45 度を半分にする半角の公式と 22.5 度の値

$22.5^{\circ }$ は $45^{\circ }$ の半分です。半分の角の $\sin$ と $\cos$ は、2 乗の形ならもとの角の $\cos$ だけで書ける。

$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2},{\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$$

$\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ を入れれば、$22.5^{\circ }$ の $\sin$ と $\cos$ が決まります。

例 1：22.5 度

$22.5^{\circ }$ は第 1 象限だから、符号は 3 つとも正。

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{2}22.5^{\circ }& =\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\ & =\frac{2-\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

平方根をとります。

$$\sin 22.5^{\circ }=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$

$\cos$ も手順は変わらない。${\cos }^{2}22.5^{\circ }=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$ から $\cos 22.5^{\circ }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$。

二重根号はここで止まる。$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ も $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ も、これ以上きれいな形にならない。

$\tan$ は割り算でも求められます。ただし根号が二重に重なって扱いにくい。次の形を使います。

$$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$$

$\theta =45^{\circ }$ を入れると $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$。分子と分母を $2$ 倍して $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ です。

$$\begin{array}{rl}\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}& =\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}\\ & =\frac{2\sqrt{2}-2}{2}\\ & =\sqrt{2}-1\end{array}$$

$\sqrt{2}-1$ は約 $0.414$ です。$45^{\circ }$ の半分なのに $\tan 45^{\circ }=1$ の半分より小さくなる。

例 2：67.5 度

$67.5^{\circ }$ は $135^{\circ }$ の半分で、$\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ を入れます。$67.5^{\circ }$ も第 1 象限にあり、符号はすべて正。

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{2}67.5^{\circ }& =\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\ & =\frac{2+\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

$\sin 67.5^{\circ }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ になり、$\cos 22.5^{\circ }$ と同じ値。$22.5^{\circ }+67.5^{\circ }=90^{\circ }$ なので、$\sin$ と $\cos$ が入れかわる。

$\tan$ も分数の形で求めます。

$$\frac{\sin 135^{\circ }}{1+\cos 135^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$$

有理化すると $\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2}=\sqrt{2}+1$ です。

積をとると $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=2-1=1$。2 つの $\tan$ は互いに逆数になる。

例 3：$\cos \theta =-\frac{7}{25}$、$\theta$ は第 2 象限

$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ とします。両辺を $2$ で割ると $45^{\circ }<\frac{\theta }{2}<90^{\circ }$。

$\frac{\theta }{2}$ は第 1 象限に落ちるため、$\sin$ も $\cos$ も正になる。

$\cos \theta =-\frac{7}{25}$ を入れます。

$$\begin{array}{rl}{\sin }^2\frac{\theta }{2}& =\frac{1+\frac{7}{25}}{2}\\ & =\frac{32}{25}\times \frac{1}{2}\\ & =\frac{16}{25}\end{array}$$

$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{4}{5}$ です。${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{9}{25}$ から $\cos \frac{\theta }{2}=\frac{3}{5}$、$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{4}{3}$。

$\cos \theta$ が負なのに $\cos \frac{\theta }{2}$ は正になりました。象限を見るのは $\theta$ ではなく $\frac{\theta }{2}$ のほうです。

${\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1$ で、単位円に乗っている。

$\tan$ は符号を調べずに済む

例 1 で使った $\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$ には、$\pm$ が付いていない。$\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$ と書いても同じ値になる。

$$\begin{array}{rl}\tan \frac{\theta }{2}& =\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\\ & =\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\end{array}$$

$1+\cos \theta$ はつねに $0$ 以上だから、$\sin \theta$ の符号がそのまま答えの符号になる。

例 3 で確かめます。第 2 象限だから $\sin \theta =\frac{24}{25}$ で、$\frac{24/25}{1-7/25}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}$。さきほどと同じ値です。

例 4：方程式に使う

$\cos \theta =\cos \frac{\theta }{2}$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。角が 2 種類あるため、片方にそろえる。

$t=\frac{\theta }{2}$ と置くと $\theta =2t$、範囲は $0\le t<\pi$ になる。式は $\cos 2t=\cos t$。

2 倍角で開くと $2{\cos }^{2}t-1=\cos t$。移項して因数分解します。

$$(2\cos t+1)(\cos t-1)=0$$

$\cos t=-\frac{1}{2}$ から $t=\frac{2}{3}\pi$、$\cos t=1$ から $t=0$。どちらも $0\le t<\pi$ に入っている。

$\theta =2t$ に戻して $\theta =\frac{4}{3}\pi ,0$ です。

例 5：2 乗を 1 次に落とす

半角の公式を逆向きに読むと、2 乗が 1 次になる。$\theta$ を $2\theta$ に書きかえた形です。

$${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2},{\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$$

$y={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +3{\cos }^2\theta$ を 1 次に直します。$2\sin \theta \cos \theta$ は $\sin 2\theta$。

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{1-\cos 2\theta }{2}+\sin 2\theta +\frac{3(1+\cos 2\theta )}{2}\\ & =\frac{4+2\cos 2\theta }{2}+\sin 2\theta \\ & =2+\cos 2\theta +\sin 2\theta \end{array}$$

$\sin 2\theta +\cos 2\theta$ を合成すると $\sqrt{2}\sin \left(2\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ になり、$y$ の最大は $2+\sqrt{2}$、最小は $2-\sqrt{2}$。

角を半分にする向きと、次数を下げる向き。同じ式を両方に使います。

例 6：三角形の角の半分

$a=13$、$b=14$、$c=15$ の三角形で $\tan \frac{A}{2}$ を求めます。まず余弦定理で $\cos A$ を求める。

$$\begin{array}{rl}\cos A& =\frac{14^2+15^2-13^2}{2\times 14\times 15}\\ & =\frac{252}{420}\\ & =\frac{3}{5}\end{array}$$

${\sin }^2\frac{\theta }{2}$ と ${\cos }^2\frac{\theta }{2}$ の比をとると、${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$ になります。ここへ入れる。

$$\begin{array}{rl}\tan \frac{A}{2}& =\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}}\\ & =\sqrt{\frac{2/5}{8/5}}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

三角形の内角は $0^{\circ }$ と $180^{\circ }$ のあいだにあり、$\frac{A}{2}$ はつねに鋭角。象限で迷う場面がない。

平方根だけでは符号が決まらない

$\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと、$\frac{\theta }{2}$ は $0$ から $\pi$ までしか動きません。$\pi$ を越えたところで $\cos \frac{\theta }{2}$ が負に変わる。

平方根はつねに $0$ 以上の値を返す。$\frac{\theta }{2}$ が第 2 象限に入ると $\cos \frac{\theta }{2}$ は負になり、そこで符号を付け直すことになります。

$\cos \theta$ の値さえあれば、半分の角の 3 つがすべて決まる。残る仕事は符号を決めることだけで、$\tan$ に分数の形を選べばそれも消えます。