三角関数の極限（lim sinx/x = 1 など）

三角関数の極限は、微分公式を導くうえで重要な役割を果たします。特に ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ は基本中の基本です。

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ の証明

単位円を使って証明します。$0<x<\frac{\pi }{2}$ のとき、次の不等式が成り立ちます。

$$\sin x<x<\tan x$$

左の不等式は、弧の長さ $x$ が弦の長さ $\sin x$ より長いことから従います。右の不等式は、扇形の面積と三角形の面積を比較するとわかります。

$\sin x<x<\tan x$ の各辺を $\sin x$ で割ると

$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$$

逆数をとって

$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

$x\to 0$ のとき $\cos x\to 1$ なので、はさみうちの原理より $\frac{\sin x}{x}\to 1$ が得られます。

関連する極限

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ から、次の極限も導けます。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$$

これは $\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}$ と分解して、$x\to 0$ で両方の因子が $1$ になることからわかります。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$

これは $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$ と変形して示せます。

応用例

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$ を求めてみます。$3x=t$ とおくと、$x\to 0$ のとき $t\to 0$ で

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t/3}=3\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=3$$

となります。