F 分布の定義と性質

F 分布は、二つの分散の比を検定する際に現れる分布です。分散分析や回帰分析において重要な役割を果たします。

F 分布の定義

$U\sim {\chi }^2(m)$ と $V\sim {\chi }^2(n)$ が独立であるとき

$$F=\frac{U/m}{V/n}$$

は自由度 $(m,n)$ の F 分布に従います。これを $F\sim F(m,n)$ と書きます。$m$ を第一自由度（分子の自由度）、$n$ を第二自由度（分母の自由度）といいます。

確率密度関数は

$$f(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{m/2}\frac{x^{m/2-1}}{{\left(1+\frac{m}{n}x\right)}^{(m+n)/2}}(x>0)$$

で与えられます。$F$ は常に正の値をとります。

期待値と分散

$F\sim F(m,n)$ のとき、$n>2$ ならば

$$E[F]=\frac{n}{n-2}$$

です。$n>4$ ならば分散は

$$V[F]=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}$$

となります。期待値は第一自由度 $m$ に依存しないことに注意してください。

F 分布の性質

自由度の入れ替えについて、$F\sim F(m,n)$ ならば $1/F\sim F(n,m)$ が成り立ちます。これより

$$F_{\alpha }(m,n)=\frac{1}{F_{1-\alpha }(n,m)}$$

という関係があり、数表の参照に便利です。

t 分布との関係については、$T\sim t(n)$ ならば $T^2\sim F(1,n)$ です。t 検定と F 検定が同等になる場面があるのはこの関係によります。

統計的推測への応用

二つの正規母集団 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ と $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ からそれぞれ大きさ $n_1$, $n_2$ の無作為標本を取り、標本分散を $S_1^2$, $S_2^2$ とします。${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ の仮定のもとで

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$$

は自由度 $(n_1-1,n_2-1)$ の F 分布に従います。これを用いて二つの母分散が等しいかどうかを検定できます。

分散分析においては、群間変動と群内変動の比が F 分布に従うことを利用して、複数の母平均の同等性を検定します。