三角関数の微分公式

三角関数の微分公式は、極限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を使って導かれます。まずは基本の3つを覚えましょう。

基本の微分公式

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$

$$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

$$\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$$

$\sin x$ の微分の証明

定義に従って計算します。

$$\frac{d}{dx}\sin x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$$

加法定理を使うと、分子は

$$\sin (x+h)-\sin x=\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x=\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h$$

となるので

$$\frac{d}{dx}\sin x=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\sin x\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}\right)$$

${\lim }_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ と ${\lim }_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0$ を使えば、$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ が得られます。

合成関数の微分

$\sin (ax)$ や $\cos (f(x))$ の微分では、連鎖律（チェーンルール）を使います。

$$\frac{d}{dx}\sin (ax)=a\cos (ax)$$

$$\frac{d}{dx}\cos (f(x))=-\sin (f(x))\cdot f^{\prime }(x)$$

逆三角関数の微分

逆三角関数の微分公式も重要です。

$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$$

$\arctan x$ の微分は $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$ という積分公式につながります。