半角公式は、角度を半分にしたときの三角関数を求める公式です。倍角公式を変形することで導けます。
半角公式（確認）
sin22θ=21−cosθ
cos22θ=21+cosθ
tan22θ=1+cosθ1−cosθ
例題1：cosθ=21（0<θ<π）のとき sin2θ を求める
0<θ<π より 0<2θ<2π なので、sin2θ>0 です。
sin22θ=21−21=41
sin2θ=21
例題2：cosθ=−21（π<θ<2π）のとき cos2θ を求める
π<θ<2π より 2π<2θ<π なので、cos2θ<0 です。
cos22θ=21+(−21)=41
cos2θ=−21
例題3：sin15° を求める
15°=230° と考えて、cos30°=23 を使います。
sin215°=21−cos30°=21−23=42−3
15° は第1象限なので
sin15°=22−3
この値は 46−2 と等しいことが確認できます。
例題4：tan2θ の別の表し方を導く
tan22θ=1+cosθ1−cosθ の分子と分母に 1−cosθ をかけます。
tan22θ=(1+cosθ)(1−cosθ)(1−cosθ)2=1−cos2θ(1−cosθ)2=sin2θ(1−cosθ)2
よって
tan2θ=sinθ1−cosθ
（符号は 2θ の範囲で決まります）
同様に分子と分母に 1+cosθ をかけると
tan2θ=1+cosθsinθ
も得られます。
半角公式は2乗の形なので、平方根をとるときに符号を判定する必要があります。2θ がどの象限にあるかを確認しましょう。
t=tan2θ とおく置換（ワイエルシュトラス置換）は、有理関数×三角関数の積分で使われます。
