和を積に直すと因数分解できる（和積の公式と三角方程式）

$\sin 3\theta +\sin \theta =0$ といった足し算の式は積の形にすると解きやすくなります。

$$\sin 3\theta +\sin \theta =2\sin 2\theta \cos \theta$$

積が $0$ になるのは、$\sin 2\theta$ または $\cos \theta$ が $0$ のとき。和積公式は、三角関数の式を因数分解する道具ともいえますね。

平均と差の半分

次の 4 つを和積の公式といいます。

$$\begin{array}{rl}\sin A+\sin B& =2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\\ \sin A-\sin B& =2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\\ \cos A+\cos B& =2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\\ \cos A-\cos B& =-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\end{array}$$

右辺に並ぶ角は $\frac{A+B}{2}$ と $\frac{A-B}{2}$ の 2 つだけです。平均と、差の半分。

この 2 つは加法定理からたどれます。$\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$ の左辺の角を $A$、$B$ と呼ぶと、$a+b=A$ と $a-b=B$ の連立になり、解くと $a=\frac{A+B}{2}$、$b=\frac{A-B}{2}$ になります^[3]。

足し算の $\sin$ では平均のほうに $\sin$ がつき、引き算にすると $\sin$ と $\cos$ がいれかわる。$\cos$ の引き算だけ、先頭に $-2$ がつきます。

どれがどれだったか怪しくなったら、$A=B$ を入れてみます。引き算の 2 つは左辺が $0$ になり、差の半分も $\frac{A-A}{2}=0$ なので、$\sin$ が差の半分についている式だけが $\sin 0=0$ で消える。消えたのが引き算の 2 つなら、位置は合っています。

平均は真ん中に立ちます。そこから $A$ までの距離が差の半分にあたる。

例：$\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }$

平均は $45^{\circ }$、差の半分は $30^{\circ }$。

$$\begin{array}{rl}2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }& =2\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & =\frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$$

加法定理を使っても同じ値になります。$\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$、$\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ なので、足すと $\sqrt{2}$ が打ち消し合って $\frac{2\sqrt{6}}{4}$ が残る。

加法定理は 2 つの角を別々に展開してから足す道具で、和積は足し算の形のまま 1 度で書きかえる。

例：$\cos 75^{\circ }-\cos 15^{\circ }$

$\cos$ の引き算なので先頭が $-2$。平均と差の半分は前の例と同じです。

$$\begin{array}{rl}-2\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }& =-2\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}\\ & =-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$$

$\cos 75^{\circ }$ は $\sin 15^{\circ }$ に、$\cos 15^{\circ }$ は $\sin 75^{\circ }$ に等しいので、引くと今度は $\sqrt{6}$ のほうが消えます。順を逆にした $\cos 15^{\circ }-\cos 75^{\circ }$ なら符号が変わり、$+\frac{\sqrt{2}}{2}$ になる。

例：$0\le \theta <2\pi$ で $\cos 3\theta +\cos \theta =0$

平均は $2\theta$、差の半分は $\theta$ で、$\cos$ の足し算なので両方に $\cos$ がつく。

$$\begin{array}{rl}\cos 3\theta +\cos \theta & =2\cos 2\theta \cos \theta \\ & =0\end{array}$$

積が $0$ なので $\cos 2\theta =0$ と $\cos \theta =0$ に分かれます。ここで見落としやすいのが、前者の角が $\theta$ ではなく $2\theta$ になっている点。

$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くあいだ、$2\theta$ は $0$ から $4\pi$ まで動きます。範囲が 2 倍に伸びるぶん、拾う解も 2 倍になる。$2\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi ,\frac{5}{2}\pi ,\frac{7}{2}\pi$ に対応する $\theta$ は、$\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi$ の 4 つです。

$\cos \theta =0$ からは $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$ の 2 つ。重なりがないので、合わせて 6 つになる。

同じ式を和の形と積の形で描くと、解の位置の読みやすさが変わります。

同じ手順は、ほかの式でも変わりません。

引き算の式では、重なりが起きることもある。

例：$\cos t+\cos 2t$ の符号

$0$ になる場所だけでなく、符号も同じ手で読めます。平均は $\frac{3t}{2}$、差の半分は $\frac{t}{2}$。

$$\cos t+\cos 2t=2\cos \frac{3t}{2}\cos \frac{t}{2}$$

2 つの $\cos$ の符号を別々に調べ、かけ合わせれば全体の符号が決まります^[3]。

例：$A+B+C=\pi$ なら $\sin A+\sin B+\sin C$ は積になる

前の 2 項に和積を当てると $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ になります。$A+B=\pi -C$ なので $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$ となり、$\sin \frac{A+B}{2}$ は $\cos \frac{C}{2}$ に変わる。

残る $\sin C$ は 2 倍角で $2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$ です。同じ関係から $\sin \frac{C}{2}=\cos \frac{A+B}{2}$ なので、こちらも $\cos \frac{C}{2}$ を持つ。

全体を $2\cos \frac{C}{2}$ でくくると、残るのは $\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}$。これにもう一度和積を当てると $2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}$ になる。

$$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$$

正三角形で確かめます。$A=B=C=60^{\circ }$ なら左辺は $\frac{3\sqrt{3}}{2}$、右辺は $4{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ で一致する。

対数がなかった時代の計算法

この 4 つは、逆向きに読むこともできます。$\cos a\cos b=\frac{\cos (a+b)+\cos (a-b)}{2}$ のように、積を和に落とす形。

対数がまだなかった 16 世紀の天文計算では、こちらの向きが本命でした。名前もプロスタファイレシスといい、ギリシャ語の足し算と引き算をつないだ語になっている。

手順を追ってみます。$0.15732\times 0.35762$ を計算したいとき、まず余弦の表から $\cos 80^{\circ }56^{\prime }55^{\prime \prime }=0.15732$ と $\cos 69^{\circ }{2}^{\prime }45^{\prime \prime }=0.35762$ を見つける。

角を足した $149^{\circ }59^{\prime }40^{\prime \prime }$ と、引いた $11^{\circ }54^{\prime }11^{\prime \prime }$ の余弦は $-0.86598$ と $0.97850$。平均をとると $0.056260$ で、これが求める積になる^[1]。使ったのは表引きと足し引きで、かけ算は一度もありません。

最初の式を書いたのは Johannes Werner で、1510 年ごろとされます^[1]。ただし出版はされず、人づてに広まる。1580 年にウラニボルグを訪ねた Paul Wittich が、Tycho Brahe にこの計算法を教えました^[2]。

誰の発明かは当時から争いになります。Brahe も自分の役割を主張しました。後世が選んだのは、最初に印刷した Ursus のほう^[2]。

この計算法の使い手だった Napier と Bürgi が、のちに対数を作ります。求められていたのは、かけ算を足し算に変える方法。三角関数の表がその最初の答えになりました。

記事で使ったのは、その裏返しの向き。積を和にすれば計算の道具になり、和を積にすれば方程式を解く道具になります。

参考