ハーン・バナッハの定理

ハーン・バナッハの定理は、有界線形汎関数の拡張に関する定理です。双対空間の理論において中心的な役割を果たします。

定理の主張（ノルム空間版）

$X$ をノルム空間、$M\subset X$ を部分空間とします。$M$ 上の有界線形汎関数 $f:M\to \mathbb{K}$ に対して、$X$ 全体に拡張された有界線形汎関数 $F:X\to \mathbb{K}$ で

$$F{|}_M=f,\Vert F\Vert =\Vert f\Vert$$

を満たすものが存在します。

つまり、部分空間上の汎関数はノルムを保ったまま全空間に拡張できます。

実ベクトル空間の場合（劣線形汎関数版）

より一般に、次の形で述べられます。

$X$ を実ベクトル空間、$p:X\to \mathbb{R}$ を劣線形汎関数（$p(x+y)\le p(x)+p(y)$, $p(\alpha x)=\alpha p(x)$（$\alpha \ge 0$））とします。部分空間 $M$ 上の線形汎関数 $f$ が $f(x)\le p(x)$（$x\in M$）を満たすならば、$X$ 上の線形汎関数 $F$ で

$$F{|}_M=f,F(x)\le p(x)(\forall x\in X)$$

を満たすものが存在します。

重要な系

最初の系は、$M=\mathbb{K}{x}_0$ 上で $f(\alpha x_0)=\alpha \Vert x_0\Vert$ と定義し、ハーン・バナッハで拡張することで得られます。

応用：部分空間と閉包

ノルム空間 $X$ の部分空間 $M$ に対して、次が成り立ちます。

$$\overline{M}=\{x\in X:f(x)=0\text{ for all }f\in X^{\ast }\text{ with }f{|}_M=0\}$$

ハーン・バナッハの定理によって $X^{\ast }$ が十分に「大きい」ことが保証されるため、このような特徴づけが可能になります。

注意

ハーン・バナッハの定理の証明には選択公理（またはツォルンの補題）が必要です。構成的に拡張を与えるわけではありません。