共役複素数とはなにか？「共役」の意味と公式をざっくり解説

$z=a+bi$ の共役は $a-bi$ です。特に $b=0$ のとき、つまり複素数 $z$ が実数のとき、その共役は同じ $a$ となります。

例題

次の複素数と共役な複素数を求めなさい。

$$\begin{gathered} (1)3+2i \\ (2)1-5i \\ (3)-9+4i \\ (4)-7-6i \\ (5)2 \\ (6)3i \\ (7)-7i \\ (8)-i \end{gathered}$$

解答

$$\begin{gathered} (1)3-2i \\ (2)1+5i \\ (3)-9-4i \\ (4)-7+6i \\ (5)2 \\ (6)-3i \\ (7)7i \\ (8)i \end{gathered}$$

(5) に注意。実数の共役は同じです。

共役複素数の性質

例えば $z=3+2i$ の共役複素数 $3-2i$ を考える。

$$(3+2i)+(3-2i)=6(3+2i)-(3-2i)=4i$$

となる。つまり複素数とその共役を足すと実数になり、引くと純虚数になる。

1. 複素数とその共役複素数の和は実数
2. 複素数とその共役複素数の差は純虚数

公式

$z=a+bi$ とする。

$$\begin{gathered} z\cdot \overline{z}=|z{|}^2=a^2+b^2 \\ \overline{z+\omega }=\overline{z}+\overline{\omega } \\ \overline{z\cdot \omega }=\overline{z}\cdot \overline{\omega } \\ \overline{\left(\frac{z}{\omega }\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{\omega }} \end{gathered}$$

複素数の共役は分数になっても伝わる。