次をオイラーの公式といいます。
eiθ=cosθ+isinθ
オイラーの公式は三角関数と指数関数の関係を表しています。オイラーの公式の θ を π にすると
eiπ+1=0
となります。これをオイラーの等式といいます。
オイラーの公式の証明
オイラーの公式はマクローリン展開から証明します。
マクローリンの定理（マクローリン展開）
f(x) がすべての実数 x で何回でも微分できるとき、次の式が成り立つ。
f(x)=f(0)+1!f′(0)x+2!f(2)(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+⋯
このマクローリン展開を使うとC∞級である指数関数と三角関数は次のように展開できます。
ex=1+1!x+2!x2+3!x3+⋯sinθ=θ−3!θ3+5!θ5−7!θ7+⋯cosθ=1−2!θ2+4!θ4−6!θ6+⋯
ex の展開式の x に iθ を代入すると
eiθ=1+1!iθ+2!(iθ)2+3!(iθ)3+⋯=1+i1!θ−2!θ2−i3!θ3+⋯=(1−2!θ2+4!θ4−6!θ6+⋯)+i(θ−3!θ3+5!θ5−7!θ7+⋯)=cosθ+isinθ
となります。
