開写像定理

開写像定理は、バナッハ空間の間の全射有界線形作用素が開写像であることを主張します。閉グラフ定理と並ぶ関数解析の基本定理です。

開写像の定義

位相空間の間の写像 $f:X\to Y$ が 開写像 であるとは、$X$ の任意の開集合の像が $Y$ で開集合になることをいいます。

連続写像は開集合の逆像が開集合になりますが、開写像はその双対的な性質です。

定理の主張

$X$, $Y$ をバナッハ空間、$T:X\to Y$ を全射有界線形作用素とします。このとき $T$ は開写像です。

同値な言い換えとして、ある $\delta >0$ が存在して

$$T(B_X(0,1))\supset B_Y(0,\delta )$$

が成り立ちます。ここで $B_X(0,1)=\{x\in X:\Vert x\Vert <1\}$ です。

証明の概略

ベールのカテゴリー定理を使います。$T$ が全射なので

$$Y=\bigcup _{n=1}^{\infty }T(\overline{B_X(0,n)})=\bigcup _{n=1}^{\infty }\overline{T(B_X(0,n))}$$

ベールの定理より、ある $\overline{T(B_X(0,n))}$ は内点をもちます。線形性から $\overline{T(B_X(0,1))}$ も内点をもつことがわかります。

次に $Y$ の完備性を使って、$T(B_X(0,1))$ 自身が $0$ の近傍を含むことを示します。

系：有界逆作用素の定理

逆写像 $T^{-1}$ が線形なのは明らかですが、有界性（連続性）は自明ではありません。開写像定理から、$T$ が開写像なので $T^{-1}$ は連続になります。

応用

2つのノルム $\Vert \cdot {\Vert }_1$, $\Vert \cdot {\Vert }_2$ がベクトル空間 $V$ に定義されていて、両方で完備とします。もし $\Vert x{\Vert }_2\le C\Vert x{\Vert }_1$ ならば、逆向きの不等式 $\Vert x{\Vert }_1\le C^{\prime }\Vert x{\Vert }_2$ も成り立ちます。

これは恒等写像 $\mathrm{id}:(V,\Vert \cdot {\Vert }_1)\to (V,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ に有界逆作用素の定理を適用することでわかります。