積和公式は、三角関数の積を和や差に変換する公式です。積分計算でよく使います。
積和公式（確認）
sinαcosβ=21{sin(α+β)+sin(α−β)}
cosαsinβ=21{sin(α+β)−sin(α−β)}
cosαcosβ=21{cos(α+β)+cos(α−β)}
sinαsinβ=−21{cos(α+β)−cos(α−β)}
例題1：sin50°cos20° を和に変換する
α=50°、β=20° として公式に代入します。
sin50°cos20°=21(sin70°+sin30°)=21(sin70°+21)
sin70°=cos20° なので、数値で求めたい場合はここから計算を進めます。
例題2：cos75°cos15° を計算する
cos75°cos15°=21(cos90°+cos60°)=21(0+21)=41
例題3：sin75°sin15° を計算する
sin75°sin15°=−21(cos90°−cos60°)=−21(0−21)=41
例題4：∫sin3xcos2xdx を求める
積のままでは積分しにくいので、積和公式で和に変換します。
sin3xcos2x=21(sin5x+sinx)
よって
∫sin3xcos2xdx=21∫(sin5x+sinx)dx=21(−5cos5x−cosx)+C
=−10cos5x−2cosx+C
例題5：cos2xcos3xcos5x を和に変換する
まず cos2xcos3x を処理します。
cos2xcos3x=21(cos5x+cosx)
これに cos5x をかけます。
cos2xcos3xcos5x=21(cos25x+cosxcos5x)
cos25x=21+cos10x、cosxcos5x=21(cos6x+cos4x) より
=21⋅21+cos10x+21⋅21(cos6x+cos4x)
=41+4cos10x+4cos6x+4cos4x
加法定理の2つの式を足すか引くかで積和公式が得られます。忘れたらその場で導きましょう。
sinαsinβ の公式だけマイナスがつくので注意が必要です。
