三角関数の相互関係と基本公式

三角関数には互いに関連する公式がいくつかあり、これらを相互関係と呼びます。単位円上の点 $(cos θ, sin θ)$ を考えることで、これらの関係を導くことができます。

最も基本的な関係式は次の3つです。

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$

$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$

$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{cos ^{2} θ}$

1つ目の式は三平方の定理から導かれます。単位円上の点 $(cos θ, sin θ)$ は原点からの距離が1なので、 $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ が成り立ちます。

2つ目の式は $tan$ の定義そのものです。直角三角形で考えると、 $tan$ は対辺と隣辺の比であり、これは $sin$ と $cos$ の比と一致します。

3つ目の式は、1つ目の式の両辺を $cos^{2} θ$ で割ることで得られます。

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

の使い方

$sin θ$ か $cos θ$ のどちらか一方がわかっているとき、もう一方の値を求めるのに使います。ただし符号は角度の範囲から判断する必要があります。

1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}

の使い方

$tan θ$ の値から $cos θ$ の値を求めるときに便利です。積分計算でもよく登場します。

これらの公式は三角関数を扱うあらゆる場面で登場するため、確実に覚えておきましょう。