知っている 2 つの角に割ってしまう〜加法定理の計算

$105^{\circ }$ の値を出せと言われたら、まず $60^{\circ }+45^{\circ }$ と書き直します。

知っている 2 つの角に割る。加法定理の計算は、ほとんどがこの一手から始まります。

$$\begin{array}{rl}\sin 105^{\circ }& =\sin 60^{\circ }\cos 45^{\circ }+\cos 60^{\circ }\sin 45^{\circ }\\ & =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

出てくる問題は型がいくつかに分かれます^[1]。角を割る型、値だけが与えられる型、式を示す型、角そのものを当てる型。

順に片づけていきます。

割り方を決める

使える角は $30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$60^{\circ }$、$90^{\circ }$、$180^{\circ }$ です。この和や差で目標を作ります。

$75^{\circ }$ なら $45+30$。$15^{\circ }$ なら $45-30$。$105^{\circ }$ なら $60+45$。

$165^{\circ }$ は $120+45$ とも $180-15$ とも書けます。どちらでも同じ値に着きます。

$180-\theta$ の形を使うなら、公式より $\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta$ のほうが速い^[2]。

$$\begin{array}{rl}\sin 165^{\circ }& =\sin 15^{\circ }\\ & =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

割り方は 1 通りではありません。手数が少なくなる道を選びます。

例：cos 195° と tan 285°

$195^{\circ }$ は $180^{\circ }+15^{\circ }$ です。$\cos (180^{\circ }+\theta )=-\cos \theta$ を使います。

$$\begin{array}{rl}\cos 195^{\circ }& =-\cos 15^{\circ }\\ & =-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

$195^{\circ }$ は第 3 象限なので $\cos$ が負。符号も合っています。

$\tan 285^{\circ }$ は $\tan$ の周期 $180^{\circ }$ を使って $\tan 105^{\circ }$ に直せます。

$105^{\circ }=60^{\circ }+45^{\circ }$ なので、$\tan$ の加法定理へ。

$$\begin{array}{rl}\tan 105^{\circ }& =\frac{\tan 60^{\circ }+\tan 45^{\circ }}{1-\tan 60^{\circ }\tan 45^{\circ }}\\ & =\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}\end{array}$$

分母を有理化します。$\frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}$。

$-2-\sqrt{3}\fallingdotseq -3.73$ です。$285^{\circ }$ は第 4 象限なので $\tan$ が負。合っています。

値だけが与えられる型

$\alpha$ は第 2 象限で $\sin \alpha =\frac{3}{5}$、$\beta$ は第 4 象限で $\cos \beta =\frac{12}{13}$ とします。

まず足りない値を出します。ここで象限が効きます。

第 2 象限では $\cos$ が負なので $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$。第 4 象限では $\sin$ が負なので $\sin \beta =-\frac{5}{13}$。

$$\begin{array}{rl}\sin (\alpha +\beta )& =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{5}{13}\right)\\ & =\frac{36+20}{65}\\ & =\frac{56}{65}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos (\alpha +\beta )& =\left(-\frac{4}{5}\right)\frac{12}{13}-\frac{3}{5}\left(-\frac{5}{13}\right)\\ & =\frac{-48+15}{65}\\ & =-\frac{33}{65}\end{array}$$

検算します。$56^2+33^2=3136+1089=4225=65^2$。単位円に乗りました。

$\sin$ が正で $\cos$ が負なので、$\alpha +\beta$ は第 2 象限にあります。

$\tan (\alpha +\beta )$ も出せます。$\frac{56/65}{-33/65}=-\frac{56}{33}$。

式を示す型

$\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta$ を示します。

左辺を展開します。和と差の積なので $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ の形になる。

$$(\sin \alpha \cos \beta {)}^2-(\cos \alpha \sin \beta {)}^2={\sin }^2\alpha {\cos }^2\beta -{\cos }^2\alpha {\sin }^2\beta$$

${\cos }^2\beta =1-{\sin }^2\beta$、${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$ を入れます。

${\sin }^2\alpha -{\sin }^2\alpha {\sin }^2\beta -{\sin }^2\beta +{\sin }^2\alpha {\sin }^2\beta$。

中央の 2 項が打ち消し合い、${\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta$ が残りました。

証明の型では、展開したあと ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で片方にそろえる。この流れが定番です。

角そのものを当てる型

$\alpha$ と $\beta$ が鋭角で $\tan \alpha =\frac{1}{2}$、$\tan \beta =\frac{1}{3}$ のとき、$\alpha +\beta$ を求めます。

$\tan$ の加法定理に入れます。

$$\begin{array}{rl}\tan (\alpha +\beta )& =\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}\\ & =\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\\ & =1\end{array}$$

$\tan (\alpha +\beta )=1$ です。分子と分母が同じ値になり、きれいに $1$ が出ました。

角を決めるには範囲が要ります。$\alpha$ も $\beta$ も鋭角なので $0<\alpha +\beta <\pi$。

この範囲で $\tan$ が $1$ になるのは $\frac{\pi }{4}$ だけです。$\frac{5}{4}\pi$ は範囲の外。

$$\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$$

$\tan$ の値から角を決めるときは、必ず範囲を書き添えます。$\tan$ は $\pi$ ごとに同じ値をとるためです。

まちがえやすい点

$\cos$ の符号をとりちがえる誤りが最も多い。足し算のとき $\cos$ は引き算です。

$\alpha =\beta$ を入れて $\cos 0=1$ になるかを見れば、その場で確かめられます。

割り方をまちがえる誤りもあります。$105^{\circ }$ を $50^{\circ }+55^{\circ }$ に割っても、値が分からないので進みません。

象限を読まずに $\pm$ のまま進む形も減点になります。答えが 2 通りになったら、条件を読み落としています。

$\tan$ の答えで範囲を書き忘れる誤りも多い。値が $1$ でも、角は $\frac{\pi }{4}$ と $\frac{5}{4}\pi$ の 2 つあります。

角を当てる型も確かめます。

知っている角に割る。象限で符号を決める。範囲で角を絞る。計算問題はこの 3 つで型が付きます。

参考文献