半角公式の計算

半角公式は、角度を半分にしたときの三角関数を求める公式です。倍角公式を変形することで導けます。

半角公式（確認）

$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$$

$${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$$

$${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$$

例題1：$\cos \theta =\frac{1}{2}$（$0<\theta <\pi$）のとき $\sin \frac{\theta }{2}$ を求める

$0<\theta <\pi$ より $0<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{2}$ なので、$\sin \frac{\theta }{2}>0$ です。

$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$$

$$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$$

例題2：$\cos \theta =-\frac{1}{2}$（$\pi <\theta <2\pi$）のとき $\cos \frac{\theta }{2}$ を求める

$\pi <\theta <2\pi$ より $\frac{\pi }{2}<\frac{\theta }{2}<\pi$ なので、$\cos \frac{\theta }{2}<0$ です。

$${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{4}$$

$$\cos \frac{\theta }{2}=-\frac{1}{2}$$

例題3：$\sin 15°$ を求める

$15°=\frac{30°}{2}$ と考えて、$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を使います。

$${\sin }^{2}15°=\frac{1-\cos 30°}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$$

$15°$ は第1象限なので

$$\sin 15°=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$

この値は $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ と等しいことが確認できます。

例題4：$\tan \frac{\theta }{2}$ の別の表し方を導く

${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$ の分子と分母に $1-\cos \theta$ をかけます。

$${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{(1-\cos \theta {)}^2}{(1+\cos \theta )(1-\cos \theta )}=\frac{(1-\cos \theta {)}^2}{1-{\cos }^2\theta }=\frac{(1-\cos \theta {)}^2}{{\sin }^2\theta }$$

よって

$$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$$

（符号は $\frac{\theta }{2}$ の範囲で決まります）

同様に分子と分母に $1+\cos \theta$ をかけると

$$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$$

も得られます。