「有界」は像のことではない - 有界線形作用素と連続性

ノルム空間のあいだの線形写像 $T:X\to Y$ が有界であるとは、定数 $M\ge 0$ がとれて次が成り立つことをいいます^[1]。

$$\Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert (\forall x\in X)$$

入力の大きさに比例した上限が、出力にかぶさっている。そういう形の条件です。

「有界」は像が有界という意味ではない

用語に落とし穴があります。ふつう「有界な写像」といえば像が有界集合に収まる写像を指しますが、ここでの用法は違う^[1]。

線形写像で像が有界になるのは零写像だけです。$Tx\ne 0$ なら $T(nx)=nTx$ の大きさがいくらでも大きくなるから。

そこで関数解析では、有界集合を有界集合へ写すこと、つまり比例した上限があることを「有界」と呼びます^[1]。単位球の行き先が有限の範囲に収まるか、と読むと近いです。

有界と連続が同じことになる

線形写像に限ると、有界性と連続性が一致します^[3]。しかも次の 4 つがすべて同値。

有界から連続が出るのは 1 行です。$\Vert Tx-Ty\Vert =\Vert T(x-y)\Vert \le M\Vert x-y\Vert$ なので、$\delta =\epsilon /M$ ととればよい^[3]。

逆向きが面白いところです。原点での連続性だけを仮定します。$\epsilon =1$ に対し $\delta >0$ をとって、$\Vert x\Vert \le \delta$ なら $\Vert Tx\Vert \le 1$ とする。

$x\ne 0$ に対して $\tilde{x}=\delta x/\Vert x\Vert$ と置くと $\Vert \tilde{x}\Vert =\delta$ なので $\Vert T\tilde{x}\Vert \le 1$。線形性で戻すと結論が出ます。

$$\Vert Tx\Vert =\frac{\Vert x\Vert }{\delta }\Vert T\tilde{x}\Vert \le \frac{1}{\delta }\Vert x\Vert$$

1 点での連続性が全体の連続性に化けました。線形性がここで効いています^[3]。

有限次元なら必ず有界

定義域が有限次元なら、線形写像は無条件で有界です^[1]。行列で書けるものはすべて有界作用素、と言い換えられる。

基底をとって成分で書けば、各成分が入力の成分の有限個の 1 次結合になります。有限個の和なので、係数の大きさから上限が作れます。

有限次元では、どの 2 つのノルムも同値になることも効いています^[4]。どのノルムで測っても有界性の判定が変わりません。

例：微分作用素は有界でない

$C^1[0,1]$ に最大値ノルムを入れ、$Df=f^{\prime }$ を考えます^[2]。

$f_n(x)=x^n$ をとると $\Vert f_n{\Vert }_{\infty }=1$ ですが、$f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ なので $\Vert D{f}_n{\Vert }_{\infty }=n$。

$$\frac{\Vert D{f}_n{\Vert }_{\infty }}{\Vert f_n{\Vert }_{\infty }}=n⟶\infty$$

比がいくらでも大きくなるので、上限になる定数が存在しません。$f_n(x)=\sin (nx)$ でも同じで、値は $1$ 以下なのに傾きが $n$ まで立ちます。

指数関数を使う見方もあります^[4]。$u(x)=e^{\lambda x}$ は $Du=\lambda u$ を満たすので、$\lambda$ をいくらでも大きくとれる。固有値が無限に散らばっている、という形。

微分作用素が非有界であることは、扱いにくさの根っこにあります^[4]。定義域を狭めたり、ノルムを替えたりして、有界な枠に持ち込む工夫が要る。

作用素の全体もノルム空間になる

$X$ から $Y$ への有界線形作用素の全体を $B(X,Y)$ と書きます^[4]。和とスカラー倍が自然に入り、作用素ノルムでノルム空間になる。

合成についても閉じています。$T\in B(X,Y)$ と $S\in B(Y,Z)$ なら $ST\in B(X,Z)$ で、ノルムに劣乗法性が成り立つ^[2]。

$$\Vert ST\Vert \le \Vert S\Vert \Vert T\Vert$$

等号とは限りません。$S$ が $T$ の像をつぶす向きに働けば、積のノルムは小さくなる。

稠密な部分空間で決めれば全体が決まる

有界性のいちばん実用的な帰結がこれです^[4]。$Y$ をバナッハ空間、$M$ を $X$ の稠密な部分空間とします。

$M$ の上の有界線形作用素 $T$ は、$X$ 全体の有界線形作用素へただひとつ延びます。しかもノルムは変わらない。

証明は極限で定めるだけ。$x\in X$ に $M$ の列 $x_n$ を近づけると、$(T{x}_n)$ がコーシー列になり、$Y$ の完備性から収束します^[4]。

近づけ方によらないことも、2 つの列の差を評価すれば出ます。この定理があるので、扱いやすい関数の上で作用素を定義し、あとから全体へ広げる、という手順がとれる。

同型のいろいろ

作用素の言葉で、空間どうしの「同じさ」を分けて呼びます^[4]。

ノルムの同値も同じ枠で言えます。$c\Vert x{\Vert }_1\le \Vert x{\Vert }_2\le C\Vert x{\Vert }_1$ が成り立つとき、2 つのノルムは同値^[4]。

同値なら生成する位相が一致します。逆も成り立つので、「同じ位相を作る」ことと「同値である」ことが同じ意味になる。

よくある誤り

参考文献