三角関数の微分公式は、極限 limx→0xsinx=1 を使って導かれます。まずは基本の3つを覚えましょう。
基本の微分公式
dxdsinx=cosx
dxdcosx=−sinx
dxdtanx=cos2x1=1+tan2x
sinx の微分の証明
定義に従って計算します。
dxdsinx=h→0limhsin(x+h)−sinx
加法定理を使うと、分子は
sin(x+h)−sinx=sinxcosh+cosxsinh−sinx=sinx(cosh−1)+cosxsinh
となるので
dxdsinx=h→0lim(sinx⋅hcosh−1+cosx⋅hsinh)
limh→0hsinh=1 と limh→0hcosh−1=0 を使えば、dxdsinx=cosx が得られます。
合成関数の微分
sin(ax) や cos(f(x)) の微分では、連鎖律（チェーンルール）を使います。
dxdsin(ax)=acos(ax)
dxdcos(f(x))=−sin(f(x))⋅f′(x)
| 関数 | 導関数 |
| sin2x | 2cos2x |
| cos3x | −3sin3x |
| tanx2 | cos2(x2)2x |
| sin2x | 2sinxcosx=sin2x |
逆三角関数の微分
逆三角関数の微分公式も重要です。
dxdarcsinx=1−x21
dxdarccosx=−1−x21
dxdarctanx=1+x21
arctanx の微分は ∫1+x21dx=arctanx+C という積分公式につながります。
