三角関数の極限は、微分公式を導くうえで重要な役割を果たします。特に は基本中の基本です。
の証明
単位円を使って証明します。 のとき、次の不等式が成り立ちます。
左の不等式は、弧の長さ が弦の長さ より長いことから従います。右の不等式は、扇形の面積と三角形の面積を比較するとわかります。
の各辺を で割ると
逆数をとって
のとき なので、はさみうちの原理より が得られます。
関連する極限
から、次の極限も導けます。
これは と分解して、 で両方の因子が になることからわかります。
これは と変形して示せます。
の単位に注意
これらの極限公式は がラジアンのときに成り立ちます。度数法だと となってしまいます。
が に近いとき という近似が成り立ちます。物理などでよく使われる近似です。
応用例
を求めてみます。 とおくと、 のとき で
となります。
