平面上と空間上の二点間の距離の公式

平面上の二点間の距離

平面上の $2$ 点 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ の距離

$$PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

問題

次の $2$ 点間の距離を求めなさい。

$(1)P(0,0),Q(5,12)$

$(2)P(2,3),Q(6,6)$

$(3)P(1,-4),Q(-3,2)$

$(4)P(-8,5),Q(-5,2)$

解答

$(1)PQ=\sqrt{(5-0{)}^2+(12-0{)}^2}=13$

$(2)PQ=\sqrt{(6-2{)}^2+(6-3{)}^2}=5$

$(3)PQ=\sqrt{((-3)-1{)}^2+(2-(-4){)}^2}=2\sqrt{13}$

$(4)PQ=\sqrt{((-5)-(-8){)}^2+(2-5{)}^2}=3\sqrt{2}$

空間上の二点間の距離

空間上の $2$ 点 $P(x_1,y_1,z_1),Q(x_2,y_2,z_2)$ の距離

$$PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

問題

次の $2$ 点間の距離を求めなさい。

$(1)P(0,0,0),Q(1,1,1)$

$(2)P(1,-1,2),Q(3,4,5)$

$(3)P(-2,5,-9),Q(1,8,2)$

解答

$(1)PQ=\sqrt{(1-0{)}^2+(1-0{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{3}$

$(2)PQ=\sqrt{(3-1{)}^2+(4-(-1){)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{38}$

$(3)PQ=\sqrt{(1-(-2){)}^2+(8-5{)}^2+(2-(-9){)}^2}=\sqrt{139}$