完備性とコーシー列

完備性は距離空間やノルム空間において中心的な概念です。コーシー列が収束するかどうかで空間の性質が大きく異なります。

コーシー列の定義

距離空間 $(X,d)$ の点列 $(x_n)$ が コーシー列 であるとは、次が成り立つことをいいます。

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N},\forall m,n\ge N:d(x_m,x_n)<\epsilon$$

直感的には、十分先に進むと点列の項どうしがいくらでも近づくということ。

ノルム空間では $d(x_m,x_n)=\Vert x_m-x_n\Vert$ として同様に定義します。

完備性の定義

距離空間 $(X,d)$ が 完備 であるとは、すべてのコーシー列が $X$ 内の点に収束することをいいます。

収束列は必ずコーシー列になりますが、逆は空間によります。完備な空間ではこの逆も成り立ちます。

完備と非完備の例

完備化

完備でない距離空間 $X$ に対して、$X$ を稠密な部分集合として含む完備距離空間 $\overline{X}$ を構成できます。これを $X$ の 完備化 といいます。

$\mathbb{Q}$ の完備化は $\mathbb{R}$ です。完備化は同型を除いて一意的に定まります。

バナッハ空間

完備なノルム空間を バナッハ空間 といいます。関数解析の主要な舞台となる空間です。

完備性は、収束に関する議論を空間内で閉じて行えるという意味で非常に重要です。