二項定理とパスカルの三角形（二項展開の二項係数の求め方）

二項定理

$$(a+b{)}^n={}_n{C}_0{a}^n+{}_n{C}_1{a}^{n-1}b+{}_n{C}_2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +{}_n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r+\cdots +{}_n{C}_{n-1}a{b}^{n-1}+{}_n{C}_n{b}^n$$

2つの数の和（または差）のべき乗の展開を二項展開、二項展開の係数を二項係数という。二項定理は二項展開が上の式で表されるという定理です。また二項定理の途中に出てくる項 ${}_n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r$ を一般項という。

二項展開の一般項

$${}_n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r$$

二項定理から二項係数は

$${}_n{C}_0,{}_n{C}_1,{}_n{C}_2,\cdots ,{}_n{C}_{n-1},{}_n{C}_n$$

となっています。

パスカルの三角形

以下の数のピラミッドをパスカルの三角形という。

$$\begin{gathered} 11 \\ 121 \\ 1331 \\ 14641 \\ 15101051 \\ 1615201561 \end{gathered}$$

パスカルの三角形は

①　頂点を $11$ にする
②　各行の左右の端は $1$ にする
③　各行の左右の端以外は、自分の右上と左上の数の和にする

というルールのもとで作られています。

例えば二段目の真ん中の $2$ は右上の $1$ と左上の $1$ を足したもの、四段目の真ん中の $6$ は右上の $3$ と左上の $3$ を足したもの、六段目の左から三番目の $15$ は右上の $10$ と左上の $5$ を足したものになっています。

パスカルの三角形は実は二項係数のピラミッドでもある

実はパスカルの三角形

$$\begin{gathered} 11 \\ 121 \\ 1331 \\ 14641 \\ 15101051 \\ 1615201561 \end{gathered}$$

は

$$\begin{gathered} {}_1{C}_0{}_1{C}_1 \\ {}_2{C}_0{}_2{C}_1{}_2{C}_2 \\ {}_3{C}_0{}_3{C}_1{}_3{C}_2{}_3{C}_3 \\ {}_4{C}_0{}_4{C}_1{}_4{C}_2{}_4{C}_3{}_4{C}_4 \\ {}_5{C}_0{}_5{C}_1{}_5{C}_2{}_5{C}_3{}_5{C}_4{}_5{C}_5 \\ {}_6{C}_0{}_6{C}_1{}_6{C}_2{}_6{C}_3{}_6{C}_4{}_6{C}_5{}_6{C}_6 \end{gathered}$$

です。パスカルの三角形の各行は二項係数そのもの。

つまりパスカルの三角形を書けるようになれば、二項定理の問題が出てきても係数を簡単に計算できるわけです。

例えば $(x+y{)}^6$ はパスカルの三角形の六段目から

$$(x+y{)}^6=x^6+6x^{5}y+15x^4{y}^2+20x^3{y}^3+15x^2{y}^4+5x{y}^5+y^6$$

であるとすぐにわかります。