二重根号の外し方と計算例（高校数学Ⅰ・平方根）

ルートとルートの和（差）の (2) 乗を計算してみよう．

\begin{eqnarray*} &&\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}\\ &=&\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\\ &=&2+2\sqrt{6}+3\\ &=&5+2\sqrt{6} \end{eqnarray*}

から

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

となります．では $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ をどのようにして $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ という簡単な形にできるでしょうか．

二重根号の外し方（プラスの場合）

まず $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ の 5 と 6 をとりだして，足して 5，かけて 6 になる 2 つの数を考えます．

\begin{eqnarray*} x+y&=&5\\ xy&=&6 \end{eqnarray*}

この式をみたす x と y は 2 と 3 です．

\begin{eqnarray*} 2+3&=&5\\ 2\times{3}&=&6 \end{eqnarray*}

この 2 と 3 をルートに入れて

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

にします．こうして

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

となりました．

例

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{7+2\sqrt{10}}\\ &=&\sqrt{5}+\sqrt{2}\\ &\quad&(5+2=7,\ 5\times{2}=10) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{12+2\sqrt{35}}\\ &=&\sqrt{5}+\sqrt{7}\\ &\quad&(5+7=12,\ 5\times{7}=35) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{7+2\sqrt{12}}\\ &=&\sqrt{3}+\sqrt{4}\\ &=&\sqrt{3}+2\\ &\quad&(3+4=7,\ 3\times{4}=12) \end{eqnarray*}

二重根号の外し方（マイナスの場合）

続いて $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$ のルートをはずしてみましょう．今度はルート内の符号がマイナスになっています．前と同じように

\begin{eqnarray*} x+y&=&7\\ xy&=&10 \end{eqnarray*}

となる $x,y$ を見つけます．

$$\{\begin{array}{lll}x& =& 2\\ y& =& 5\end{array}$$

が解となるので

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{7-2\sqrt{10}}\\ &=&\sqrt{5}-\sqrt{2} \end{eqnarray*}

となります．ここで

$\sqrt{2}-\sqrt{5}$

としてはいけません．$\sqrt{2}-\sqrt{5}$ としてしまうと値が負になりますが，もともとの $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$ は正です．

例

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{8-2\sqrt{15}}\\ &=&\sqrt{5}-\sqrt{3}\\ &\quad&(5+3=8,\ 5\times{3}=15) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{11-2\sqrt{30}}\\ &=&\sqrt{6}-\sqrt{5}\\ &\quad&(6+5=11,\ 6\times{5}=30) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{9-2\sqrt{20}}\\ &=&\sqrt{5}-\sqrt{4}\\ &=&\sqrt{5}-2\\ &\quad&(5+4=9,\ 5\times{4}=20) \end{eqnarray*}

二重根号の係数が 2 でないとき

今までは

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

というふうに二重根号の係数（$\sqrt{6}$ についている数）が 2 の問題を扱ってきました．ここからは 2 以外の問題を扱っていきます．

$\sqrt{17+4\sqrt{15}}$

$\sqrt{15}$ の係数の 4 に注目してください．ルートをはずすにはこれを 2 にする必要があります．

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{17+4\sqrt{15}}\\ &=&\sqrt{17+2\sqrt{60}} \end{eqnarray*}

あとは前問と同じように

\begin{eqnarray*} x+y&=&17\\ xy&=&60 \end{eqnarray*}

をみたす x, y を見つけます．

$$\{\begin{array}{lll}x& =& 5\\ y& =& 12\end{array}$$

が解であるため

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{17+4\sqrt{15}}\\ &=&\sqrt{17+2\sqrt{60}}\\ &=&\sqrt{5}+\sqrt{12}\\ &=&\sqrt{5}+2\sqrt{3} \end{eqnarray*}

となります．

例

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{26+4\sqrt{30}}\\ &=&\sqrt{26+2\sqrt{120}}\\ &=&\sqrt{6}+\sqrt{20}\\ &=&\sqrt{6}+2\sqrt{5}\\ &\quad&(6+20=26,\ 6\times{20}=120) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &&\sqrt{26+8\sqrt{3}}\\ &=&\sqrt{26+2\sqrt{48}}\\ &=&\sqrt{2}+\sqrt{24}\\ &=&\sqrt{2}+2\sqrt{6}\\ &\quad&(2+24=26,\ 2\times{24}=48) \end{eqnarray*}