。
と の距離はどれですか。
の差が でも、項を落とさずに書いておくと見落としが減ります。慣れるまでは 3 つとも並べておく。
よくある誤り
どれも「差を 乗して足し、最後に根号」という順番を守れば起こりません。順番を口に出しながら書くと安定します。
参考文献
差は x が 3、y が 4、z が 0 です。9+16+0=5 になります。z が等しいので実質は平面の問題で、7 は差をそのまま足した値。