sin x を x で割ると 1 に近づく理由｜三角関数の極限

$x=0$ を代入すると $\frac{0}{0}$ になります。それでも $\frac{\sin x}{x}$ には行き先があります。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

$x=0.1$ で $0.99833$、$x=0.01$ で $0.9999833$、$x=0.001$ で $0.99999983$。

数を入れれば $1$ に寄っていくのは見えます。ただし、それは証明ではありません。

証明には図を使います。三角形と扇形の面積を比べる、というのが標準的な道すじです^[1]。

面積ではさむ

半径 $1$ の円で、中心角 $x$ の扇形を考えます。$0<x<\frac{\pi }{2}$ とします。

図の中に 3 つの領域が入れ子になります。小さい三角形、扇形、大きい三角形。

小さい三角形の面積は $\frac{1}{2}\sin x$。底辺 $1$、高さ $\sin x$ です。

扇形の面積は $\frac{1}{2}x$。半径 $1$ の扇形なので $\frac{1}{2}{r}^2\theta$ に $r=1$ を入れた形です^[2]。

大きい三角形は底辺 $1$、高さ $\tan x$ なので $\frac{1}{2}\tan x$ です。

包含関係から面積にも大小が付きます。

$$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x$$

つまり $\sin x<x<\tan x$。この不等式が出発点です^[1]。

はさみうちで仕上げる

$\sin x<x<\tan x$ の各辺を $\sin x$ で割ります。$0<x<\frac{\pi }{2}$ では $\sin x>0$ なので、不等号の向きは変わりません。

$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$$

逆数をとると向きが入れ替わります^[1]。

$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

$x\to 0$ のとき、左端の $\cos x$ は $1$ に近づきます。右端はもともと $1$。

両側が $1$ に寄るので、あいだにある $\frac{\sin x}{x}$ も $1$ へ追い込まれます。これがはさみうちです。

$x<0$ の場合も同じ値になります。$\frac{\sin x}{x}$ は偶関数で、$x$ を $-x$ に替えても分子分母の符号が同時に変わるため。

1 - cos x のほうは 0 に行く

$\frac{1-\cos x}{x}$ も $\frac{0}{0}$ の形です。こちらの行き先は $0$。

分母分子に $1+\cos x$ を掛けます。分子が $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$ になる。

$$\begin{array}{rl}\frac{1-\cos x}{x}& =\frac{{\sin }^{2}x}{x(1+\cos x)}\\ & =\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x}{1+\cos x}\end{array}$$

前半は $1$ へ、後半は $\frac{0}{2}=0$ へ向かいます^[1]。積は $0$。

分母を $x^2$ にすると答えが変わります。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}& =\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}\\ & =1\times \frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

$x$ で割れば $0$、$x^2$ で割れば $\frac{1}{2}$。$1-\cos x$ が $x^2$ と同じ速さで小さくなる、という意味です。

形をそろえて使う

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}$ を求めます。そのままでは $\frac{\sin \square }{\square }$ の形になっていません。

分母を $3x$ にそろえます。$\frac{\sin 3x}{x}=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}$。

$x\to 0$ のとき $3x\to 0$ なので、$\frac{\sin 3x}{3x}\to 1$。答えは $3$ です。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ も同じ手。分子分母をそれぞれ $x$ で割ります。

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin 2x}{\sin 5x}& =\frac{\frac{\sin 2x}{2x}\times 2}{\frac{\sin 5x}{5x}\times 5}⟶\frac{1\times 2}{1\times 5}\\ & =\frac{2}{5}\end{array}$$

$\tan$ が出てきたら $\frac{\sin }{\cos }$ に開きます。$\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1\times 1=1$。

中身と分母をそろえる。これがすべての問題で共通の一手です。

x が大きくなる場合

$x\to \infty$ では話が変わります。$\frac{\sin x}{x}$ の分子は $-1$ と $1$ のあいだで振れ続け、分母だけが大きくなる。

$$-\frac{1}{|x|}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{|x|}$$

両端が $0$ へ向かうので、はさみうちで $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$ です。

$\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{1}{x}$ は $1$ になります。$t=\frac{1}{x}$ と置くと $\frac{\sin t}{t}$ の形に戻るため。

$x\to \infty$ が $t\to 0$ に化けました。置きかえで $0$ の話へ引き戻すのが定石です。

$\underset{x\to \infty }{\lim }\sin x$ そのものは存在しません。値が $-1$ から $1$ を行き来し、どこにも落ち着かない。

まちがえやすい点

$x$ が度のままだと $1$ になりません。$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x^{\circ }}{x}=\frac{\pi }{180}$ です。

この公式はラジアン専用です。度の問題が出たら、まずラジアンへ直します。

中身と分母をそろえ忘れる誤りも多い。$\frac{\sin 3x}{x}$ の答えを $1$ としてしまう形。

$3$ を掛けて $\frac{\sin 3x}{3x}$ を作り、外に出した $3$ を残します。答えは $3$。

$\frac{1-\cos x}{x^2}$ を $0$ と答える誤りもよく起きます。分母が $x$ か $x^2$ かで結果が変わります。

$\cos$ の形も確かめます。

面積ではさみ、逆数で向きを返し、中身と分母をそろえる。三角関数の極限はこの 3 手で片づきます。

出典