オイラーの公式とオイラーの等式｜三角関数と指数関数の関係

次をオイラーの公式といいます。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

オイラーの公式は三角関数と指数関数の関係を表しています。オイラーの公式の θ を π にすると

$$e^{i\pi }+1=0$$

となります。これをオイラーの等式といいます。

オイラーの公式の証明

オイラーの公式はマクローリン展開から証明。

マクローリンの定理（マクローリン展開）
f(x) がすべての実数 x で何回でも微分できるとき、次の式が成り立つ。

$$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\cdots$$

このマクローリン展開を使うとC^∞級である指数関数と三角関数は次のように展開できます。

$$\begin{gathered} e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\ \sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots \\ \cos \theta =1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\frac{{\theta }^6}{6!}+\cdots \end{gathered}$$

e^x の展開式の x に iθ を代入すると

$$\begin{gathered} e^{i\theta } \\ =1+\frac{i\theta }{1!}+\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\cdots \\ =1+i\frac{\theta }{1!}-\frac{{\theta }^2}{2!}-i\frac{{\theta }^3}{3!}+\cdots \\ =\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\frac{{\theta }^6}{6!}+\cdots \right)+i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots \right) \\ =\cos \theta +i\sin \theta \end{gathered}$$

となります。