和積公式の計算

和積公式は、三角関数の和や差を積に変換する公式です。方程式を因数分解の形に持ち込むときに使います。

和積公式（確認）

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$

$$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$

$$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$

$$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$

例題1：$\sin 75°+\sin 15°$ を計算する

$A=75°$、$B=15°$ として公式に代入します。

$$\sin 75°+\sin 15°=2\sin \frac{75°+15°}{2}\cos \frac{75°-15°}{2}=2\sin 45°\cos 30°$$

$$=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

例題2：$\cos 75°-\cos 15°$ を計算する

$$\cos 75°-\cos 15°=-2\sin \frac{75°+15°}{2}\sin \frac{75°-15°}{2}=-2\sin 45°\sin 30°$$

$$=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

例題3：$\sin 3x+\sin x=0$ を解く（$0\le x<2\pi$）

和積公式で積に変換します。

$$2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}=0$$

$$2\sin 2x\cos x=0$$

$\sin 2x=0$ または $\cos x=0$ です。

$\sin 2x=0$ より $2x=0,\pi ,2\pi ,3\pi$、つまり $x=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$

$\cos x=0$ より $x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$

重複を除いて $x=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$ です。

例題4：$\cos 5x-\cos 3x=0$ を解く（$0\le x<2\pi$）

$$-2\sin \frac{5x+3x}{2}\sin \frac{5x-3x}{2}=0$$

$$-2\sin 4x\sin x=0$$

$\sin 4x=0$ または $\sin x=0$ です。

$\sin x=0$ より $x=0,\pi$

$\sin 4x=0$ より $4x=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,5\pi ,6\pi ,7\pi$、つまり $x=0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{4}$

したがって $x=0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{4}$ です。