近づいているのに行き先がない、完備性とコーシー列

距離空間 $(X,d)$ の点列 $(x_n)$ がコーシー列であるとは、先へ進むほど項どうしが近づくことをいいます^[1]。

$$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall m,n\ge N:d(x_m,x_n)<\epsilon$$

定義に極限が出てこない点が大事です。「どこへ向かうか」を持ち出さずに、「たがいに寄り集まっているか」だけを見ている。

ノルム空間なら $d(x_m,x_n)=\Vert x_m-x_n\Vert$ と読み替えます。差のノルムが小さくなる、という形。

収束すればコーシー、逆は空間による

収束列は必ずコーシー列になります。極限 $x$ を経由して三角不等式を使うだけ。

$$d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x,x_n)<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}$$

逆は成り立つとは限りません。項どうしが寄り集まっていても、寄り集まった先の点が空間になければ収束できない^[3]。

この逆がいつでも成り立つ空間を完備といいます^[2]。「すき間がない」と言い換えられる性質です。

例：有理数には穴があいている

$\mathbb{Q}$ が完備でないことを、いちばん短い例で見ます。$\sqrt{2}$ の小数展開を切り詰めた列をとる^[1]。

$$1,1.4,1.41,1.414,1.4142,\dots$$

$m,n\ge N$ なら差が $10^{-N}$ 以下なので、コーシー列です。ところが極限 $\sqrt{2}$ は有理数ではありません。

漸化式で書く作り方もあります^[3]。$x_0=2$、$x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}$ とすると、有理数のまま $\sqrt{2}$ へ近づく。

例：開区間にも穴がある

$(0,1)$ に通常の距離を入れます。$x_n=1/n$ はコーシー列ですが、極限 $0$ が区間に属しません^[2]。

端の 1 点を欠いただけで完備性が壊れる。$[0,1]$ に替えると完備になります。

例：関数の空間でも起きる

穴のあき方は数直線に限りません。$[0,1]$ 上の連続関数の全体に $\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f|$ を入れると、完備になりません^[4]。

真ん中で $0$ から $1$ へ立ち上がる連続関数を、傾きを急にしながら並べます。差のノルムは重なっていない部分の面積で、いくらでも小さくなる。

極限は階段関数で、連続ではありません。同じ集合でも、入れるノルムを $\Vert f{\Vert }_{\infty }$ に替えると完備になります^[4]。

もうひとつの例が、有限個しか $0$ でない数列の全体 ${\ell }_c$ です^[4]。${\ell }^2$ ノルムを入れると、$(1,1/2,1/3,\dots )$ に迫る列がコーシーなのに、極限が ${\ell }_c$ の外へ出ます。

完備な空間の部分集合は、閉なら完備

完備な空間 $X$ の部分集合 $A$ について、$A$ が完備であることと $A$ が閉であることは同値です^[1]。

閉なら完備なのは、$A$ のコーシー列が $X$ で収束し、その極限が閉集合の性質から $A$ に入るから。逆は、$A$ の点に収束する列を持ってくれば分かります。

この事実があるので、完備性の確認が閉集合の確認に化けます。$[0,1]$ が完備で $(0,1)$ が完備でないのも、閉かどうかの違い。

完備性は位相の性質ではない

見落としやすいところです。同相な 2 つの空間で、片方が完備でもう片方が完備でない、ということが起きます^[3]。

$\mathbb{R}$ と開区間 $(-1,1)$ は $h(x)=\tan (\pi x/2)$ で同相です。ところが $\mathbb{R}$ は完備、$(-1,1)$ は完備でない。

完備性が距離に依存する性質だからです^[2]。位相だけを見ていては判定できません。

完備化という直し方

完備でない空間は、あとから穴を埋められます^[2]。$X$ を稠密な部分集合として含む完備な空間 $\hat{X}$ が、等長を除いてただひとつ定まる。

作り方はコーシー列の同値類です。距離が $0$ に近づく 2 つのコーシー列を同じものと見なし、その類を新しい点とする。$\mathbb{Q}$ を完備化すると $\mathbb{R}$ になります。

普遍性の形でも書けます^[3]。$X$ から完備な空間 $F$ への一様連続写像は、$\hat{X}$ 上の一様連続写像へただひとつ延びる。

ノルム空間を完備化するとバナッハ空間になります。$C[0,1]$ を $L^1$ ノルムで完備化すると $L^1[0,1]$、これが測度論を経由して得られる空間と一致する。

完備性から出てくる 2 つの定理

完備性は、それ自体が結論を生む条件でもあります。

ベールのカテゴリー定理がそのひとつ。完備距離空間は、可算個の疎な集合の合併では覆えません^[1]。一様有界性原理や開写像定理は、この定理の上に立っています。

もうひとつが縮小写像の不動点定理です^[3]。完備な空間の上の縮小写像には、不動点がただひとつ存在する。微分方程式の解の存在は、この形で示されます。

どちらも完備性を外すと成り立たない。「すき間がない」という条件が、存在を言うための足場になっています。

よくある誤り

参考文献