t 分布の定義と性質

t 分布（スチューデントの t 分布）は、母分散が未知の場合に母平均を推定する際に現れる分布です。正規分布に似た釣鐘型ですが、裾が重いという特徴を持ちます。

t 分布の定義

$Z\sim N(0,1)$ と $U\sim {\chi }^2(n)$ が独立であるとき

$$T=\frac{Z}{\sqrt{U/n}}$$

は自由度 $n$ の t 分布に従います。これを $T\sim t(n)$ と書きます。

確率密度関数は

$$f(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$$

で与えられます。この関数は $t=0$ に関して対称です。

期待値と分散

$T\sim t(n)$ のとき、期待値は $n>1$ で

$$E[T]=0$$

です。分散は $n>2$ のとき

$$V[T]=\frac{n}{n-2}$$

であり、$n\le 2$ では分散が存在しません。自由度が小さいと分散は 1 より大きく、正規分布よりばらつきが大きいことを意味します。

正規分布との関係

自由度 $n$ が大きくなると、t 分布は標準正規分布 $N(0,1)$ に近づきます。$n\to \infty$ のとき $t(n)\to N(0,1)$ です。実用上、$n\ge 30$ 程度で正規分布による近似がよく使われます。

裾の重さについては、t 分布は正規分布より裾が重く、極端な値が出やすい分布です。これは分母のカイ二乗変数による揺らぎが原因です。

統計的推測への応用

$X_1,\dots ,X_n$ が $N(\mu ,{\sigma }^2)$ からの無作為標本のとき、標本平均 $\bar{X}$ と標本分散 $S^2$ に対して

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$$

は自由度 $n-1$ の t 分布に従います。これにより、母分散 ${\sigma }^2$ が未知であっても母平均 $\mu$ の区間推定や検定が可能になります。

この結果を示したのは W. S. ゴセットで、彼はギネス社に勤務していたため「スチューデント」というペンネームで論文を発表しました。