指数分布とポアソン過程

指数分布は「次のイベントが起こるまでの待ち時間」をモデル化する連続確率分布です。ポアソン過程と密接に関連しており、ランダムに発生する事象の時間間隔を記述するのに適しています。

指数分布の定義

パラメータ $\lambda >0$ の指数分布に従う確率変数 $X$ の確率密度関数は

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}(x\ge 0)$$

で与えられます。$x<0$ では $f(x)=0$ です。$\lambda$ は単位時間あたりのイベント発生率を表します。

累積分布関数は

$$F(x)=1-e^{-\lambda x}(x\ge 0)$$

となり、$P(X>x)=e^{-\lambda x}$ です。

期待値と分散

$X$ が指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda )$ に従うとき、期待値と分散は

$$E[X]=\frac{1}{\lambda },V[X]=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

です。$\lambda$ が大きいほどイベントが頻繁に起こり、待ち時間の期待値は小さくなります。

無記憶性

指数分布の最も重要な性質は無記憶性です。これは、すでに時間 $s$ だけ待ったという条件のもとで、さらに時間 $t$ 以上待つ確率が、最初から時間 $t$ 以上待つ確率と等しいことを意味します。

$$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$$

この性質を持つ連続分布は指数分布に限られます。

ポアソン過程との関係

ポアソン過程は、時間軸上でランダムにイベントが発生する確率過程です。単位時間あたり平均 $\lambda$ 回のイベントが起こるとき、時間 $[0,t]$ に発生するイベント数 $N(t)$ はポアソン分布 $\mathrm{Po}(\lambda t)$ に従います。

このとき、連続するイベント間の時間間隔は互いに独立で、それぞれ指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda )$ に従います。つまり、ポアソン過程における待ち時間の分布が指数分布です。

具体例として、1時間に平均5回電話がかかってくるコールセンターでは、次の電話までの待ち時間は $\lambda =5$（1時間あたり）の指数分布に従い、期待値は $1/5$ 時間 = 12分となります。