ガンマ分布とベータ分布

ガンマ分布とベータ分布は、統計学において広く用いられる連続確率分布です。ガンマ分布は指数分布の一般化であり、ベータ分布は区間 $[0,1]$ 上の確率をモデル化するのに適しています。

ガンマ関数

両分布の定義にはガンマ関数が現れます。ガンマ関数は

$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt(\alpha >0)$$

で定義され、$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$ という関係式を満たします。特に $\Gamma (n)=(n-1)!$（$n$ は正の整数）であり、階乗の連続的な拡張になっています。

ガンマ分布の定義

形状パラメータ $\alpha >0$ と尺度パラメータ $\beta >0$ を持つガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(\alpha ,\beta )$ の確率密度関数は

$$f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}(x>0)$$

です。$\alpha =1$ のとき指数分布 $\mathrm{Exp}(\beta )$ に一致します。

期待値と分散は

$$E[X]=\frac{\alpha }{\beta },V[X]=\frac{\alpha }{{\beta }^2}$$

で与えられます。

ガンマ分布には再生性があり、独立な $X_1\sim \mathrm{Gamma}({\alpha }_1,\beta )$ と $X_2\sim \mathrm{Gamma}({\alpha }_2,\beta )$ に対して $X_1+X_2\sim \mathrm{Gamma}({\alpha }_1+{\alpha }_2,\beta )$ が成り立ちます。

ベータ分布の定義

パラメータ $\alpha >0$, $\beta >0$ を持つベータ分布 $\mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$ の確率密度関数は

$$f(x)=\frac{\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}(0<x<1)$$

です。正規化定数に現れる $B(\alpha ,\beta )=\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )/\Gamma (\alpha +\beta )$ をベータ関数といいます。

期待値と分散は

$$E[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta },V[X]=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$$

です。

ベータ分布の形状

$\alpha =\beta =1$ のとき一様分布 $U(0,1)$ になります。$\alpha ,\beta >1$ のときは単峰型、$\alpha ,\beta <1$ のときは U 字型、$\alpha \ne \beta$ のときは非対称な形状をとります。この柔軟性からベイズ統計において事前分布としてよく用いられます。