積和の公式を使う計算 - かけ算のままでは進まないとき

$\sin 75^{\circ }\sin 15^{\circ }$ は $\frac{1}{4}$ です。どちらも二重根号を含む値なのに、掛けると分数になります。

積和を当てるだけで出ます。

$$\begin{array}{rl}\sin 75^{\circ }\sin 15^{\circ }& =\frac{1}{2}\left\{\cos 60^{\circ }-\cos 90^{\circ }\right\}\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-0\right)\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$

掛け算のままでは進まない式が、足し算になった途端に片づく。積和はそのための道具です。

4 本をその場で作る

覚えていなくても、加法定理を 2 行書けば作れます^[1]。

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ と $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$。

引くと $\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )=2\sin \alpha \sin \beta$ です。

$$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\left\{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\right\}$$

足せば $\cos \alpha \cos \beta$ の式が出ます。今度は差が先ではなく、和と差の順が入れ替わらない形。

$$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left\{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right\}$$

$\sin$ の加法定理を足せば $\sin \alpha \cos \beta$ が出ます^[2]。4 本すべてが 2 行から生まれます。

$\sin$ どうしの積だけ、差が先に来ます。順を逆にすると符号が反対になる。

例：値を出す

$\cos 75^{\circ }\cos 15^{\circ }$ を求めます。$\cos$ どうしなので和が先。

$\frac{1}{2}\left\{\cos 90^{\circ }+\cos 60^{\circ }\right\}=\frac{1}{2}\left(0+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$。

$\sin 75^{\circ }\sin 15^{\circ }$ と同じ値になりました。$\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }$ なので、当然です。

$\sin 105^{\circ }\cos 15^{\circ }$ も見ます。混ざった積なので $\sin$ の式。

$\frac{1}{2}\left\{\sin 120^{\circ }+\sin 90^{\circ }\right\}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=\frac{\sqrt{3}+2}{4}$。

数値では $0.933$。$\sin 105^{\circ }=0.9659$、$\cos 15^{\circ }=0.9659$ の積と合っています。

例：3 つの積

$\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }$ を求めます。3 つ並んでいますが、2 つずつ処理します。

後ろの 2 つを積和で開きます。$\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }=\frac{1}{2}\left\{\cos 40^{\circ }-\cos 120^{\circ }\right\}$。

$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ なので $\frac{1}{2}\left(\cos 40^{\circ }+\frac{1}{2}\right)$ です。

もとの式に戻すと $\sin 20^{\circ }\times \frac{1}{2}\cos 40^{\circ }+\sin 20^{\circ }\times \frac{1}{4}$。

前の項にもう一度積和を当てます。$\sin 20^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{1}{2}\left\{\sin 60^{\circ }+\sin (-20^{\circ })\right\}$。

$\sin (-20^{\circ })=-\sin 20^{\circ }$ なので $\frac{1}{2}\left(\sin 60^{\circ }-\sin 20^{\circ }\right)$。

全体は $\frac{1}{4}\sin 60^{\circ }-\frac{1}{4}\sin 20^{\circ }+\frac{1}{4}\sin 20^{\circ }$ となり、後ろの 2 項が消えます。

$$\begin{array}{rl}\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }& =\frac{1}{4}\sin 60^{\circ }\\ & =\frac{\sqrt{3}}{8}\end{array}$$

数値では $0.2165$。$0.342\times 0.643\times 0.985$ と一致します。

積分で使う

$\int \cos 5x\cos 3xdx$ を求めます。積のままでは原始関数がありません。

$\cos$ どうしなので和が先。$\frac{1}{2}\left\{\cos 8x+\cos 2x\right\}$。

$$\int \cos 5x\cos 3xdx=\frac{1}{16}\sin 8x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$$

$\frac{1}{2}$ に、それぞれの中身の $\frac{1}{8}$ と $\frac{1}{2}$ が掛かった係数です。

定積分にすると、もっと目立つことが起きます。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }\sin 2x\sin 3xdx& =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\left(\cos x-\cos 5x\right)dx\\ & =\frac{1}{2}{\left[\sin x-\frac{\sin 5x}{5}\right]}_0^{\pi }\\ & =0\end{array}$$

$\sin \pi =0$、$\sin 5\pi =0$ なので、上端も下端も $0$。値が丸ごと消えます。

中身の数が違う $\sin$ どうしを、$0$ から $\pi$ で積むと $0$ になる。この性質は音や波の解析で使われます。

中身が同じときだけ残る

${\int }_0^{\pi }\sin 3x\sin 3xdx$ はどうなるでしょう。積和を当てます。

$\sin 3x\sin 3x=\frac{1}{2}\left\{\cos 0-\cos 6x\right\}=\frac{1}{2}\left(1-\cos 6x\right)$。

$\cos 0=1$ という定数が出てきました。ここが違いです。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 6x}{2}dx& ={\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 6x}{12}\right]}_0^{\pi }\\ & =\frac{\pi }{2}\end{array}$$

$\frac{\pi }{2}$ が残ります。中身が同じときだけ、差が $0$ になって定数項が現れる。

数が違えば $\cos$ が 2 つ並び、どちらも積分すると $0$ になります。だから丸ごと消える。

まちがえやすい点

$\sin \alpha \sin \beta$ の順を逆にする誤りが最も多い。差の $\cos$ が先で、和の $\cos$ を引きます。

$\alpha =\beta$ を入れて確かめられます。左辺は ${\sin }^2\alpha \ge 0$、右辺は $\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\ge 0$。

順を逆にすると $\frac{\cos 2\alpha -1}{2}$ となり、負になってしまいます。

$\frac{1}{2}$ を落とす誤りも同じくらい起きます。加法定理を足した時点で 2 倍になっているためです。

$\sin (\alpha -\beta )$ が負の角になる場合も見落としやすい。$\sin (-20^{\circ })=-\sin 20^{\circ }$ と符号を出します。

積分の形も確かめます。

加法定理を 2 行書き、足すか引くか。積和の計算は、毎回そこから作り直せます。

参考文献