有界線形作用素

有界線形作用素は、ノルム空間の間の写像として最も基本的なクラスです。線形性と有界性という2つの条件で特徴づけられます。

線形作用素

ノルム空間 $X$ , $Y$ に対して、写像 $T : X \to Y$ が線形であるとは、次が成り立つことをいいます。

$T (α x + β y) = α T (x) + β T (y) (\forall x, y \in X, \forall α, β \in K)$

ここで $K$ はスカラー体（ $R$ または $C$ ）です。

線形作用素 $T : X \to Y$ が有界であるとは、ある定数 $M \geq 0$ が存在して

$∥ T x ∥_{Y} \leq M ∥ x ∥_{X} (\forall x \in X)$

が成り立つことをいいます。

このような $M$ の下限を $T$ の 作用素ノルム といい、 $∥ T ∥$ と書きます。

線形作用素に対して、次の3条件は同値です。

有界性

ある $M \geq 0$ が存在して $∥ T x ∥ \leq M ∥ x ∥$ （すべての $x$ ）

連続性

$X$ の位相と $Y$ の位相に関して連続

原点での連続性

$x_{n} \to 0$ ならば $T x_{n} \to 0$

一般の写像では連続性と有界性は異なる概念ですが、線形性があると同値になります。これは線形作用素の大きな特徴です。

有限次元ノルム空間では、すべての線形作用素が有界になります。無限次元では有界でない線形作用素が存在します。