三角関数の相互関係で sin から cos と tan を求める

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ と分かれば、$\cos \theta$ も $\tan \theta$ も計算で求まります。$\theta$ が何度なのかは分からないままで済む。

$\sin$ と $\cos$ と $\tan$ を結ぶ関係を、相互関係といいます。3 つあります。

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta },1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

3 つと書きましたが、独立しているのは最初の 1 つだけ。残りは定義と割り算から導ける。

単位円で見れば三平方の定理

半径 $1$ の円周上に点 $\mathrm{P}$ をとります。$x$ 軸の正の向きから測った角が $\theta$ のとき、$\mathrm{P}$ の座標は $(\cos \theta ,\sin \theta )$。

原点から $\mathrm{P}$ までの距離は $1$ です。これを三平方の定理で書き下すと、そのまま 1 つ目になる。

新しい定理ではありません。中学で習った三平方の定理を円の上で読み直しただけ。

$\theta$ が鈍角でも負でも成り立つ。座標に符号はつきますが、2 乗すれば向きは消える。

${\sin }^2\theta$ は $(\sin \theta {)}^2$ のことです。$\sin {\theta }^2$ と書くと $\sin ({\theta }^2)$ になり、別のものになる。

2 つ目は定義そのもの

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ は、導く式ではなく $\tan$ の定義です。

直角三角形で $\tan$ は「高さ ÷ 底辺」でした。単位円では高さは $\sin \theta$、底辺は $\cos \theta$ になる。

$\cos \theta =0$ のときは分母が $0$ になり、$\tan \theta$ を定義できません。$\theta =90^{\circ }$ と $270^{\circ }$ がその角。

$\tan \theta$ は、単位円の右端に立てた縦線を原点からの直線が切る高さとして読めます。$x=1$ との交点の $y$ 座標がちょうど $\tan \theta$ で、相似から確かめられる。

$\theta$ が $90^{\circ }$ に近づくと直線は縦線と平行に近づき、切る高さは際限なく大きくなります。

3 つ目は 1 つ目の割り算

1 つ目の両辺を ${\cos }^2\theta$ で割ります。

$$\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+\frac{{\cos }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

左の第 1 項は ${\tan }^2\theta$、第 2 項は $1$ になる。並べ替えると $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$。

1 つ目を ${\cos }^2\theta$ で割れば、その場で書き直せます。

右辺を $\frac{1}{{\sin }^2\theta }$ ととりちがえたときは、$\theta =60^{\circ }$ を入れると分かる。

左辺は $1+3=4$、$\frac{1}{{\cos }^{2}60^{\circ }}=4$ で合う。$\frac{1}{{\sin }^{2}60^{\circ }}$ のほうは $\frac{4}{3}$ で合わない。

$\theta =45^{\circ }$ だとどちらも $2$ になり、区別がつきません。

${\sin }^2\theta$ で割った形もある。

$$1+\frac{1}{{\tan }^2\theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta }$$

変えるのは割る相手のほう。

例 1：$\sin \theta$ から残りを求める

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ で $\theta$ が第 2 象限とします。1 つ目に入れる。

${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^2\theta =1$ から ${\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$。

$\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$ です。第 2 象限では $\cos$ が負になるため、$\cos \theta =-\frac{4}{5}$。

$\tan \theta$ は 2 つ目から計算します。$\frac{3/5}{-4/5}$ を約分して $-\frac{3}{4}$ です。

象限の指定がなければ、$\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$、$\tan \theta =\mp \frac{3}{4}$ と 2 通り書く。

例 2：$\tan \theta$ から残りを求める

$\tan \theta =2$ とします。$\sin$ も $\cos$ も分かっていない。

3 つ目を使います。$1+2^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ から $\frac{1}{{\cos }^2\theta }=5$、つまり ${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$。

$\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ になる。$\sin \theta$ は 2 つ目をかけ算の向きに使って $\sin \theta =\tan \theta \cos \theta =\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

複号は同順です。$\tan \theta$ が正である以上、$\sin$ と $\cos$ は同じ符号でなければなりません。

第 1 象限なら両方正、第 3 象限なら両方負。$\tan$ の値だけで絞れるのは、この 2 つまでです。

例 3：和から積を求める

$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ を求めます。個々の値までは求まらない。

両辺を 2 乗します。

$${\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{4}$$

1 つ目より ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ なので、$1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$。

$$\sin \theta \cos \theta =-\frac{3}{8}$$

この積は負です。$\sin$ と $\cos$ の符号は違い、和は正だから絶対値の大きいほうが正になる。

$\sin \theta -\cos \theta$ も計算できる。2 乗すると $1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$ で、$\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$。

3 乗の和なら因数分解を使う。

$${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =(\sin \theta +\cos \theta )(1-\sin \theta \cos \theta )=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$$

3 つの関係は値までしか決めてくれません。符号は、問題文にある象限の指定から決めます。