ルートとルートの和（差）の (2) 乗を計算してみよう．
\begin{eqnarray}
&&\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}\
&=&\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\
&=&2+2\sqrt{6}+3\
&=&5+2\sqrt{6}
\end{eqnarray}
から
となります．では をどのようにして という簡単な形にできるでしょうか．
二重根号の外し方（プラスの場合）
まず の 5 と 6 をとりだして，足して 5，かけて 6 になる 2 つの数を考えます．
\begin{eqnarray}
x+y&=&5\
xy&=&6
\end{eqnarray}
この式をみたす x と y は 2 と 3 です．
\begin{eqnarray}
2+3&=&5\
2\times{3}&=&6
\end{eqnarray}
この 2 と 3 をルートに入れて
にします．こうして
となりました．
例
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{7+2\sqrt{10}}\
&=&\sqrt{5}+\sqrt{2}\
&\quad&(5+2=7,\ 5\times{2}=10)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{12+2\sqrt{35}}\
&=&\sqrt{5}+\sqrt{7}\
&\quad&(5+7=12,\ 5\times{7}=35)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{7+2\sqrt{12}}\
&=&\sqrt{3}+\sqrt{4}\
&=&\sqrt{3}+2\
&\quad&(3+4=7,\ 3\times{4}=12)
\end{eqnarray}
二重根号の外し方（マイナスの場合）
続いて のルートをはずしてみましょう．今度はルート内の符号がマイナスになっています．前と同じように
\begin{eqnarray}
x+y&=&7\
xy&=&10
\end{eqnarray}
となる を見つけます．
が解となるので
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{7-2\sqrt{10}}\
&=&\sqrt{5}-\sqrt{2}
\end{eqnarray}
となります．ここで
としてはいけません． としてしまうと値が負になりますが，もともとの は正です．
例
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{8-2\sqrt{15}}\
&=&\sqrt{5}-\sqrt{3}\
&\quad&(5+3=8,\ 5\times{3}=15)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{11-2\sqrt{30}}\
&=&\sqrt{6}-\sqrt{5}\
&\quad&(6+5=11,\ 6\times{5}=30)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{9-2\sqrt{20}}\
&=&\sqrt{5}-\sqrt{4}\
&=&\sqrt{5}-2\
&\quad&(5+4=9,\ 5\times{4}=20)
\end{eqnarray}
二重根号の係数が 2 でないとき
今までは
というふうに二重根号の係数（ についている数）が 2 の問題を扱ってきました．ここからは 2 以外の問題を扱っていきます．
の係数の 4 に注目してください．ルートをはずすにはこれを 2 にする必要があります．
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{17+4\sqrt{15}}\
&=&\sqrt{17+2\sqrt{60}}
\end{eqnarray}
あとは前問と同じように
\begin{eqnarray}
x+y&=&17\
xy&=&60
\end{eqnarray}
をみたす x, y を見つけます．
が解であるため
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{17+4\sqrt{15}}\
&=&\sqrt{17+2\sqrt{60}}\
&=&\sqrt{5}+\sqrt{12}\
&=&\sqrt{5}+2\sqrt{3}
\end{eqnarray}
となります．
例
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{26+4\sqrt{30}}\
&=&\sqrt{26+2\sqrt{120}}\
&=&\sqrt{6}+\sqrt{20}\
&=&\sqrt{6}+2\sqrt{5}\
&\quad&(6+20=26,\ 6\times{20}=120)
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&&\sqrt{26+8\sqrt{3}}\
&=&\sqrt{26+2\sqrt{48}}\
&=&\sqrt{2}+\sqrt{24}\
&=&\sqrt{2}+2\sqrt{6}\
&\quad&(2+24=26,\ 2\times{24}=48)
\end{eqnarray}
