射影定理はヒルベルト空間の閉凸集合への最良近似の存在と一意性を保証します。直交射影の理論的基礎を与えます。 定理の主張（閉凸集合...

リースの表現定理は、ヒルベルト空間上の有界線形汎関数がすべて内積で表されることを主張します。ヒルベルト空間の双対空間を完全に特徴...

正規直交基底はヒルベルト空間の構造を解析する基本的なツールです。フーリエ展開は正規直交基底を使った級数展開の典型例です。 正規直...

直交性はヒルベルト空間の幾何学的構造を特徴づける概念です。直交補空間を使うと、空間を直和分解できます。 直交の定義 ヒルベルト空...

バナッハの不動点定理（縮小写像の原理）は、完備距離空間上の縮小写像が一意の不動点をもつことを保証します。微分方程式の解の存在証明...

ハーン・バナッハの定理は、有界線形汎関数の拡張に関する定理です。双対空間の理論において中心的な役割を果たします。 定理の主張（ノ...

開写像定理は、バナッハ空間の間の全射有界線形作用素が開写像であることを主張します。閉グラフ定理と並ぶ関数解析の基本定理です。 開...

一様有界性原理（Banach-Steinhaus の定理）は、関数解析における基本定理の一つです。作用素の族が各点で有界ならば一...

双対空間はノルム空間の構造を理解するうえで不可欠な概念です。空間上の有界線形汎関数を集めたものとして定義されます。 有界線形汎関...

作用素ノルムは有界線形作用素の「大きさ」を測る量です。作用素全体の空間にノルム構造を与えます。 定義 ノルム空間 $X$, $Y...

有界線形作用素は、ノルム空間の間の写像として最も基本的なクラスです。線形性と有界性という2つの条件で特徴づけられます。 線形作用...

完備性は距離空間やノルム空間において中心的な概念です。コーシー列が収束するかどうかで空間の性質が大きく異なります。 コーシー列の...

和積公式は、三角関数の和や差を積に変換する公式です。方程式を因数分解の形に持ち込むときに使います。 和積公式（確認） \[ \s...

積和公式は、三角関数の積を和や差に変換する公式です。積分計算でよく使います。 積和公式（確認） \[ \sin\alpha\co...

半角公式は、角度を半分にしたときの三角関数を求める公式です。倍角公式を変形することで導けます。 半角公式（確認） \[ \sin...

三倍角公式は、角度を3倍にしたときの三角関数を求める公式です。加法定理と倍角公式を組み合わせて導きます。 三倍角公式（確認） \...

倍角公式は、角度を2倍にしたときの三角関数を求める公式です。加法定理で $\alpha = \beta$ とおくことで導けます。...

加法定理を使った計算問題を練習しましょう。$15°$、$75°$、$105°$ など、特殊角の組み合わせで表せる角度がよく出題さ...

加法定理は三角関数の公式の中で最も重要なものの一つです。ここでは $\cos(\alpha - \beta)$ の証明から始めて...

三角関数の積分は、微分公式の逆をたどることで得られます。置換積分や部分積分と組み合わせて使うことも多いです。 基本の積分公式 \...

三角関数の微分公式は、極限 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ を使って導かれます。まずは...

三角関数を使った面積・体積の計算は、図形問題や積分の応用としてよく出題されます。基本公式を押さえておきましょう。 三角形の面積 ...

三角関数の極限は、微分公式を導くうえで重要な役割を果たします。特に $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x...

弧度法（ラジアン）は、角度を円弧の長さで表す方法です。度数法（$60°$, $90°$ など）に比べて、数学的な計算がすっきりし...