和積公式は、三角関数の和や差を積に変換する公式です。方程式を因数分解の形に持ち込むときに使います。
和積公式（確認）
sinA+sinB=2sin2A+Bcos2A−B
sinA−sinB=2cos2A+Bsin2A−B
cosA+cosB=2cos2A+Bcos2A−B
cosA−cosB=−2sin2A+Bsin2A−B
例題1：sin75°+sin15° を計算する
A=75°、B=15° として公式に代入します。
sin75°+sin15°=2sin275°+15°cos275°−15°=2sin45°cos30°
=2⋅22⋅23=26
例題2：cos75°−cos15° を計算する
cos75°−cos15°=−2sin275°+15°sin275°−15°=−2sin45°sin30°
=−2⋅22⋅21=−22
例題3：sin3x+sinx=0 を解く（0≤x<2π）
和積公式で積に変換します。
2sin23x+xcos23x−x=0
2sin2xcosx=0
sin2x=0 または cosx=0 です。
sin2x=0 より 2x=0,π,2π,3π、つまり x=0,2π,π,23π
cosx=0 より x=2π,23π
重複を除いて x=0,2π,π,23π です。
例題4：cos5x−cos3x=0 を解く（0≤x<2π）
−2sin25x+3xsin25x−3x=0
−2sin4xsinx=0
sin4x=0 または sinx=0 です。
sinx=0 より x=0,π
sin4x=0 より 4x=0,π,2π,3π,4π,5π,6π,7π、つまり x=0,4π,2π,43π,π,45π,23π,47π
したがって x=0,4π,2π,43π,π,45π,23π,47π です。
sin の和は「sin と cos の積」、cos の和は「cos と cos の積」と覚えます。cos の差だけマイナスがつきます。
和積公式は積和公式の逆です。α+β=A、α−β=B とおくと α=2A+B、β=2A−B になることを使っています。
