積和の公式を使う計算 - かけ算のままでは進まないとき

$sin 7 5^{\circ} sin 1 5^{\circ}$ は $\frac{1}{4}$ です。どちらも二重根号を含む値なのに、掛けると分数になります。

積和を当てるだけで出ます。

$sin 7 5^{\circ} sin 1 5^{\circ} = \frac{1}{2} {cos 6 0^{\circ} - cos 9 0^{\circ}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4}$

掛け算のままでは進まない式が、足し算になった途端に片づく。積和はそのための道具です。

4 本をその場で作る

覚えていなくても、加法定理を 2 行書けば作れます^[1]。

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$ と $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ 。

引くと $cos (α - β) - cos (α + β) = 2 sin α sin β$ です。

$sin α sin β = \frac{1}{2} {cos (α - β) - cos (α + β)}$

足せば $cos α cos β$ の式が出ます。今度は差が先ではなく、和と差の順が入れ替わらない形。

$cos α cos β = \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$

$sin$ の加法定理を足せば $sin α cos β$ が出ます^[2]。4 本すべてが 2 行から生まれます。

$sin α cos β$	$\frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$
$cos α sin β$	$\frac{1}{2} {sin (α + β) - sin (α - β)}$
$cos α cos β$	$\frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$
$sin α sin β$	$\frac{1}{2} {cos (α - β) - cos (α + β)}$

$sin$ どうしの積だけ、差が先に来ます。順を逆にすると符号が反対になる。

例：値を出す

$cos 7 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}$ を求めます。 $cos$ どうしなので和が先。

$\frac{1}{2} {cos 9 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ}} = \frac{1}{2} (0 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ 。

$sin 7 5^{\circ} sin 1 5^{\circ}$ と同じ値になりました。 $cos 1 5^{\circ} = sin 7 5^{\circ}$ なので、当然です。

$sin 10 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}$ も見ます。混ざった積なので $sin$ の式。

$\frac{1}{2} {sin 12 0^{\circ} + sin 9 0^{\circ}} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} + 1) = \frac{3 + 2}{4}$ 。

数値では $0.933$ 。 $sin 10 5^{\circ} = 0.9659$ 、 $cos 1 5^{\circ} = 0.9659$ の積と合っています。

例：3 つの積

$sin 2 0^{\circ} sin 4 0^{\circ} sin 8 0^{\circ}$ を求めます。3 つ並んでいますが、2 つずつ処理します。

後ろの 2 つを積和で開きます。 $sin 4 0^{\circ} sin 8 0^{\circ} = \frac{1}{2} {cos 4 0^{\circ} - cos 12 0^{\circ}}$ 。

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ なので $\frac{1}{2} (cos 4 0^{\circ} + \frac{1}{2})$ です。

もとの式に戻すと $sin 2 0^{\circ} \times \frac{1}{2} cos 4 0^{\circ} + sin 2 0^{\circ} \times \frac{1}{4}$ 。

前の項にもう一度積和を当てます。 $sin 2 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} = \frac{1}{2} {sin 6 0^{\circ} + sin (- 2 0^{\circ})}$ 。

$sin (- 2 0^{\circ}) = - sin 2 0^{\circ}$ なので $\frac{1}{2} (sin 6 0^{\circ} - sin 2 0^{\circ})$ 。

全体は $\frac{1}{4} sin 6 0^{\circ} - \frac{1}{4} sin 2 0^{\circ} + \frac{1}{4} sin 2 0^{\circ}$ となり、後ろの 2 項が消えます。

$sin 2 0^{\circ} sin 4 0^{\circ} sin 8 0^{\circ} = \frac{1}{4} sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{8}$

数値では $0.2165$ 。 $0.342 \times 0.643 \times 0.985$ と一致します。

3 つの積では、消える項が出るまで開き続けるのが要です。

途中で $sin 2 0^{\circ}$ が 2 回現れ、符号が反対になって打ち消し合いました。開く順を変えても、どこかで同じことが起きます。

積分で使う

$\int cos 5 x cos 3 x d x$ を求めます。積のままでは原始関数がありません。

$cos$ どうしなので和が先。 $\frac{1}{2} {cos 8 x + cos 2 x}$ 。

$\int cos 5 x cos 3 x d x = \frac{1}{16} sin 8 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$

$\frac{1}{2}$ に、それぞれの中身の $\frac{1}{8}$ と $\frac{1}{2}$ が掛かった係数です。

定積分にすると、もっと目立つことが起きます。

$\int_{0}^{π} sin 2 x sin 3 x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (cos x - cos 5 x) d x = \frac{1}{2} [sin x - \frac{sin 5 x}{5}]_{0}^{π} = 0$

$sin π = 0$ 、 $sin 5 π = 0$ なので、上端も下端も $0$ 。値が丸ごと消えます。

中身の数が違う $sin$ どうしを、 $0$ から $π$ で積むと $0$ になる。この性質は音や波の解析で使われます。

中身が同じときだけ残る

$\int_{0}^{π} sin 3 x sin 3 x d x$ はどうなるでしょう。積和を当てます。

$sin 3 x sin 3 x = \frac{1}{2} {cos 0 - cos 6 x} = \frac{1}{2} (1 - cos 6 x)$ 。

$cos 0 = 1$ という定数が出てきました。ここが違いです。

$\int_{0}^{π} \frac{1 - cos 6 x}{2} d x = [\frac{x}{2} - \frac{sin 6 x}{12}]_{0}^{π} = \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2}$ が残ります。中身が同じときだけ、差が $0$ になって定数項が現れる。

数が違えば $cos$ が 2 つ並び、どちらも積分すると $0$ になります。だから丸ごと消える。

まちがえやすい点

$sin α sin β$ の順を逆にする誤りが最も多い。差の $cos$ が先で、和の $cos$ を引きます。

$α = β$ を入れて確かめられます。左辺は $sin^{2} α \geq 0$ 、右辺は $\frac{1 - cos 2 α}{2} \geq 0$ 。

順を逆にすると $\frac{cos 2 α - 1}{2}$ となり、負になってしまいます。

$\frac{1}{2}$ を落とす誤りも同じくらい起きます。加法定理を足した時点で 2 倍になっているためです。

$sin (α - β)$ が負の角になる場合も見落としやすい。 $sin (- 2 0^{\circ}) = - sin 2 0^{\circ}$ と符号を出します。

$sin 10 5^{\circ} sin 1 5^{\circ}$ の値はどれですか。

$\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{2}$

__RESULT__

$sin$ どうしなので $\frac{1}{2} {cos 9 0^{\circ} - cos 12 0^{\circ}}$ です。 $cos 9 0^{\circ} = 0$ 、 $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ なので $\frac{1}{2} (0 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ になります。差が先、和が後という順が要です。

積分の形も確かめます。

$\int_{0}^{π} cos 2 x cos 4 x d x$ の値はどれですか。

$0$
$\frac{π}{2}$
$π$

__RESULT__

積和で $\frac{1}{2} {cos 6 x + cos 2 x}$ に開きます。 $\int_{0}^{π} cos 6 x d x$ も $\int_{0}^{π} cos 2 x d x$ も $0$ なので、全体が $0$ です。中身の数が違うので定数項が出ず、値が残りません。

加法定理を 2 行書き、足すか引くか。積和の計算は、毎回そこから作り直せます。

参考文献

Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（4 本と、加法定理から足し引きで作る導き方）.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.8 の注（積和の 3 本）.

$\sin 75^\circ\sin 15^\circ$ はどちらも二重根号を含む値なのに、積は $\dfrac{1}{4}$ です。積和で開けば $\dfrac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ)$ になるだけ。4 本を覚える必要はなく、加法定理を 2 行書いて足すか引くかすれば毎回作れます。$\sin$ どうしの積だけ差の $\cos$ が先に来る点は、$\alpha = \beta$ を入れて負にならないかで確かめられる。$\sin 20^\circ\sin 40^\circ\sin 80^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$ を 2 段階で開く計算と、中身の数が違う積分が $0$ になる仕組みまで。