有界線形作用素は、ノルム空間の間の写像として最も基本的なクラスです。線形性と有界性という2つの条件で特徴づけられます。
線形作用素
ノルム空間 , に対して、写像 が 線形 であるとは、次が成り立つことをいいます。
ここで はスカラー体（ または ）です。
有界性の定義
線形作用素 が 有界 であるとは、ある定数 が存在して
が成り立つことをいいます。
このような の下限を の 作用素ノルム といい、 と書きます。
有界性と連続性の同値性
線形作用素に対して、次の3条件は同値です。
有界性
ある が存在して （すべての ）
連続性
の位相と の位相に関して連続
原点での連続性
ならば
一般の写像では連続性と有界性は異なる概念ですが、線形性があると同値になります。これは線形作用素の大きな特徴です。
例
| 微分作用素 | 、線形だが sup ノルムでは有界でない |
| 積分作用素 | 、有界線形 |
| シフト作用素 | 、有界線形 |
有限次元ノルム空間では、すべての線形作用素が有界になります。無限次元では有界でない線形作用素が存在します。
