全射でありさえすれば開写像になる……開写像定理と逆写像の有界性

$X$ と $Y$ をバナッハ空間、 $T : X \to Y$ を有界線形作用素とします。 $T$ が全射なら、 $T$ は開写像になります^[1]。

$U \subseteq X が開集合 ⟹ T (U) \subseteq Y が開集合$

連続性は「開集合の逆像が開集合」でした。開写像はその逆向きで、「開集合の像が開集合」という条件。

一般の連続写像では成り立ちません。 $f (x) = x^{2}$ は $R$ から $R$ への連続写像ですが、 $(- 1, 1)$ の像は $[0, 1)$ で開集合になりません。

線形性と全射性と完備性、この 3 つがそろうと開写像になる^[3,4]。バナッハ・シャウダーの定理とも呼ばれます。

系：逆写像が自動的に有界になる

$T$ が全単射なら、逆写像 $T^{- 1}$ も有界になります^[1]。有界逆写像定理と呼ばれる形です。

開写像であることが、そのまま $T^{- 1}$ の連続性です。 $T^{- 1}$ が連続であることと $T$ が開写像であることが同じ条件だから。

驚くべきところは、 $T^{- 1}$ の有界性を別に確かめなくてよい点。 $T$ が有界で全単射だと分かれば、それだけで逆も有界です^[3]。

一般の位相空間では成り立ちません。連続な全単射でも、逆が連続とは限らない。線形性と完備性が効いています。

系：完備な 2 つのノルムは同値になる

同じ線形空間に、比べられる 2 つのノルムが入っているとします。どちらでも完備なら、2 つは同値です^[3]。

恒等写像を $(X, ∥ \cdot ∥_{1}) \to (X, ∥ \cdot ∥_{2})$ と見て、有界逆写像定理を当てるだけ。片側の不等式から、もう片側が自動で出ます。

完備なノルムを入れる入れ方は、実質ひととおりしかない。ノルムを変えたつもりでも、位相は変わらないことが多い、という主張です。

閉グラフ定理と同じもの

作用素のグラフを $Γ (T) = {(x, T x) : x \in X} \subseteq X \times Y$ と書きます。

$X$ と $Y$ がバナッハ空間なら、 $T$ が連続であることと $Γ (T)$ が閉集合であることが同値です^[2]。

閉であるとは、 $x_{n} \to x$ かつ $T x_{n} \to y$ なら $y = T x$ ということ。ふつうの連続性より仮定がひとつ多い形になっています^[2]。

連続性を示すには「 $x_{n} \to x$ なら $T x_{n}$ が収束して $T x$ になる」を言う必要があります。閉グラフなら「 $T x_{n}$ が収束する」ことをただでもらえる。

この差があるので、閉グラフのほうが確かめやすい場面が多い^[2]。開写像定理と閉グラフ定理は互いに導き合えて、実質は同じ定理です^[3]。

$x_{n} \to x$ と $T x_{n} \to y$ を仮定する

グラフが閉なので $y = T x$

$T$ が連続だと結論する

証明の骨格

ベールのカテゴリー定理から始めます^[1]。 $T$ が全射なので、 $Y$ は像 $T (n B)$ の可算合併で覆われる。

ベールの定理から、どれかの閉包 $\overline{T (n B)}$ が内点を持ちます。線形性で原点へ移すと、 $\overline{T (B)}$ が原点まわりの球を含む。

ここまでは「ほとんど開」という弱い性質です。閉包が付いているぶん、まだ結論に届いていません。

閉包を外すのに $X$ の完備性を使います^[1]。近似を繰り返し、誤差を半分ずつ縮めながら級数を組み立てる。その級数が $X$ で収束するので、閉包なしの包含が出ます。

証明の山場は、閉包を外すところにあります。

誤差を半分ずつ縮める級数を組み、 $X$ の完備性でその和を作る。

完備性が外せないこと

両方の空間の完備性が要ります^[1]。片方でも欠けると崩れる。

有限個しか $0$ でない数列の全体に sup ノルムを入れ、 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{1}, x_{2} /2, x_{3} /3, \dots)$ を考えます^[1]。

$T$ は有界で全単射です。ところが逆写像は $n$ 番目の成分を $n$ 倍するので、有界ではありません。

定義域が完備でないので、有界逆写像定理が使えない。この空間を完備化して $c_{0}$ にすると、 $T$ は全射でなくなります。

フーリエ係数をとる写像でも同じことが見えます^[3]。 $L^{1} (S^{1})$ から $c_{0} (Z)$ への写像は単射ですが全射でなく、逆が有界にならない。

完備性がそろっている

全射なら開写像。全単射なら逆も有界。ノルムの同値も自動で出る

完備性を欠く

有界で全単射なのに逆が非有界、という例が作れる。定理の結論はどれも成り立たない

応用の見え方

方程式 $T u = f$ の可解性を考えるとき、この定理が効きます。

$T$ が全射だと分かれば、解 $u$ は必ず存在します。しかも開写像なので、 $f$ を少し動かしたときの解の動きが $f$ の動きで押さえられる。

$∥ u ∥ \leq C ∥ f ∥$

データの誤差が解の誤差に比例して収まる、という形になります。数値計算で言う安定性が、この不等式にあたる。

シャウダー基底の係数が連続に依存することも、同じ定理から出ます。展開係数をとる写像の有界性が、閉グラフ定理で片づく。

$T : X \to Y$ が有界線形で全単射のとき、 $T^{- 1}$ の有界性を言うのに必要なものはどれですか。

$T$ が等長であること
$X$ と $Y$ がともにバナッハ空間であること
$T$ がコンパクト作用素であること

__RESULT__

開写像定理から有界逆写像定理が出ます。両方の完備性が要り、片方でも欠けると、有界な全単射で逆が非有界という例が作れます。

よくある誤り

開写像を「連続の言い換え」だと思う。連続は逆像、開写像は像についての条件です。

全射でなくても開写像だと思う。像が閉部分空間に収まると、

Y

の中で開になりません。

完備性を片方だけで足りると思う。両方が要ります。

逆写像の有界性を別に確かめようとする。全単射なら自動で従います。

閉グラフ定理を「グラフが閉なら定義できる」と読む。結論は連続性です。

グラフの閉性と連続性を同じ手間だと思う。閉性のほうは収束を仮定できるぶん軽くなります。

ノルムを替えれば完備性が変わると思う。比べられる 2 つとも完備なら同値になります。

参考文献

Open mapping theorem (functional analysis)). Wikipedia（英語）.

Closed graph theorem (functional analysis)). Wikipedia（英語）.

Théorème de l'application ouverte. Wikipédia（フランス語）.

J. K. Hunter, B. Nachtergaele. *Applied Analysis*, Chapter 5: Banach Spaces. University of California at Davis.

連続は開集合の逆像についての条件、開写像は像についての条件。バナッハ空間のあいだの有界線形作用素は、全射というだけでこの逆向きの条件を満たします。系として、全単射なら逆写像も自動で有界になり、比べられる 2 つの完備なノルムは同値になる。閉グラフ定理と互いに導き合えることを見たうえで、ベールで「ほとんど開」を出してから完備性で閉包を外す証明の骨格、そして完備性を欠いた反例まで。