t 分布（スチューデントの t 分布）は、母分散が未知の場合に母平均を推定する際に現れる分布です。正規分布に似た釣鐘型ですが、裾が重いという特徴を持ちます。
t 分布の定義
と が独立であるとき
は自由度 の t 分布に従います。これを と書きます。
確率密度関数は
で与えられます。この関数は に関して対称です。
期待値と分散
のとき、期待値は で
です。分散は のとき
であり、 では分散が存在しません。自由度が小さいと分散は 1 より大きく、正規分布よりばらつきが大きいことを意味します。
正規分布との関係
自由度 が大きくなると、t 分布は標準正規分布 に近づきます。 のとき です。実用上、 程度で正規分布による近似がよく使われます。
裾の重さについては、t 分布は正規分布より裾が重く、極端な値が出やすい分布です。これは分母のカイ二乗変数による揺らぎが原因です。
統計的推測への応用
が からの無作為標本のとき、標本平均 と標本分散 に対して
は自由度 の t 分布に従います。これにより、母分散 が未知であっても母平均 の区間推定や検定が可能になります。
この結果を示したのは W. S. ゴセットで、彼はギネス社に勤務していたため「スチューデント」というペンネームで論文を発表しました。
