加法定理の計算

加法定理を使った計算問題を練習しましょう。$15°$、$75°$、$105°$ など、特殊角の組み合わせで表せる角度がよく出題されます。

加法定理の公式（確認）

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

例題1：$\sin 75°$ を求める

$75°=45°+30°$ と分解します。

$$\sin 75°=\sin (45°+30°)=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°$$

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

例題2：$\cos 15°$ を求める

$15°=45°-30°$ と分解します。

$$\cos 15°=\cos (45°-30°)=\cos 45°\cos 30°+\sin 45°\sin 30°$$

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

例題3：$\tan 105°$ を求める

$105°=60°+45°$ と分解します。

$$\tan 105°=\frac{\tan 60°+\tan 45°}{1-\tan 60°\tan 45°}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$$

分母を有理化します。

$$=\frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{1-3}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{-2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}$$

例題4：$\sin \alpha =\frac{3}{5}$、$\cos \beta =\frac{12}{13}$ のとき $\sin (\alpha +\beta )$ を求める

$\alpha$、$\beta$ はともに第1象限の角とします。

まず $\cos \alpha$ と $\sin \beta$ を求めます。${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ より

$$\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$$

同様に $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$ です。

加法定理に代入します。

$$\sin (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{56}{65}$$