加法定理の計算

加法定理を使った計算問題を練習しましょう。 $15°$ 、 $75°$ 、 $105°$ など、特殊角の組み合わせで表せる角度がよく出題されます。

加法定理の公式（確認）

$sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β$

$cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β$

$tan (α \pm β) = \frac{tan α \pm tan β}{1 \mp tan α tan β}$

$75° = 45° + 30°$ と分解します。

$sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4} = \frac{6 + 2}{4}$

$15° = 45° - 30°$ と分解します。

$cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$

$105° = 60° + 45°$ と分解します。

$tan 105° = \frac{tan 60° + tan 45°}{1 - tan 60° tan 45°} = \frac{3 + 1}{1 - 3 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{1 - 3}$

分母を有理化します。

$= \frac{( 3 + 1 ) ( 1 + 3 )}{( 1 - 3 ) ( 1 + 3 )} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{1 - 3} = \frac{3 + 2 3 + 1}{- 2} = \frac{4 + 2 3}{- 2} = - 2 - 3$

$α$ 、 $β$ はともに第1象限の角とします。

まず $cos α$ と $sin β$ を求めます。 $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ より

$cos α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$

同様に $sin β = 1 - \frac{144}{169} = \frac{5}{13}$ です。

加法定理に代入します。

$sin (α + β) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$

角度の分解パターン

$15° = 45° - 30° = 60° - 45°$ 、 $75° = 45° + 30°$ 、 $105° = 60° + 45°$ などがよく使われます。

符号の判定

$sin α$ や $cos β$ の値から残りを求めるとき、角度の範囲によって符号が変わります。問題文の条件を確認しましょう。