各点で有界なら一様に有界？バナッハ・シュタインハウスの定理

$X$ をバナッハ空間、$Y$ をノルム空間とします。有界線形作用素の族 $\mathcal{F}\subseteq B(X,Y)$ について、次が成り立ちます^[1]。

$$\underset{T\in \mathcal{F}}{\sup }\Vert Tx\Vert <\infty (\forall x\in X)⟹\underset{T\in \mathcal{F}}{\sup }\Vert T\Vert <\infty$$

各点で押さえられているだけで、作用素ノルムまで一斉に押さえられる。一様有界性原理、あるいはバナッハ・シュタインハウスの定理と呼ばれます^[2]。

主張の強さが目につきます。左辺は $x$ ごとに上限を許す条件で、$x$ が変わるたびに別の値でよい。それでも右辺の一様な上限が出てくる。

なぜ驚くのか

有限個の作用素なら当たり前です。有限個の数の最大値をとればよい。

無限個になると事情が変わります。$x$ ごとの上限が $x$ とともにいくらでも大きくなり、全体では上限がない、という状況が想像できるからです。

その状況が起きないと保証してくれる。それがこの定理で、しかも仮定は $X$ の完備性だけです^[2]。

完備でないと本当に壊れる

$X$ の完備性は外せません^[2]。有限個の成分しか $0$ でない数列の全体 ${\ell }_c$ で反例が作れます。

${\ell }_c$ に ${\ell }^{\infty }$ ノルムを入れ、作用素を $A_{k}x=k{x}_k$ と定めます。$k$ 番目の成分を $k$ 倍して返す汎関数。

各 $x\in {\ell }_c$ を固定すると、成分は有限個しか $0$ でないので、$k$ が大きければ $A_{k}x=0$。したがって ${\sup }_k|A_{k}x|<\infty$ です。

ところが $\Vert A_k\Vert =k$ なので、作用素ノルムの上限は $\infty$。各点有界なのに一様有界でない、という形がここに出ています^[2]。

${\ell }_c$ が完備でないところが効いている。完備化して $c_0$ にすると、$A_k$ の族はもう各点有界になりません。

証明はベールのカテゴリー定理から

完備距離空間は、可算個の疎な閉集合では覆えません^[1]。ベールのカテゴリー定理です。

これを使って、次の集合を考えます^[2]。

$$X_n=\{x\in X:\underset{T\in \mathcal{F}}{\sup }\Vert Tx\Vert \le n\}$$

各 $T$ が連続なので $X_n$ は閉集合です。仮定から、どの $x$ もどれかの $X_n$ に入るので、合併が $X$ 全体になる。

ベールの定理から、ある $X_m$ が内点を持ちます。中心 $x_0$、半径 $\epsilon$ の閉球が $X_m$ に収まる。

あとは線形性です。$\Vert u\Vert \le \epsilon$ なら $x_0+u$ と $x_0$ の両方が $X_m$ にあるので、$\Vert Tu\Vert \le 2m$。正規化すると一様な上限が出ます^[1]。

$$\Vert T\Vert \le \frac{2m}{\epsilon }(\forall T\in \mathcal{F})$$

証明で完備性を使ったのは、ベールの定理を呼ぶ 1 か所だけです。仮定が $X$ の完備性しか要らない理由がここにあります。

系：各点収束する作用素列

$T_n\to T$ が各点で成り立つとき、極限 $T$ も有界線形作用素になります^[2]。

各点収束すれば各点で有界なので、原理から ${\sup }_n\Vert T_n\Vert <\infty$。この上限を $M$ と置くと、$\Vert T_{n}x\Vert \le M\Vert x\Vert$ の極限で $\Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert$ が出ます。

$$\Vert T\Vert \le \underset{n}{\sup }\Vert T_n\Vert <\infty$$

一般の連続写像では、各点極限が連続とは限りません。線形性と完備性がそろってはじめて、この形が成り立つ^[3]。

ノルムでの収束までは言えない点に気をつけます。$\Vert T_n-T\Vert \to 0$ は別の主張で、各点収束からは出ません。

系：弱収束する列は有界

双対の側でも同じ形が効きます。$x_n$ が弱収束する、つまりすべての $\phi \in X^{\ast }$ で $\phi (x_n)$ が収束するとします。

$x_n$ を $X^{\ast \ast }$ の元と見ると、各 $\phi$ で値が収束するので有界。原理を $X^{\ast }$ の上で使うと、${\sup }_n\Vert x_n\Vert <\infty$ が出ます。

弱収束する列は必ずノルム有界、という便利な事実。$X^{\ast }$ が完備であることを使うので、$X$ の完備性は要りません。

応用：フーリエ級数が発散する連続関数

いちばん有名な応用です^[1]。連続関数のフーリエ級数が、ある点で発散する例が存在する。

$S_{N}f(x)$ を部分和とし、$x$ を固定して ${\phi }_N(f)=S_{N}f(0)$ という汎関数を考えます。これは有界線形汎関数で、ノルムがディリクレ核の $L^1$ ノルムに一致します^[1]。

$$\Vert {\phi }_N\Vert =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|D_N(t)|dt⟶\infty$$

もし全部の連続関数でフーリエ級数が収束するなら、${\phi }_N(f)$ は各 $f$ で有界です。すると原理から $\Vert {\phi }_N\Vert$ も有界になるはずで、発散と矛盾する。

したがって、フーリエ級数が発散する連続関数が存在します。しかもそういう関数の全体は $C(\mathbb{T})$ で稠密^[1]。

存在を言うのに、具体的な関数をひとつも作っていないところが特徴です。原理が「作らずに存在を言う」型の道具だと分かります。

伸び方は $\log N$ ほどで、ゆっくりです。それでも上限がないので、原理を当てるには十分。

2 つの「有界」を並べておく。

よくある誤り

参考文献