グラフの傾きを追うと sin は cos になる - 三角関数の微分

$y=\sin x$ の各点で接線を引き、その傾きを並べていくと $y=\cos x$ が描けます。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

$x=0$ で $\sin$ のグラフは最も急に昇り、傾きは $1$。$\cos 0=1$ と合っています。

$x=\frac{\pi }{2}$ では頂上なので傾きは $0$。$\cos \frac{\pi }{2}=0$。ここも合う。

係数が付かないきれいな形になるのは、角をラジアンで測っているからです^[1]。

定義に戻って導く

微分の定義に入れます。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$$

分子を加法定理でばらします。$\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$。

$$\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}=\sin x\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}$$

$\sin x$ でくくれる部分と、$\cos x$ でくくれる部分に分かれました。

ここで極限の 2 つの結果を使います。$\frac{\sin h}{h}\to 1$ と $\frac{\cos h-1}{h}\to 0$ です^[2]。

前半は $\sin x\times 0=0$、後半は $\cos x\times 1=\cos x$。合わせて $\cos x$ が残ります。

加法定理と 2 つの極限。この 2 つがあれば、微分公式は自分で作れます。

cos の微分に負号が付く理由

$\cos$ でも同じ計算をすると $-\sin x$ が出ます。負号はどこから来たのか。

グラフで見ると素直です。$x=0$ の近くで $\cos$ は下り坂になっています。

$\cos 0=1$ が最大値で、そこから減っていく。だから傾きは負です。$-\sin 0=0$ から始まり、負へ入る。

$\sin$ が上り坂から始まるのに対し、$\cos$ は頂上から始まる。この差が負号になっています。

tan の微分

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ なので、商の微分を当てます。

分子は $(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$。

分母は ${\cos }^{2}x$ です。

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

分子が $1$ になるのは相互関係のおかげ。${\sin }^2+{\cos }^2=1$ がここでも効いています^[3]。

$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ はつねに正です。$\tan$ のグラフが各区間で増え続けることと合っています。

$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ を使って $(\tan x{)}^{\prime }=1+{\tan }^{2}x$ と書くこともあります。

中身が x でないとき

$(\sin 2x{)}^{\prime }$ は $\cos 2x$ ではありません。中身の微分が外に出ます。

$$(\sin ax{)}^{\prime }=a\cos ax$$

$(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$、$(\cos 3x{)}^{\prime }=-3\sin 3x$ です。

確かめ方があります。$\sin 2x$ は $\sin x$ より波が 2 倍細かいので、傾きも 2 倍きつくなる。

一般の合成でも同じです。$(\sin f(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cos f(x)$。

${\left(\sin (x^2)\right)}^{\prime }=2x\cos (x^2)$ になります。中身をそのまま残し、その微分を前に掛ける。

積になっている場合

$y=x\sin x$ を微分します。積の微分公式を使う。

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ なので、$(x\sin x{)}^{\prime }=1\times \sin x+x\times \cos x=\sin x+x\cos x$。

$y=e^x\sin x$ なら $e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)$ です。

${\sin }^{2}x$ は合成として扱えます。$2\sin x\times (\sin x{)}^{\prime }=2\sin x\cos x$。

$2\sin x\cos x=\sin 2x$ なので、$({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=\sin 2x$ とも書ける。2 倍角がここで顔を出します。

4 回微分すると戻る

$\sin x$ を続けて微分していきます。$\cos x$、$-\sin x$、$-\cos x$、そして $\sin x$。

4 回で一巡します。$90^{\circ }$ ずつ回っている、と見ることもできる。

$100$ 回微分せよ、という問題はこの周期で解けます。$100÷4=25$ で余りが $0$ なので、$\sin x$ に戻る。

$101$ 回なら余りが $1$ で $\cos x$ です。余りだけを見ればよい。

極値を求める

$y=\sin x+\cos x$ の $0\le x<2\pi$ での最大と最小を出します。

微分すると $y^{\prime }=\cos x-\sin x$。$y^{\prime }=0$ を解きます。

$\cos x=\sin x$ から $\tan x=1$、つまり $x=\frac{\pi }{4}$ と $\frac{5}{4}\pi$。

$x=\frac{\pi }{4}$ の前後で $y^{\prime }$ は正から負へ変わるので、ここが極大です。

値は $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。$x=\frac{5}{4}\pi$ では $-\sqrt{2}$ で極小になります。

合成すると $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ なので、振幅が $\sqrt{2}$。微分せずとも同じ答えが読めます。

2 通りで一致したので、計算に自信が持てます。

まちがえやすい点

$(\cos x{)}^{\prime }$ の負号を落とす誤りが最も多い。$\sin$ から $\cos$ へは符号がそのまま、$\cos$ から $\sin$ へは負が付きます。

$\sin$ のグラフが原点で上り、$\cos$ が $x=0$ で下る。ここを思い出せば向きが決まります。

$(\sin 2x{)}^{\prime }$ を $\cos 2x$ とする誤りも同じくらい起きます。中身の微分 $2$ を外に出します。

$\frac{d}{dx}\sin x^{\circ }$ を $\cos x^{\circ }$ とする誤りもあります。度では $\frac{\pi }{180}$ が掛かる^[1]。

$(\tan x{)}^{\prime }$ を $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ とするとり違えも見ます。分母は $\cos$ のほうです。

積の形も確かめます。

加法定理でばらし、2 つの極限を当てる。微分公式は覚える前に、一度は自分で作れます。

参考文献