有界線形作用素

有界線形作用素は、ノルム空間の間の写像として最も基本的なクラスです。線形性と有界性という2つの条件で特徴づけられます。

線形作用素

ノルム空間 $X$, $Y$ に対して、写像 $T:X\to Y$ が 線形 であるとは、次が成り立つことをいいます。

$$T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)(\forall x,y\in X,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{K})$$

ここで $\mathbb{K}$ はスカラー体（$\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$）です。

有界性の定義

線形作用素 $T:X\to Y$ が 有界 であるとは、ある定数 $M\ge 0$ が存在して

$$\Vert Tx{\Vert }_Y\le M\Vert x{\Vert }_X(\forall x\in X)$$

が成り立つことをいいます。

このような $M$ の下限を $T$ の 作用素ノルム といい、$\Vert T\Vert$ と書きます。

有界性と連続性の同値性

線形作用素に対して、次の3条件は同値です。

一般の写像では連続性と有界性は異なる概念ですが、線形性があると同値になります。これは線形作用素の大きな特徴です。

例

有限次元ノルム空間では、すべての線形作用素が有界になります。無限次元では有界でない線形作用素が存在します。