三角関数で面積と体積を出す、積分の計算例

$y=\sin x$ と $x$ 軸が $0$ から $\pi$ までで囲む面積は、ちょうど $2$ です。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }\sin xdx& =[-\cos x{]}_0^{\pi }\\ & =-(-1)-(-1)\\ & =2\end{array}$$

$\pi$ も $\sqrt{2}$ も出てきません。曲線で囲まれているのに、答えが整数になる。

こうした計算では、積分できる形に直すところが山になります。$\sin x$ はそのまま積めますが、${\sin }^{2}x$ は積めません。

そのまま積める形と積めない形

$\sin x$ の原始関数は $-\cos x$、$\cos x$ の原始関数は $\sin x$ です。ここは覚える。

$\sin 2x$ のように中身が $ax$ なら、$-\frac{1}{a}\cos ax$ になります。外へ $\frac{1}{a}$ が出る。

積めないのは 2 乗や積の形です。${\sin }^{2}x$、$\sin x\cos x$、$\sin 3x\cos x$ など。

これらは次数を下げるか、和に開いてから積みます^[1]。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

右辺は 1 次式なので、そのまま積めます。角が $2$ 倍になるかわりに次数が落ちた形です。

例：sin x と x 軸

$0\le x\le \pi$ では $\sin x\ge 0$ なので、そのまま積分すれば面積になります。

範囲を $0$ から $2\pi$ に広げると話が変わる。後半で $\sin x$ が負になります。

${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$ です。上に出た面積と下に出た面積が打ち消し合っている。

面積が知りたいなら、符号ごとに分けます。${\int }_0^{\pi }\sin xdx+\left|{\int }_{\pi }^{2\pi }\sin xdx\right|=2+2=4$。

定積分と面積は別物です。負の部分があるかどうかを、積む前に確かめます。

例：2 つの曲線に挟まれた面積

$y=\sin x$ と $y=\cos x$ が、$0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で囲む面積を求めます。

まず交点です。$\sin x=\cos x$ となるのは $\tan x=1$、つまり $x=\frac{\pi }{4}$。

$\frac{\pi }{4}$ の手前では $\cos x$ が上、後ろでは $\sin x$ が上です。上下が入れ替わります。

範囲を 2 つに分けます。上にある関数から下にある関数を引く。

$${\int }_0^{\pi /4}(\cos x-\sin x)dx+{\int }_{\pi /4}^{\pi /2}(\sin x-\cos x)dx$$

前半は $[\sin x+\cos x{]}_0^{\pi /4}=\sqrt{2}-1$。後半も計算すると同じ $\sqrt{2}-1$ になります。

合わせて $2\sqrt{2}-2\fallingdotseq 0.828$ です。

対称性からも読めます。$x=\frac{\pi }{4}$ について左右対称な図形なので、片側を 2 倍すればよい。

例：sin²x の定積分

${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx$ を求めます。2 乗のままでは積めません。

半角の形に直します。${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx& ={\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\pi }\\ & =\frac{\pi }{2}-0\\ & =\frac{\pi }{2}\end{array}$$

$\sin 2\pi =0$ と $\sin 0=0$ なので、後ろの項は消えます。答えは $\frac{\pi }{2}$。

図で確かめられます。${\sin }^{2}x$ の平均は $\frac{1}{2}$ なので、幅 $\pi$ を掛けて $\frac{\pi }{2}$。

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ から、2 つのグラフは $y=\frac{1}{2}$ を挟んで対称に並びます。平均が $\frac{1}{2}$ になるのはこのため。

回転体の体積

$y=\sin x$ の $0\le x\le \pi$ の部分を、$x$ 軸のまわりに 1 回転させます。

輪切りにすると、各断面は半径 $|y|$ の円です。面積は $\pi y^2$。

これを $x$ について積むと体積になります。

$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx\\ & =\pi \times \frac{\pi }{2}\\ & =\frac{{\pi }^2}{2}\end{array}$$

${\pi }^2\fallingdotseq 9.87$ なので、$V\fallingdotseq 4.93$ です。

回転体では必ず 2 乗が出てきます。だから半角の公式が、ほぼ毎回必要になる。

$y=\cos x$ を $0$ から $\frac{\pi }{2}$ まで回した場合は $\pi {\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx=\frac{{\pi }^2}{4}$。

扇形と組み合わせる図形

曲線だけでなく、扇形が混ざる問題もよく出ます。

半径 $r$、中心角 $\theta$ の扇形の面積は $\frac{1}{2}{r}^2\theta$ でした^[2]。$\theta$ はラジアンです。

弓形、つまり弦と弧に囲まれた部分は、扇形から三角形を引きます。

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}{r}^2\theta -\frac{1}{2}{r}^2\sin \theta \\ & =\frac{1}{2}{r}^2(\theta -\sin \theta )\end{array}$$

三角形の面積は 2 辺 $r$ と挟む角 $\theta$ から $\frac{1}{2}{r}^2\sin \theta$ です。

$r=2$、$\theta =\frac{\pi }{3}$ なら $\frac{1}{2}\times 4\times \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}-\sqrt{3}$。

$\theta -\sin \theta$ が正であることは、$\sin \theta <\theta$ から分かります。面積が負にならない。

まちがえやすい点

${\sin }^{2}x$ の原始関数を $\frac{{\sin }^{3}x}{3}$ とする誤りが多い。$x$ の多項式と同じ扱いはできません。

微分して確かめられます。${\left(\frac{{\sin }^{3}x}{3}\right)}^{\prime }={\sin }^{2}x\cos x$ で、余計な $\cos x$ が出ます。

定積分の値をそのまま面積と答える誤りも同じくらい起きます。負の部分があれば別に扱う。

回転体で $\pi$ を忘れる形もよく見ます。断面積は $\pi y^2$ であって $y^2$ ではありません。

$\int \sin 2xdx$ の外に出す係数も逆にしやすい。$-\frac{1}{2}\cos 2x$ で、$2$ を掛けるのではなく割ります。

回転体のほうも確かめます。

積める形へ直し、上下の入れ替わりを確かめ、回転なら $\pi$ を掛ける。手順はこの 3 つです。

参考