加法定理を使った計算問題を練習しましょう。15°、75°、105° など、特殊角の組み合わせで表せる角度がよく出題されます。
加法定理の公式（確認）
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ
例題1：sin75° を求める
75°=45°+30° と分解します。
sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=22⋅23+22⋅21=46+42=46+2
例題2：cos15° を求める
15°=45°−30° と分解します。
cos15°=cos(45°−30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°
=22⋅23+22⋅21=46+2
例題3：tan105° を求める
105°=60°+45° と分解します。
tan105°=1−tan60°tan45°tan60°+tan45°=1−3⋅13+1=1−33+1
分母を有理化します。
=(1−3)(1+3)(3+1)(1+3)=1−3(3+1)2=−23+23+1=−24+23=−2−3
例題4：sinα=53、cosβ=1312 のとき sin(α+β) を求める
α、β はともに第1象限の角とします。
まず cosα と sinβ を求めます。sin2α+cos2α=1 より
cosα=1−259=54
同様に sinβ=1−169144=135 です。
加法定理に代入します。
sin(α+β)=53⋅1312+54⋅135=6536+6520=6556
15°=45°−30°=60°−45°、75°=45°+30°、105°=60°+45° などがよく使われます。
sinα や cosβ の値から残りを求めるとき、角度の範囲によって符号が変わります。問題文の条件を確認しましょう。
