積和公式の計算

積和公式は、三角関数の積を和や差に変換する公式です。積分計算でよく使います。

積和公式（確認）

$sin α cos β = \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$

$cos α sin β = \frac{1}{2} {sin (α + β) - sin (α - β)}$

$cos α cos β = \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$

$sin α sin β = - \frac{1}{2} {cos (α + β) - cos (α - β)}$

$α = 50°$ 、 $β = 20°$ として公式に代入します。

$sin 50° cos 20° = \frac{1}{2} (sin 70° + sin 30°) = \frac{1}{2} (sin 70° + \frac{1}{2})$

$sin 70° = cos 20°$ なので、数値で求めたい場合はここから計算を進めます。

$cos 75° cos 15° = \frac{1}{2} (cos 90° + cos 60°) = \frac{1}{2} (0 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

$sin 75° sin 15° = - \frac{1}{2} (cos 90° - cos 60°) = - \frac{1}{2} (0 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

積のままでは積分しにくいので、積和公式で和に変換します。

$sin 3 x cos 2 x = \frac{1}{2} (sin 5 x + sin x)$

よって

$\int sin 3 x cos 2 x d x = \frac{1}{2} \int (sin 5 x + sin x) d x = \frac{1}{2} (- \frac{cos 5 x}{5} - cos x) + C$

$= - \frac{cos 5 x}{10} - \frac{cos x}{2} + C$

まず $cos 2 x cos 3 x$ を処理します。

$cos 2 x cos 3 x = \frac{1}{2} (cos 5 x + cos x)$

これに $cos 5 x$ をかけます。

$cos 2 x cos 3 x cos 5 x = \frac{1}{2} (cos^{2} 5 x + cos x cos 5 x)$

$cos^{2} 5 x = \frac{1 + c o s 10 x}{2}$ 、 $cos x cos 5 x = \frac{1}{2} (cos 6 x + cos 4 x)$ より

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + cos 10 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (cos 6 x + cos 4 x)$

$= \frac{1}{4} + \frac{cos 10 x}{4} + \frac{cos 6 x}{4} + \frac{cos 4 x}{4}$

公式の導出

加法定理の2つの式を足すか引くかで積和公式が得られます。忘れたらその場で導きましょう。

sin α sin β

の符号

$sin α sin β$ の公式だけマイナスがつくので注意が必要です。