ノルムを保ったまま広げられる、ハーン・バナッハの定理

部分空間の上で決めた有界線形汎関数は、ノルムを変えずに空間全体へ延ばせます^[1]。

$Y$ をノルム空間 $X$ の部分空間、$\psi :Y\to \mathbb{R}$ を有界線形汎関数とすると、次を満たす $\phi :X\to \mathbb{R}$ が存在します^[3]。

$$\phi {|}_Y=\psi ,\Vert \phi {\Vert }_{X^{\ast }}=\Vert \psi {\Vert }_{Y^{\ast }}$$

延ばせることだけなら、基底を継ぎ足せば済みます。ノルムが増えないところが、この定理のかなめ^[2]。

劣線形関数で押さえる形

もとの形はノルムを使いません^[1]。劣線形関数 $p$ で押さえる、というより一般的な言い方をします。

$p(x+y)\le p(x)+p(y)$ と $p(\lambda x)=\lambda p(x)$（$\lambda \ge 0$）を満たす $p:X\to \mathbb{R}$ を劣線形といいます。

$Y$ の上の線形汎関数 $f$ が $f(y)\le p(y)$ を満たすとき、$X$ 全体への線形な延長 $F$ で $F(x)\le p(x)$ を保つものがある^[3]。

$p(x)=M\Vert x\Vert$ ととればノルム版になります。$p$ をもっと自由に選べるので、凸集合の分離などにも使えます^[1]。

証明は 1 次元ずつ延ばして極大をとる

手続きは 2 段です^[3]。まず、まだ全体でないなら 1 次元だけ延ばせることを示す。

$x_0\notin Y$ をとり、$Y+\mathbb{R}{x}_0$ の上へ延ばします。$F(x_0)$ の値をどこに置けるかを調べると、押さえの条件から区間が定まり、その中から選べば条件が保たれる。

つぎに、条件を保つ延長の全体を包含で順序づけます。鎖の上界が作れるので、ツォルンの補題から極大元がある^[2]。

極大元の定義域が $X$ 全体でなければ、1 段目でもう 1 次元延ばせて極大に反します。だから定義域は $X$ 全体^[2]。

選択公理と同値なツォルンの補題を使う点が特徴です。具体的な延長を書き下す手続きにはなっていません。

系：ノルムを実現する汎関数がある

いちばんよく使う系です^[1]。$x\ne 0$ に対し、次を満たす $\phi \in X^{\ast }$ が存在します。

$$\Vert \phi \Vert =1,\phi (x)=\Vert x\Vert$$

作り方は簡単で、$Y=\mathbb{R}x$ の上で $\psi (tx)=t\Vert x\Vert$ と定め、定理で延ばすだけ^[2]。

ここからノルムの双対的な表示が出ます。ふつうのノルムを、汎関数の側から測り直した形。

$$\Vert x\Vert =\underset{\Vert \phi \Vert \le 1}{\max }|\phi (x)|$$

上限ではなく最大値と書けるところが、この系の内容です。$X$ が反射的かどうかにかかわらず成り立ちます。

系：点を分離できる

$x\ne y$ なら、$\phi (x)\ne \phi (y)$ となる $\phi \in X^{\ast }$ があります^[2]。差 $x-y$ にノルム実現の系を当てるだけ。

言い換えると、$X^{\ast }$ が十分に豊富だということ。もしすべての $\phi$ で値が一致するなら、2 つのベクトルは同じもの。

双対空間が空っぽでないことも、ここから分かります。ハーン・バナッハがないと、$X^{\ast }$ に $0$ 以外の元があるかどうかすら言えません^[3]。

系：部分空間からの距離を測る

閉部分空間 $Y$ と $x\notin Y$ について、距離を実現する汎関数がとれます^[2]。

$$\Vert \phi \Vert =1,\phi {|}_Y=0,\phi (x)=\mathrm{dist}(x,Y)$$

商空間 $X/Y$ の上で考えると見通しがよくなります。$Y$ をつぶした空間でノルム実現の系を使い、引き戻すだけ。

系として、$Y$ が稠密であることと、$Y$ の上で消える $0$ でない汎関数がないことが同値になる^[2]。近似の議論でよく使う判定です。

幾何の形：凸集合の分離

汎関数を超平面と読み替えると、幾何の主張になります^[1]。

交わらない 2 つの凸集合があるとき、適切な条件のもとで、両者を分ける超平面が存在します。片方が開集合、あるいは片方がコンパクトでもう片方が閉、といった条件を付けます。

$$\phi (a)\le c\le \phi (b)(a\in A,b\in B)$$

劣線形関数の版から出ます^[3]。凸集合のミンコフスキー汎関数が劣線形になるので、そこへ定理を当てる。

最適化や凸解析では、この分離定理のほうがよく顔を出します。双対問題を立てる根拠になっている^[1]。

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よくある誤り

参考文献