分散の比が 5 倍でも珍しくない（F 分布の定義と自由度の入れかえ）

同じ母分散の集団から 5 個ずつとって標本分散を出すと、比が 5.050 を超えることが 20 回に 1 回あります。

母分散はまったく同じなのに、比だけ見れば 5 倍。ばらつきの比は、平均の差よりずっと暴れます。

この暴れ方を測る目盛りが F 分布です。

定義

$U\sim {\chi }^2(m)$ と $V\sim {\chi }^2(n)$ が独立のとき、それぞれを自由度で割ってから比をとります^[1]。

$$F=\frac{U/m}{V/n}$$

これが自由度 $(m,n)$ の F 分布で、$F\sim F(m,n)$ と書く。$m$ を分子の自由度、$n$ を分母の自由度といいます。

自由度で割るところが効きます。カイ二乗は自由度ぶんだけ大きくなるので、割っておけば比の中心が $1$ の近くに来る。

密度関数

密度は $x>0$ でだけ値を持ちます^[2]。

$$f(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{{\left(1+\frac{m}{n}x\right)}^{\frac{m+n}{2}}}$$

比なので負にはなりません。左端が $0$ で右へ長く裾を引く、非対称な形です。

$m>2$ なら最頻値は $\frac{n(m-2)}{m(n+2)}$ で、$1$ より小さいところに来ます^[2]。山の位置と平均がずれる。

平均は分子の自由度によらない

$n>2$ のとき平均は次のとおりです^[1]。

$$E[F]=\frac{n}{n-2}$$

$m$ が入っていません。分母の自由度だけで決まります。

分散は $n>4$ で存在します。

$$V[F]=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}$$

分母の自由度が小さいと平均も分散も膨らむ。$n=3$ なら平均が $3$、$n=10$ でも 1.25 で、まだ $1$ に戻りません。

逆数をとると自由度が入れかわる

$F\sim F(m,n)$ なら $1/F\sim F(n,m)$ です^[1]。分子と分母を入れかえただけなので、定義から出ます。

ここからパーセント点の関係が出ます。

$$F_{1-\alpha }(m,n)=\frac{1}{F_{\alpha }(n,m)}$$

数表が上側の点しか載せていないのは、この式で下側が読めるためです。

例：数表の裏側を読む

$F_{0.05}(12,3)=8.74$ が表にあります。ここから自由度 $(3,12)$ の下側 5% 点が出ます。

$$F_{0.95}(3,12)=\frac{1}{8.74}=0.114$$

上側 5% 点のほうは $F_{0.05}(3,12)=3.490$ です。$0.114$ から $3.490$ までが、真ん中の 90% にあたる範囲。

分子と分母の自由度が同じなら、上側と下側が互いに逆数になります。$F_{0.05}(5,5)=5.050$ に対して $F_{0.95}(5,5)=0.198$ で、掛ければ $1$。

t 分布とのつながり

$T\sim t(n)$ なら $T^2\sim F(1,n)$ です^[1]。定義に戻ると当たり前で、$T$ の分子を 2 乗すれば自由度 1 のカイ二乗になる。

数表でも確かめられます。$t_{0.025}(10)=2.228$ を 2 乗すると 4.964、$F_{0.05}(1,10)=4.965$。

両側 5% と片側 5% が対応するのは、2 乗すると符号が消えるためです。

分母の自由度を大きくすると

$n\to \infty$ で $V/n$ は $1$ に近づきます。分母が定数になれば、残るのは分子だけ。

$$mF\stackrel{n\to \infty }{\to }{\chi }^2(m)$$

母分散が既知の場合の検定に戻る、という意味です。分母の自由度は、母分散を推定した精度を表しています。

2 つの母分散を比べる

$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ と $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ から大きさ $n_1$、$n_2$ の標本をとり、標本分散を $S_1^2$、$S_2^2$ とします。

$$\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ を仮定すると、$\sigma$ が消えて $S_1^2/S_2^2$ そのものが F 分布に従います。

例：等分散といえるか

2 つの群から 6 個ずつとり、標本分散が 8.4 と 1.9 だったとします。

$$F=\frac{8.4}{1.9}=4.42$$

自由度は $(5,5)$ です。上側 5% 点が 5.050 なので、4.42 はまだ内側。

比が 4 倍を超えていても、この標本の大きさでは母分散が違うとまではいえません。判断に必要な差は、直感よりかなり大きい。

分散分析での使われ方

群の数が $k$、全体の大きさが $N$ のとき、群間の変動と群内の変動をそれぞれ自由度で割って比をとります。

自由度は $(k-1,N-k)$ です。3 群を 10 個ずつ調べたなら $(2,27)$ で、上側 5% 点は 3.354。

平均が全部同じなら比は $1$ の近くにいるはずで、3.354 を超えたら偶然では説明しにくくなる。

F という文字がつくまで

フィッシャーが 1924 年の論文で扱ったのは $z=\frac{1}{2}\log F$ のほうでした^[3]。対数をとった量のほうが、当時は表を作りやすかった。

いま $z$ を見かけないのは、$F$ のほうが計算も表引きも素直だったためです。定義が簡単なほうが残った。

比をとると上下が非対称になり、平均は $1$ からずれ、裾は右へ伸びる。F 分布の性質は、この 1 点からほとんど説明がつきます。

出典