二項定理とパスカルの三角形（二項展開の二項係数の求め方）

二項定理

$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b +_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots +_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots +_{n} C_{n - 1} a b^{n - 1} +_{n} C_{n} b^{n}$

2つの数の和（または差）のべき乗の展開を二項展開、二項展開の係数を二項係数という。二項定理は二項展開が上の式で表されるという定理です。また二項定理の途中に出てくる項 $_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$ を一般項という。

二項展開の一般項

$_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$

二項定理から二項係数は

$_{n} C_{0},_{n} C_{1},_{n} C_{2}, \dots,_{n} C_{n - 1},_{n} C_{n}$

となっています。

パスカルの三角形

以下の数のピラミッドをパスカルの三角形という。

$11121133114641151010511615201561$

パスカルの三角形は

①　頂点を $11$ にする
②　各行の左右の端は $1$ にする
③　各行の左右の端以外は、自分の右上と左上の数の和にする

というルールのもとで作られています。

例えば二段目の真ん中の $2$ は右上の $1$ と左上の $1$ を足したもの、四段目の真ん中の $6$ は右上の $3$ と左上の $3$ を足したもの、六段目の左から三番目の $15$ は右上の $10$ と左上の $5$ を足したものになっています。

パスカルの三角形は実は二項係数のピラミッドでもある

実はパスカルの三角形

$11121133114641151010511615201561$

は

$_{1} C_{0}_{1} C_{1}_{2} C_{0}_{2} C_{1}_{2} C_{2}_{3} C_{0}_{3} C_{1}_{3} C_{2}_{3} C_{3}_{4} C_{0}_{4} C_{1}_{4} C_{2}_{4} C_{3}_{4} C_{4}_{5} C_{0}_{5} C_{1}_{5} C_{2}_{5} C_{3}_{5} C_{4}_{5} C_{5}_{6} C_{0}_{6} C_{1}_{6} C_{2}_{6} C_{3}_{6} C_{4}_{6} C_{5}_{6} C_{6}$

です。パスカルの三角形の各行は二項係数そのもの。

つまりパスカルの三角形を書けるようになれば、二項定理の問題が出てきても係数を簡単に計算できるわけです。

例えば $(x + y)^{6}$ はパスカルの三角形の六段目から

$(x + y)^{6} = x^{6} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 5 x y^{5} + y^{6}$

であるとすぐにわかります。