一様有界性原理（Banach-Steinhaus の定理）

一様有界性原理（Banach-Steinhaus の定理）は、関数解析における基本定理の一つです。作用素の族が各点で有界ならば一様に有界であることを主張します。

定理の主張

$X$ をバナッハ空間、$Y$ をノルム空間とします。有界線形作用素の族 $\{T_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}\subset \mathcal{B}(X,Y)$ が各点で有界、すなわち

$$\underset{\alpha \in A}{\sup }\Vert T_{\alpha }x\Vert <\infty (\forall x\in X)$$

を満たすならば、作用素ノルムの一様有界性

$$\underset{\alpha \in A}{\sup }\Vert T_{\alpha }\Vert <\infty$$

が成り立ちます。

証明の概略

ベールのカテゴリー定理を用います。閉集合

$$F_n=\{x\in X:\underset{\alpha }{\sup }\Vert T_{\alpha }x\Vert \le n\}$$

を考えると、仮定より $X={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{F}_n$ です。$X$ はバナッハ空間なのでベールのカテゴリー定理が適用でき、ある $F_n$ は内点をもちます。

$F_n$ が内点をもつことから、ある $x_0\in X$ と $r>0$ が存在して $B(x_0,r)\subset F_n$ となります。ここから一様有界性を導けます。

応用：点ごと収束と一様収束

次の系が重要です。

この系は、バナッハ空間上で「点ごとに収束する作用素列は一様有界」ということを保証します。

反例（$X$ が完備でない場合）

$X$ の完備性は本質的です。$X=c_{00}$（有限個を除いて $0$ の数列）にノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }$ を入れると、

$$T_{n}x=n\cdot x_n\cdot e_n$$

（$e_n$ は第 $n$ 単位ベクトル）で定まる $T_n$ は各点で有界ですが、$\Vert T_n\Vert =n$ なので一様有界ではありません。