部分空間の上で決めた汎関数を、空間全体へ延ばす。線形なだけの延長なら基底を継ぎ足せば作れますが、ノルムを増やさずに延ばせるところがこの定理の中身です。劣線形関数で押さえる一般形から入り、1 次元ずつ広げてツォルンの補題で極大をとる筋道をたどる。ノルムを実現する汎関数の存在、点の分離、部分空間からの距離、そして凸集合を分ける超平面まで。