三角関数を含む面積・体積の計算

三角関数を使った面積・体積の計算は、図形問題や積分の応用としてよく出題されます。基本公式を押さえておきましょう。

三角形の面積

2辺 $b$ , $c$ とその間の角 $A$ がわかっているとき、面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2} b c sin A$

で求められます。高さを $h = c sin A$ と表せることから導かれます。

3辺 $a$ , $b$ , $c$ がわかっている場合は、余弦定理で角度を求めてからこの公式を使うか、ヘロンの公式を使います。

半径 $r$ 、中心角 $θ$ （rad）の扇形について

$弧の長さ = r θ$

$面積 = \frac{1}{2} r^{2} θ$

が成り立ちます。面積の公式は「半径 × 弧の長さ ÷ 2」と覚えることもできます。

正 $n$ 角形が半径 $R$ の円に内接しているとき、面積は

$S = \frac{1}{2} n R^{2} sin \frac{2 π}{n}$

です。正 $n$ 角形は $n$ 個の二等辺三角形に分割でき、各三角形の面積を足し合わせるとこの式になります。

n \to \infty

での極限

$n$ を大きくすると正 $n$ 角形は円に近づきます。実際、 $n \to \infty$ で $S \to π R^{2}$ となることが確かめられます。

三角形の外接円

三角形の面積 $S$ と外接円の半径 $R$ には $S = \frac{ab c}{4 R}$ という関係があります。正弦定理 $a = 2 R sin A$ などを使って導けます。

$y = sin x$ （ $0 \leq x \leq π$ ）を $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積は、積分で

$V = π \int_{0}^{π} sin^{2} x d x$

と表せます。半角の公式 $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ を使って計算すると

$V = π \int_{0}^{π} \frac{1 - cos 2 x}{2} d x = \frac{π}{2} [x - \frac{sin 2 x}{2}]_{0}^{π} = \frac{π ^{2}}{2}$

となります。